Il postulato di Playfair esprime unicit`a: ogni altra retta passante per P sar`a incidente la retta r. Il seguente teorema esprime le propriet`a della relazione di parallelismo tra rette.
Teorema 13.1.1 (Propriet`a del parallelismo). La relazione di parallelismo tra rette gode delle seguenti propriet`a:
R) rkr propriet`a riflessiva S) rks ⇐⇒ skr propriet`a simmetrica T) (rks ∧ skt) =⇒ rkt propriet`a transitiva
Dimostrazione. R) La propriet`a riflessiva discende direttamente dalla definizione di rette parallele, vale a dire: una retta `e parallela a s´e stessa.
S) Supponiamo che le due rette siano distinte. Allora
rks ⇐⇒ r ∩ s = ∅ ⇐⇒ s ∩ r = ∅ ⇐⇒ skr in quanto l’intersezione tra insiemi gode della propriet`a commutativa.
T) Supponiamo che le tre rette siano distinte. Per assurdo, sia r ∩ t = {P }; allora risulta sia P ∈ r che P ∈ t. Pertanto per il punto P esterno alla retta s passano due rette distinte r e t parallele ad essa, in contraddizione con il postulato delle parallele. Si conclude che r ∩ t = ∅, e quindi rks.
Definizione 13.1.2. Si definisce fascio improprio di rette l’insieme di tutte le rette parallele tra loro.
...
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E possibile estendere la nozione di parallelismo a semirette e segmenti, con la dovuta attenzione. Definizione 13.1.3. Due semirette si dicono parallele se le rette sostegno sono parallele. Due segmenti si dicono paralleli se le rette sostegno sono parallele.
13.2 Criteri di parallelismo
In questo paragrafo vogliamo studiare le figure che vengono a determinarsi quando consideriamo una coppia di rette qualsiasi r ed s che incontrano entrambe una terza retta t. Si parla di coppie di rette tagliate da una trasversale. Come `e facile immaginare, tali rette individuano una serie di angoli i cui vertici sono i punti d’intersezione della trasversale con ciascuna delle altre due rette. Tali angoli, a coppie, assumono una precisa denominazione. Osserviamo attentamente la seguente figura.
13.2 Criteri di parallelismo 162 r s t 1 5 2 6 3 7 4 8
Definizione 13.2.1. Siano date le rette r ed s tagliate dalla trasversale t come in figura. Esse individuano otto angoli che, a coppie, vengono denominati come segue (tra parentesi gli acronimi relativi):
1. le coppie di angoli (3, 6) e (4, 5) si dicono angoli alterni interni (a.a.i.); 2. le coppie di angoli (1, 8) e (2, 7) si dicono angoli alterni esterni (a.a.e.); 3. le coppie di angoli (3, 5) e (4, 6) si dicono angoli coniugati interni (a.c.i.); 4. le coppie di angoli (1, 7) e (2, 8) si dicono angoli coniugati esterni (a.c.e.);
5. le coppie di angoli (1, 5), (3, 7), (2, 6) e (4, 8) si dicono angoli corrispondenti (a.c.).
Il nostro studio ora si concentra sull’analisi del seguente problema. Considerate due rette r ed s tagliate dalla trasversale t ci chiediamo quali sono le condizioni sulle coppie di angoli della definizione 1.4. affinch´e r ed s siano parallele, e viceversa. La risposta a tale quesito risiede nei seguenti teoremi. Teorema 13.2.1 (Teorema fondamentale). Siano date due rette r ed s tagliate dalla trasversale t. Se coppie di angoli alterni interni sono congruenti, allora le rette r ed s sono parallele.
P A B C D r s t Hp: B bAC ∼= A bBD Th: rks
Dimostrazione. Dimostriamo il teorema per assurdo. 1. Per assurdo r ∩ s = {P }
13.2 Criteri di parallelismo 163
3. B bAC ∼= A bBD Hp
4. B bAC > A bBD 1◦ teorema angolo esterno 5. Contraddizione 3., 4.
6. rks 5.
Dal teorema fondamentale seguono immediatamente i seguenti teoremi.
Corollario 13.2.1. Siano date due rette r ed s tagliate dalla trasversale t. Se coppie di angoli alterni esterni sono congruenti, allora le rette r ed s sono parallele.
A B C D E H F G r s t Hp: F bAC ∼= D bBG Th: rks Dimostrazione. . 1. F bAC ∼= D bBG Hp
2. F bAC ∼= H bAB angoli opposti al vertice 3. D bBG ∼= E bBA angoli opposti al vertice 4. H bAB ∼= E bBA 2., 3., transitivit`a congruenza 5. rks 4., teorema fondamentale
Corollario 13.2.2. Siano date due rette r ed s tagliate dalla trasversale t. Se coppie di angoli coniugati interni (rispettivamente esterni) sono supplementari, allora le rette r ed s sono parallele.
