Per i triangoli rettangoli `e possibile enunciare i criteri di congruenza in modo semplificato, poich´e essi hanno la caratteristica di avere un angolo retto.
Teorema 12.1.2. (Criteri di congruenza dei triangoli rettangoli) Se due triangoli rettangoli hanno ordinatamente congruenti due lati qualunque, oppure un lato qualunque e un angolo diverso da quello retto, allora essi sono congruenti.
Dimostrazione. Esplicitarla come esercizio nei seguenti semplici casi: due cateti ordinatamente congruen-ti, un lato qualunque ed un angolo acuto ordinatamente congruenti.
12.2 Le simmetrie centrale e assiale
Lo studio delle simmetrie `e molto importante in Geometria. In questo paragrafo studieremo le rappre-sentazioni delle simmetrie centrale e assiale e le definizioni che daremo saranno operative, vale a dire stabiliranno una procedura precisa per cui, a partire da una data figura, sar`a possibile costruire, con riga e compasso, la figura simmetrica. Proveremo che le simmetrie centrale e assiale sono isometrie, cio´e conservano le dimensioni.
Diamo intanto la seguente
Definizione 12.2.1. Sia O un punto del piano; si definisce circonferenza di centro O l’insieme dei punti del piano P equidistanti da O. Ciascuno dei segmenti OP , al variare di P sulla cironferenza, si chiama raggio della circonferenza.
Studieremo in modo approfondito la circonferenza nel secondo anno di corso.
Definizione 12.2.2. Siano dati un punto O, detto centro di simmetria, ed un punto qualsiasi P del piano. Si definisce simmetrico di P rispetto a O il punto Q ottenuto come segue:
1◦ si traccia la retta OP
2◦ si descrive la circonferenza di centro O e raggio OP
3◦ si individua l’intersezione Q della circonferenza con la retta OP , dalla parte opposta a P rispetto a O.
O P
Q
σO(P ) = Q
In una simmetria centrale, il centro di simmetria `e l’unico punto del piano che ha come simmetrico s´e stesso.
12.2 Le simmetrie centrale e assiale 147
Osservazione: Per costruire il simmetrico di un segmento AB si determinano i simmetrici dei due estremi A e B ottenendo, rispettivamente, A0 e B0, quindi A0B0 `e il simmetrico del segmento dato. Per un qualunque poligono di n lati si procede in modo analogo determinando il simmetrico di ogni singolo vertice ottenendo cos`ı il poligono simmetrico.
Stabiliamo la seguente notazione. In generale, per denotare che la figura geometrica G `e simmetrica della figura F rispetto al centro di simmetria O, si scrive σO(F ) = G. ´E evidente che, in base alla definizione operativa, risulta σO(G) = F , cio`e la figura simmetrica di G rispetto ad O `e la figura F .
´
E fondamentale la seguente propriet`a.
Teorema 12.2.1. La simmetria centrale `e un’isometria, cio`e il simmetrico di un segmento `e un segmento congruente al primo. O B0 B A A0 Hp: O, A, A0 allineati ∧ O, B, B0 allineati ∧ AO ∼= OA0∧ BO ∼= OB0 Th: AB ∼= A0B0
Dimostrazione. La figura precedente illustra la costruzione del simmetrico di AB rispetto ad O. 1. Consideriamo i triangoli AOB e
A0OB0
2. AO ∼= OA0 Hp
3. BO ∼= OB0 Hp
4. A bOB ∼= A0OBb 0 angoli opposti al vertice 5. AOB ∼= A0OB0 2., 3., 4., 1◦ c. c.
6. AB ∼= A0B0 5., si oppongono ad angoli congruenti
Nel capitolo sul parallelismo dimostreremo che i due segmenti sono anche paralleli. In generale, in una simmetria centrale ad ogni retta corrisponde una retta parallela alla prima.
Vediamo ora la definizione operativa di simmetria assiale.
