Definizione 12.4.3. Siano assegnati un segmento AB ed una retta r. Si definisce proiezione orto-gonale di AB su r il segmento contenuto in r i cui estremi sono i piedi delle rette perpendicolari ad r condotte da A e B.
A
B
A0 B0 r
Se il segmento `e tale che il suo sostegno non `e incidente la retta, allora la sua proiezione ortogonale `e un segmento ad esso congruente. Se il segmento `e perpendicolare alla retta, allora la sua proiezione ortogonale `e un punto della retta. Se il segmento `e contenuto nella retta, allora esso e la sua proiezione coincidono. A B A0 B0 r C D C0 s
12.5 Luoghi geometrici
Esistono figure geometriche che si possono descrivere attraverso una propriet`a comune a tutti i loro punti. Definizione 12.5.1. Si definisce luogo geometrico l’insieme di tutti e soli i punti del piano che soddisfano una data propriet`a.
12.5 Luoghi geometrici 156
I luoghi geometrici che caratterizzeremo in questo paragrafo sono l’asse di un segmento e la bisettrice di un angolo.
Teorema 12.5.1. Siano AB un segmento e a il suo asse. Allora un punto P `e sull’asse a se, e solo se, `e equidistante dagli estremi A e B del segmento.
In altre parole: l’asse di un segmento `e il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento. A M B P a =⇒) Hp: a asse di AB ∧ P ∈ a Th: P A ∼= P B
Dimostrazione. Sia M il punto medio di AB. 1. Consideriamo il triangolo ABP
2. P M mediana di AB Hp, a asse di AB 3. P M ⊥AB Hp, a asse di AB 4. P M altezza relativa ad AB 3.
5. ABP triangolo isoscele di base AB 2., 4., teorema di caratterizzazione triangoli isosceli
6. P A ∼= P B 5., def. triangolo isoscele
A M B P a ⇐=) Hp: P ∈ a ∧ P A ∼= P B Th: a asse di AB
12.5 Luoghi geometrici 157
1. Consideriamo il triangolo ABP
2. P A ∼= P B Hp
3. ABP triangolo isoscele di base AB 2., def. triangolo isoscele 4. P M mediana di AB M punto medio di AB
5. P M altezza relativa ad AB 3., 4., teorema caratterizzazione trian-goli isosceli
6. P M ⊥AB Hp, 5.
7. a asse di AB 4., 6., def. di asse di un segmento
Teorema 12.5.2. Siano a bV b un angolo e c la sua bisettrice. Allora un punto P `e sulla bisettrice c se, e solo se esso `e eqidistante dai lati a e b dell’angolo.
In altre parole: la bisettrice di un angolo `e il luogo geometrico dei punti equidistanti dai lati dell’angolo.
V a b c P A B =⇒) Hp: c bisettrice di a bV b ∧ P ∈ c Th: P equidistante da a e b
Dimostrazione. Costruzione: Da P ∈ c conduciamo le perpendicoari ai lati a e b dell’angolo rispettiva-mente in A e in B.
1. Consideriamo i triangoli AV P e BV P
2. V bBP ∼= V bAP ∼=π2 costruzione
3. AV P e BV P triangoli rettangoli 2., def. triangolo rettangolo 4. V P in comune figura
5. A bV P ∼= B bV P Hp, c bisettrice di A bV B
6. AV P ∼= BV P 3., 4., 5., criterio di congruenza triangoli rettangoli
7. AP ∼= BP 6., si oppongono ad angoli congruenti 8. P equidistante da a e b 7. V a b c P A B
12.5 Luoghi geometrici 158
⇐=)
Hp: P ∈ c equidistante da a e b Th: c bisettrice di a bV b
Dimostrazione. Costruzione: identica alla prima parte della dimostrazione. 1. Consideriamo i triangoli AV P e
BV P
2. V bBP ∼= V bAP ∼=π2 costruzione
3. AV P e BV P triangoli rettangoli 2., def. triangolo rettangolo
4. AP ∼= BP Hp
5. V P in comune figura
6. AV P ∼= BV P 3., 4., 5., criterio di congruenza triangoli rettangoli
7. A bV P ∼= B bV P 6., si oppongono a lati congruenti 8. c bisettrice di A bV P 7., def. bisettrice di un angolo
Esercizi
1. Dimostrare che le bisettrici di due angoli adiacenti sono perpendicolari.
2. Sia ABC un triangolo qualunque e sia CH l’altezza relativa ad AB. Si prolunghi l’altezza CH, dalla parte di H, di un segmento HD ∼= CH e si congiunga D con A e B. Dimostrare che i triangoli ADC e DBC sono isosceli.