Hp: C bAB + A bBE ∼= π Th: rks
Dimostrazione. Dimostriamo il teorema utilizzando come ipotesi solo una coppia di angoli coniugati interni, riferendoci alla figura precedente.
1. C bAB + A bBE ∼= π Hp
2. H bAB + C bAB ∼= π angoli adiacenti
4. H bAB ∼= E bBA 1., 2., differenza di angoli congruenti 5. rks 4., teorema fondamentale
13.2 Criteri di parallelismo 164
Corollario 13.2.3. Se le rette r ed s sono entrambe perpendicolari ad una retta t, allora esse sono parallele.
r s t
rks
Dimostrazione. Gli angoli coniugati interni formati dalle rette r ed s tagliate dalla trasversale t sono entrambi retti, quindi supplementari.
Enunciamo, ora, la versione originale del V postulato di Euclide.
Postulato 17 (V postulato di Euclide). Se due rette r ed s formano con una trasversale t angoli coniugati interni non supplementari, allora esse s’incontrano nel semipiano di origine t che contiene gli angoli coniugati interni la cui somma `e minore di un angolo piatto.
Per circa duemila anni si `e pensato che tale propriet`a si potesse dedurre dagli altri postulati, ma a cavallo dei secoli XVIII e XIX si `e finalmente provato che il postulato delle parallele `e indipendente dagli altri assiomi. Si possono, per`o, costruire geometrie in cui questo postulato non vale, o per quanto attiene l’esistenza della retta parallela s o per la sua unicit`a. Queste geometrie vengono denominate geometrie non-euclidee. Di contro, la geometria che studiate in questo corso, per cui vale il postulato di Playfair, e quindi il V postulato di Euclide, `e denominata geometria euclidea.
Corollario 13.2.4. Siano date due rette r ed s tagliate dalla trasversale t. Se coppie di angoli corrispon-denti sono congruenti, allora le rette r ed s sono parallele.
La dimostrazione `e un semplice esercizio.
Il fatto notevole `e che vale il viceversa delle proposizioni precedentemente dimostrate.
Teorema 13.2.2 (Teorema inverso del fondamentale). Siano date due rette parallele r ed s tagliate dalla trasversale t; allora coppie di angoli alterni interni sono congruenti.
A B C D E r s t u Hp: rks Th: B bAC ∼= A bBD
13.2 Criteri di parallelismo 165
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo di negare la tesi, per cui possiamo pensare B bAC < A bBD. Si conduca per B la semiretta u in modo che B bAC ∼= E bBA. In virt`u del postulato delle parallele la semiretta u non pu`o essere parallela a r, per cui sia E il punto d’intersezione tra r e u. Considerato il triangolo ABE, risulta che B bAC `e un suo angolo esterno. La condizione B bAC ∼= E bBA contraddice il 1◦ teorema dell’angolo esterno. Conclusione: B bAC ∼= A bBD.
Corollario 13.2.5. Siano date due rette parallele r ed s tagliate dalla trasversale t; allora coppie di angoli alterni esterni sono congruenti.
Corollario 13.2.6. Siano date due rette parallele r ed s tagliate dalla trasversale t; allora coppie di angoli coniugati interni ed esterni sono supplementari.
Corollario 13.2.7. Siano date due rette parallele r ed s tagliate dalla trasversale t; allora coppie di angoli corrispondenti sono congruenti.
Le dimostrazioni dei corollari sono semplici esercizi. Possiamo riassumere le propriet`a viste nel modo seguente.
Teorema 13.2.3 (Criteri di parallelismo). Siano date due rette r ed s tagliate dalla trasversale t; allora rks se, e solo se, si verifica una delle seguenti condizioni
1. coppie di angoli alterni interni sono congruenti; 2. coppie di angoli alterni esterni sono congruenti;
3. coppie di angoli coniugati interni ed esterni sono supplementari; 4. coppie di angoli corrispondenti sono congruenti.
Teorema 13.2.4. Siano date due rette parallele r ed s. Allora tutti i segmenti aventi estremi sulle rette e ad esse perpendicolari sono congruenti.
In altre parole, due rette parallele hanno tra loro distanza costante.
r s A C B D Hp: rks, AD⊥r, s BC⊥r, s Th: AD ∼= BC
Dimostrazione. Con riferimento alla figura precedente 1. Conduciamo il segmento AB