3.2 Stima del Ritardo
3.2.3 La correlazione generalizzata
Le propriet`a di un segnale sono alterate da un filtraggio lineare. Per gli spettri abbiamo il seguente risultato, che torner`a utile per migliorare la stima del ritardo fra i segnali. Se un segnale debolmente stazionario x(t) attraversa un filtro lineare e diventa z(t),
z(t) = H(q)x(t), (3.26)
allora lo spettro di z(t) e il cross-spettro fra z(t) e x(t) subiscono le seguenti modifiche:
Φz(f ) = |H(ej2πf)|2Φx(f ), (3.27)
e
Φzx(f ) = H(ej2πf)2Φx(f ). (3.28)
In verit`a, `e conveniente approfondire l’approccio in frequenza perch´e questo per- mette, attraverso l’ipotesi di conoscenza delle distribuzioni congiunte di probabilit`a, di operare dei filtraggi in maniera relativamente semplice e veloce. Queste operazioni han- no come risultato quello di evidenziare meglio il ritardo fra i due segnali. Nel problema
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oggetto di studio si `e dimostrato di enorme efficacia il metodo della correlazione gene- ralizzata proposto in [24] e ripreso in [4], e pi`u specificatamente l’approccio proposto in [6] e [7], dove si ricorre alla Smoothed Coherence Transform (SCOT). Riprendiamone gli sviluppi e adattiamolo al caso specifico.
Una sorgente che emette suono in un ambiente rumoroso, raggiunge i due idrofoni con un certo ritardo e con un diverso livello di intensit`a. Matematicamente, il problema pu`o essere modellato nel seguente modo:
x1(t) = s1(t) + n1(t)
x2(t) = αs1(t + D) + n2(t) (3.29)
dove s1(t), n1(t) e n2(t) sono processi stocastici reali e congiuntamente stazionari. Il
parametro che dobbiamo individuare `e ovviamente il ritardo D. Come abbiamo gi`a detto, la correlazione `e lo strumento usato. `E possibile esprimerla nel dominio della frequenza e antitrasformarla: Rx1x2(τ ) = Z ∞ −∞ Φx1x2(f )e j2πf τ df. Operando il filtraggio Y1(f ) = H1(f )X1(f ), Y2(f ) = H2(f )X2(f ), (3.30)
anche il cross-spettro `e modificato: Φy1y2(f ) = H
∗
1(f )H2(f )Φx1x2(f ). (3.31)
In questo caso la correlazione generalizzata fra x1(t) e x2(t) `e proprio l’antitrasformata
del cross-spettro filtrato: Ry1y2(τ ) = Z ∞ −∞ Ψ(f )Φx1x2(f )e j2πf τdf, dove Ψ(f ) = H1∗(f )H2(f )
caratterizza il filtraggio in frequenza. Come gi`a fatto notare, avendo a disposizione solamente un numero finito di osservazioni, bisogna effettuare la stima
ˆ Ry1y2(τ ) = Z ∞ −∞ Ψ(f ) ˆΦx1x2(f )e j2πf τdf,
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per poter risalire al ritardo. A seconda delle informazioni a priori che possediamo sul segnale da identificare o sul rumore ovvero a seconda delle caratteristiche che possiamo recuperare sul rumore, sar`a opportuno stimare anche Ψ(f ). Per il modello matematico (3.29), la cross-correlazione fra x1(t) e x2(t) `e
Rx1x2(τ ) = αRs1(τ − D) + Rn1n2(τ ).
La trasformata di Fourier della cross correlazione fornisce il cross spettro: Φx1x2(f ) = αΦs1(f )e
−j2πf D
+ Φn1n2(f ).
Se n1(t) e n2(t) non sono correlati (Φn1n2(f ) = 0), il cross-spettro fra x1(t) e x2(t) `e un
auto-spettro scalato del segnale s1(t) moltiplicato per un esponenziale complesso che
veicola il ritardo. Dal momento che la moltiplicazione in frequenza corrisponde ad una convoluzione nel tempo, abbiamo che
Rx1x2(τ ) = αRs1(τ ) ⊗ δ(t − D), (3.32)
dove ⊗ `e l’operatore di convoluzione.
Una possibile interpretazione della (3.32) `e la seguente: la funzione delta di Dirac `e distribuita su un certo intervallo e allo stesso tempo `e “contaminata” dalla trasformata di Fourier dello spettro del segnale. Una propriet`a importante dell’auto-correlazione `
e che Rs1(τ ) ≤ Rs1(0) e questo va tenuto presente durante la stesura dell’algoritmo.
Nonostante ci`o, in generale, la cross-correlazione “vera” avr`a un picco per τ = D. La contaminazione ha infatti semplicemente l’effetto di spandere la funzione delta su un certo intervallo, ma l’ascissa del massimo rimane inalterata, anche se magari `e sottoposta ad un grado di ambiguit`a maggiore.
