Sapendo la frequenza di campionamento fc[Hz], si pu`o stabilire di quanti campio-
ni deve essere traslato il segnale di riferimento per costruire il segnale registrato dal secondo idrofono e dal terzo, ricorrendo rispettivamente alle seguenti relazioni:
τ2 = τ12fc [campioni]
τ3 = τ13fc [campioni] (5.15)
Da notare che il τ23 `e ridondante e di fatto non `e usato per costruire i file. Tuttavia
esso pu`o essere usato per verificare la bont`a della stima.
Dal momento che sono noti i ritardi, si procede costruendo due vettori analoghi al primo ma i cui elementi risultano traslati secondo quanto espresso in ogni istante da τ2
e τ3. Se risultano delle “falle”, si interpola linearmente fra le estremit`a di cui `e ancora
noto il valore. Si utilizza la funzione IDL write wav per creare un file .wav a tre canali. A questo punto abbiamo creato il file audio a tre canali che simula lo spostamento di una sorgente nello spazio marino. Per complicare il problema di identificazione e renderlo pi`u verosimile, `e possibile aggiungere ai canali audio riprodotti del rumore preso da un file che contiene registrazioni di rumore ambientale senza intrusi.
5.4
Problema della discretizzazione
A questo punto `e necessario mettere in risalto un limite evidente del sistema cos`ı predisposto. Esso si presentava anche nel caso di due soli idrofoni (vedere paragrafo 4.4), ma adesso la mancanza del vincolo dovuto alla superficie marina determina una grigliatura dello spazio assai pi`u irregolare e distorta, i cui effetti si amplificano con l’aumentare della distanza.
Stavolta il rilevamento dei ritardi consente l’identificazione di tre iperboli (eq. (5.13)). Poniamo l’attenzione sulla dipendenza dal tempo.
csuono· τ12 = q (x − xf2) 2+ y2−q(x − x f1) 2+ y2 , csuono· τ13 = q (x − xf3) 2+ y2−q(x − x f1) 2+ y2 , csuono· τ23 = q (x − xf3) 2+ y2−q(x − x f2) 2+ y2 . (5.16)
Il ritardo temporale che il sistema riesce a rilevare `e legato al fatto di operare con sequenze numeriche di dati campionati. Questo si traduce in definitiva con una
Cap. 5 Sistema con tre idrofoni in verticale §5.4 Problema della discretizzazione
limitazione che subisce il nostro sistema come quella vista in eq. (4.3). Le equazioni (5.16) con questa considerazione diventano:
csuonok1Tc= q (x − xf2) 2+ y2−q(x − x f1) 2+ y2 , csuonok2Tc= q (x − xf3) 2+ y2−q(x − x f1) 2+ y2 , csuonok3Tc= q (x − xf3) 2+ y2−q(x − x f2) 2+ y2 . (5.17)
dove k1, k2 e k3 sono tre numeri interi che dipendono effettivamente dal ritardo rilevato
dall’algoritmo di cross correlazione generalizzato. `E evidente che questa discretizza- zione porta ad una grigliatura dello spazio. I punti in cui `e rilevato l’intruso sono determinati mediante l’intersezione fra le iperboli e queste a loro volta dipendono, fra le altre cose, dai fattori k. Ci`o determina un errore sistematico che aumenta con l’au- mentare della distanza. Per chiarire il concetto proponiamo la fig. 5.3: le zone di un medesimo colore determinano in maniera univoca la posizione dell’intruso. Per com- pletare l’esempio grafico `e utile sapere tutti i parametri del problema che determinano questa grigliatura:
• h1 = 7 [m],
• h2 = 16 [m],
• h3 = 20 [m],
• fc= 96000 [Hz].
Si limita la visualizzazione al tracciamento di 18 iperboli e sono considerate solamente le iperboli determinate dagli idrofoni 1 e 2 e dagli idrofoni 1 e 3.