3. In un triangolo equilatero le tre mediane sono congruenti.
4. Dimostrare che in un triangolo `ısoscele le mediane relative ai lati congruenti sono congruenti. 5. Sia ABC un triangolo isoscele di base AB. Prolunghiamo il lato AC, dalla parte di C, di un
segmento CD ∼= AC, quindi congiungiamo D con B. Sia, ora, M il punto medio del segmento BD. dimostrare che CM ⊥BD.
6. Sia ABC un triangolo isoscele di vertice C. Si consideri l’angolo esterno relativo all’angolo interno b
C e si dimostri che la sua bisettrice `e perpendicolare all’altezza relativa alla base AB.
7. Dimostrare che in triangolo equilatero le bisettrici degli angoli interni coincidono con le mediane e le altezze.
8. Dal punto P della bisettrice dell’angolo a bOb condurre due semirette che formano angoli congruenti con la bisettrice, in semipiani opposti rispetto ad essa. La prima semiretta incontra il lato a in A mentre la seconda incontra il lato b in B. Dimostrare che la bisettrice OP `e asse del segmento AB. 9. Sui lati a e b dell’angolo convesso a bOb si scelgano rispettivamente due punti A e B tali che OA ∼= OB. Da A si conduca il segmento perpendicolare a b in C, e da B il segmento perpendicolare ad a in D. I segmenti AC e BD s’incontrano in E. Dimostrare che OE `e bisettrice dell’angolo a bOb.
12.5 Luoghi geometrici 159
10. Dimostrare che un triangolo `e isoscele se, e solo se, `e dotato almeno di un asse di simmetria. In particolare, dimostrare che un triangolo `e equilatero se, e solo se, `e dotato di tre assi di simmetria. 11. Sia ABC un triangolo qualunque e sia CH l’altezza relativa ad AB. Si prolunghi l’altezza CH, dalla parte di H, di un segmento HD ∼= CH e si congiunga D con A e B. Dimostrare che il quadrilatero ADBC ´e dotato di asse di simmetria.
12. Dimostrare che due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un cateto e l’ipotenusa.
13. Di tre segmenti congruenti uscenti da uno stesso punto due hanno lo stesso sostegno; dimostrare che i loro estremi sono vertici di un triangolo rettangolo.
14. Dimostrare che in un triangolo isoscele una retta perpendicolare alla base incontra uno dei lati congruenti e il prolungamento dell’altro in due punti equidistanti dal vertice.
15. Presi sui lati di un angolo di vertice O due segmenti congruenti OA e OB, si conducano per A e per B le perpendicolari ai lati; dimostrare che esse s’incontrano sulla bisettrice dell’angolo. 16. Dimostrare che ogni retta, perpendicolare alla bisettrice di un angolo, ne incontra i lati in due punti
che, insieme al vertice dell’angolo dato, individuano un triangolo isoscele.
17. Nel triangolo isoscele ABC si conducano le perpendicolari ai lati congruenti AB e AC nei punti medi, fino ad incontrare la retta della base BC. Dimostrare che i segmenti di perpendicolare ottenuti sono congruenti.
18. Dimostrare che due triangoli isosceli aventi congruenti gli angoli al vertice e le relative bisettrici sono congruenti.
Capitolo 13
Parallelismo
In questa sezione studieremo uno dei concetti pi`u affascinanti e controversi della geometria: il parallelismo. Esso ci introduce allo studio di figure geometriche di grande interesse come ad esempio i quadrilateri notevoli.