Tuttavia per i problemi dovuti ai cammini multipli o alle interferenze visti pre- cedentemente, si possono avere problemi di ritardi multipli. In questo caso la cross- correlazione `e data da
Rx1x2(τ ) = Rs1(τ ) ⊗
X
i
αiδ(t − Di).
Questo caso rappresenta meglio la nostra situazione: i due idrofoni captano infatti anche i cammini multipli emessi dall’intruso che si riflettono sul fondale e sulla superfi- cie, anche se verosimilmente i coefficienti αi tendono a diminuire rispetto al contributo
principale. Tuttavia, in questa situazione la convoluzione con l’auto-spettro pu`o por- tare a confondere due o pi`u funzioni delta vicine, rendendo il picco del segnale falso o
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impossibile da distinguere. Quindi, in condizioni ideali il filtro Ψ(f ) dovrebbe essere scelto in maniera tale da isolare questi picchi per migliorare la risoluzione nel tempo, anche se questa operazione comporta il rischio, legato al fatto di operare con sequenze finite, di aumentare la sensibilit`a agli errori nell’identificazione del picco, soprattutto in zone a basso SNR.
Chiarito qual `e il ruolo di Ψ(f ), vi sono varie possibilit`a nella scelta della funzione utile al nostro caso. Un metodo che potrebbe migliorare la stima di ˆD proposto da Roth [25] consiste nella seguente scelta:
ΨR(f ) = 1 Φx1(f ) , che porta a ˆ R(R)y1y2(τ ) = Z ∞ −∞ ˆ Φx1x2(f ) Φx1(f ) ej2πf τdf. (3.33)
Per cui, sempre supponendo sia corretto seguire il modello (3.29),
Φx1(f ) = Φs1(f ) + Φn1(f ), (3.34) e ˆ R(R)y1y2(τ ) = δ(τ − D) ⊗ Z ∞ −∞ αΦs1(f ) {Φs1(f ) + Φn1(f )} ej2πf τdf.
Il filtro di Roth ha l’effetto positivo di sopprimere quelle frequenze dove Φn1(f ) `e
ampio e quindi ˆΦx1x2 `e pi`u facilmente falsato, ma non esclude la contaminazione della
funzione delta. Da questo metodo prende le mosse la Smoothed Coherence Transform (SCOT) [24]. I disturbi in Φx1x2 possono essere presenti in bande di frequenza dove
Φn1(f ) o Φn2(f ) o entrambi sono preminenti. Dunque un intervento pu`o essere quello
di effettuare la normalizzazione rispetto ad una quantit`a che considera la distribuzione del rumore in frequenza su entrambi i segnali:
ΨS(f ) =
1
pΦx1(f )Φx2(f )
. (3.35)
Per cui la correlazione secondo il metodo SCOT `e ˆ R(S)y1y2(τ ) = Z ∞ −∞ ˆ γ(f )ej2πf τdf.
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con la stima della funzione di coerenza ˆ γx1x2(f ) = ˆ Φx1x2(f ) q ˆ Φx1(f ) ˆΦx2(f ) . (3.36)
dove in pratica le funzioni in frequenza (3.30) sono H1(f ) = 1/
q ˆ Φx1(f ) e H2(f ) = 1/ q ˆ
Φx2(f ) e possono essere interpretate come prefiltri sbiancanti. Questo metodo
ha dimostrato di evidenziare in modo molto accentuato il ritardo. Un’alternativa che pure ha mostrato ottimi risultati nell’identificazione del ritardo `e la Phase Transform (PHAT). In questo caso si normalizza rispetto al modulo del cross-spettro:
ΨP(f ) =
1 |Φx1x2(f )|
, (3.37)
che porta alla stima della cross correlazione ˆ R(P )y1y2(τ ) = Z ∞ −∞ Φx1x2(f ) |Φx1x2(f )| ej2πf τdf. (3.38)
Se vale il modello (3.29), e il rumore sui due canali `e incorrelato (Φn1n2(f ) = 0),
|Φx1x2(f )| = αΦs1s1(f ). (3.39)
Idealmente, se la stima del cross spettro fosse corretta, Φx1x2(f )
|Φx1x2(f )|
= ejθ(f ) = ej2πf D (3.40)
ha ampiezza unitaria e antitrasformata ˆ
R(P )y1y2(τ ) = δ(t − D). (3.41) Questo metodo non soffre, in teoria, di alcun appiattimento causato dall’auto-spettro. In pratica per`o il fatto di utilizzare solamente una stima della funzione di cross- correlazione rende θ(f ) 6= 2πf D e quindi anche in questo caso sar`a possibile che la funzione delta non risulti cos`ı marcata e corretta come la teoria vorrebbe. Dal punto di vista pratico, sulle prove effettuate, questo metodo ha fornito risultati analoghi a quanto ottenuto con il metodo SCOT.