Come possiamo notare dalla fig. 5.3, la limitazione fisica dovuta al campionamento determina una suddivisione dello spazio in zone (quadrangolari per lo pi`u) che, per la loro forma, producono un errore consistente. La situazione peggiora con la distanza, ma si aggrava ulteriormente in corrispondenza degli assi delle iperboli (dove il ritardo misurato `e nullo). Addirittura vi `e una zona (quella bianca a destra nella figura) per la quale, a prescindere dall’intensit`a del rumore che l’intruso emette, non `e captato alcun ritardo per le due iperboli; quindi il sistema, che si basa su questo indice per il proprio funzionamento, risulta cieco. Da notare che in verit`a il tracciamento avviene
Cap. 5 Sistema con tre idrofoni in verticale §5.4 Problema della discretizzazione
Figura 5.3: Lo spazio marino e le possibili zone di identificazione .
per tutte le tre possibili combinazioni di iperboli, e la situazione migliora, anche se fondamentalmente non cambia.
Questo grafico `e molto differente da quello di fig. 4.20, ma tuttavia esso pone in evidenza lo stesso concetto. Nel caso di due idrofoni e del vincolo superficiale, si possono tracciare degli istogrammi che in definitiva degenerano in segmenti, data la geometria del problema. In questi segmenti l’algoritmo non riesce a distinguere la posizione e quindi neanche gli spostamenti, da parte degli intrusi. Nel caso di tre idrofoni, invece, le intersezioni fra le varie iperboli determinano delle superfici planari (quadrangolari, almeno che non interferisca la superficie del mare o il fondale), che in pratica “equivalgono” ai segmenti di prima: all’interno di queste superfici, sempre che valga l’ipotesi di stimare correttamente il ritardo, lo spostamento dell’intruso non `e percepito.
Dalle simulazioni compare anche un altro fenomeno. Con l’avvicinarsi dell’intruso alla colonna degli idrofoni, le zone di identificazione si infittiscono. Ci`o diminuisce l’errore di discretizzazione, ma si presenta, o meglio, si evidenzia un altro inconveniente. Come gi`a fatto presente, l’ipotesi fondamentale sulla quale si basa l’algoritmo di stima del ritardo `e la stazionariet`a dei segnali registrati. Questa ipotesi varia la propria validit`a a seconda dei valori dei vari parametri in gioco. Abbiamo visto come interviene la struttura delle iperboli che determina un preciso andamento dei punti che `e possibile identificare. Tuttavia altri parametri agiscono globalmente attraverso la stima stessa
Cap. 5 Sistema con tre idrofoni in verticale §5.4 Problema della discretizzazione
dei ∆t. Ad esempio la velocit`a dell’intruso pu`o costituire un elemento che porta a falsare la percezione del ritardo, e questo effetto diventa tanto pi`u critico quanto pi`u ci si avvicina ai tre idrofoni. L’intruso, passando con una certa velocit`a vicino agli idrofoni, emette un segnale audio che, nel tempo tipico in cui il sistema ascolta, non `
e stazionario, e questo indebolisce statisticamente i dati che ci forniscono il ritardo. In particolare lo spettro dei segnali subisce delle modificazioni, degli spostamenti che portano ad un peggioramento della stima di tau, e la cross correlazione non dipende pi`u da un solo parametro ([18]).
Tuttavia questo effetto `e pi`u marcato nelle vicinanze degli idrofoni, quando cio`e `e ormai chiaro che `e avvenuta una violazione dell’area marina, mentre quando l’intruso di trova ad una certa distanza `e verosimile che una sua variazione di posizione durante il tempo in cui si raccolgono i dati per la stima di ∆t (tipicamente circa un secondo) non venga avvertita particolarmente, anche considerando una certa velocit`a del ma- lintenzionato. Per ridurre questo effetto `e comunque possibile pensare ad un sistema che dinamicamente, a seconda della zona in cui avviene il tracking, scala i periodi di osservazione e li rende pi`u brevi quanto pi`u l’intruso `e vicino. Questo limita l’effetto di variabilit`a del segnale ma dall’altro lato indebolisce la stima stessa del ritardo, poich´e quanto pi`u il tempo di osservazione `e breve, tanto meno affidabili sono le stime delle propriet`a statistiche del segnale. In concreto lo spettro `e soggetto a maggiori irrego- larit`a e quindi anche la stima del ritardo potr`a risentirne. A tal fine `e necessario uno studio con i dati sperimentali del sistema per poter effettuare delle valide conclusioni. A testimonianza di ci`o proponiamo il risultato di fig. 5.4 di una simulazione con tre idrofoni posizionati alle seguenti profondit`a:
• h1 = 7 [m],
• h2 = 16 [m],
• h3 = 20 [m],
• fc= 48000 [Hz].
Il percorso dell’intruso, rappresentato in figura con una linea di ‘+’ nera, `e una retta leggermente tendente al fondo, ma sostanzialmente `e un percorso di poco sotto la superficie del mare, situato a x = 11.5 [m]. La velocit`a simulata `e costante ed `e circa pari a 8.33 [m/s]. Come si pu`o notare, possiamo distinguere tre zone. La prima, quando il bersaglio si trova ad oltre 130 metri di distanza: in questo caso sono evidenti
Cap. 5 Sistema con tre idrofoni in verticale §5.4 Problema della discretizzazione
i condizionamenti provocati dalla discretizzazione dello spazio, e l’individuazione della posizione non pu`o che muoversi sulle “scomode” zone gi`a evidenziate in precedenza. Anzi, per la precisione, il fatto di essere in una zona prossima alla superficie da un lato migliora la stima perch´e, i punti che “inevitabilmente” cadrebbero fuori dal mare, sono giustamente riportati in esso secondo il vincolo che impone la superficie marina. Poi si osserva una zona in cui l’errore diminuisce drasticamente sia su x che su y e cio`e fra 70 [m] e 130 [m] di distanza. Qui si realizza il miglior compromesso fra i parametri dell’algoritmo e quelli geometrici del problema. Sotto a questa distanza l’errore comincia di nuovo a crescere, anche se non compaiono pi`u come prima gli effetti della discretizzazione. Oltre ad una deformazione eccessiva delle iperboli dovuta all’avvicinarsi della singolarit`a, in questa zona `e anche probabile che si indebolisca l’ipotesi di stazionariet`a del segnale, e ci`o causa degli errori sulla stima dei ritardi. Da notare la criticit`a dei dati proprio in corrispondenza dell’asse che contiene i tre idrofoni, per il quale si ha la degenerazione delle iperboli a rette. In questo caso l’errore `e dovuto ancora una volta alla geometria del problema, anche se in tale situazione `e pi`u facile correggerli elaborando i dati. Inoltre, quando l’iperbole degenera a retta, `e un segno evidente che l’intruso sta passando sulla congiungente dei tre idrofoni, o comunque `e molto prossimo ad essa e per questo l’errore lo commettiamo prevalentemente su x ovvero sulla profondit`a. Nel compito di sorveglianza rimane comunque di interesse prevalente la localizzazione della distanza dalla boa (l’asse y); `e questa che stabilisce la violazione del perimetro di interesse.
Capitolo 6
Prove e Simulazioni con tre idrofoni
6.1
I dati
Con la configurazione a tre idrofoni non `e possibile alcuna prova su dati realmente raccolti in questa modalit`a, n´e sono previsti esperimenti in questo senso.
Tuttavia il sistema `e testato in questa configurazione grazie alla costruzione di un set di dati appositamente preparati. La procedura che consente di effettuare il test ricalca quanto gi`a visto nel caso dei due idrofoni ed `e gi`a stata spiegata nel paragrafo 5.3.
Il posizionamento della strumentazione `e stato fissato una volta per tutte e quindi tutti i risultati presentati prevedono le seguenti profonit`a rispetto al livello del mare per gli idrofoni:
• h1 = 7 [m],
• h2 = 16 [m],
• h3 = 20 [m],
I file sono di due tipi: con campionamento a 48 [kHz] e con campionamento a 96 [kHz], proprio per evidenziare i vantaggi che una maggiore frequenza di campionamento comporta. Ovviamente, se la raccolta dati avvenisse ad una fc pi`u alta, sarebbero
necessari opportuni accorgimenti anche nel condizionamento del segnale, ad esempio con un filtro antialiasing a banda maggiore (effettivamente doppia). Dato che sono disponibili solamente registrazioni a 48 [kHz], per creare i file a 96 [kHz] `e stato raddoppiato il numero di campioni interpolando linearmente il valore fra due campioni effettivi disponibili nel file originario. Questa operazione in verit`a non aumenta la banda del segnale, ma effettivamente, se compiuta prima di generare i ritardi, migliora la risoluzione temporale (e in conseguenza spaziale) della stima del ritardo ∆T .