Definizione 12.2.3. Siano dati una retta a, detta asse di simmetria, ed un punto qualsiasi P del piano. Si definisce simmetrico di P rispetto ad a il punto Q ottenuto come segue:
1◦ si traccia la retta r perpendicolare ad a e passante per P 2◦ si individua l’intersezione a ∩ r = {C}
12.2 Le simmetrie centrale e assiale 148 P C Q a Σa(P ) = Q r
In una simmetria assiale, ogni punto dell’asse di simmetria ha come simmetrico s´e stesso. Le argomentazioni dell’osservazione precedente valgono anche per la simmetria assiale.
Stabiliamo la seguente notazione. In generale, per denotare che la figura geometrica G `e simmetrica della figura F rispetto all’asse di simmetria a, si scrive Σa(F ) = G. ´E evidente che, in base alla definizione operativa, risulta Σa(G) = F , cio`e la figura simmetrica di G rispetto ad a `e la figura F .
Teorema 12.2.2. La simmetria assiale `e un’isometria, cio´e il simmetrico di un segmento `e un segmento congruente al primo. A B A0 B0 D C a Hp: AD ∼= DA0∧ BC ∼= CB0 Th: AB ∼= A0B0
Dimostrazione. Costruiamo il simmetrico A0B0 di AB rispetto all’asse a. Siano C e D i punti d’interse-zione rispettivamente con le perpendicolari per B e A all’asse. Tracciamo i segmenti AC e A0C.
12.2 Le simmetrie centrale e assiale 149
1. Consideriamo i triangoli ACD e A0CD
2. CD in comune
3. AD ∼= DA0 Hp
4. A bDC ∼= A0DC ∼b = π2 Hp
5. ACD ∼= A0CD 2., 3., 4., 1◦c. c.
6. AC ∼= A0C 5., si oppongono ad angoli congruenti 7. A bCD ∼= A0CDb 5., si oppongono a lati congruenti 8. Consideriamo i triangoli ACB e
A0CB0
9. BC ∼= CB0 Hp
10. B bCD ∼= B0CD ∼b = π2 Hp
11. A bCB ∼= A0CBb 0 10., 7., differenza di angoli congruenti 12. ACB ∼= A0CB0 6., 9., 11., 1◦ c. c.
13. AB ∼= A0B0 12., si oppongono ad angoli congruenti
Definizione 12.2.4. Una figura geometrica F `e dotata di centro di simmetria O se risulta σO(F ) = F , cio`e la figura simmetrica rispetto ad O di F `e F stessa.
Definizione 12.2.5. Una figura geometrica F `e dotata di asse di simmetria a se risulta Σa(F ) = F , cio`e la figura simmetrica rispetto ad a di F `e F stessa.
Vediamo ora un esempio di applicazione della simmetria assiale ponendo il seguente problema, detto problema di Erone.
Problema 12.2.1. Determinare il percorso pi`u breve che bisogna compiere per andare da un punto A ad un punto B toccando un punto C di una data retta r che non contiene A e B.
In definitiva bisogna individuare una opportuna condizione (ipotesi) per la quale risulta minima la somma di segmenti AC + CB. Il problema fu brillantemente risolto intorno al I secolo a.C. dal seguente Teorema 12.2.3 (Teorema di Erone). Siano dati una retta r e due punti qualunque ad essa esterni A e B. Sia C un punto di r tale che i segmenti AC e BC formino angoli congruenti con la retta r. Allora la somma di segmenti AC + BC `e minima.
A B C A0 D E r
Dimostrazione. Con riferimento alla figura precedente, sia A0= Σr(A), allora A bCE ∼= A0CE e AC ∼b = A0C in quanto la simmetria assiale `e un’isometria. Poich´e per ipotesi A bCE ∼= B bCD segue che A0
b
CE ∼= B bCD per la propriet`a transitiva della relazione di congruenza. Pertanto i punti A0, C, B risultano allineati in quanto A0CB ∼b = π. Per provare la tesi dimostreremo ora che, considerato un qualunque punto D ∈ r distinto da C, la somma di segmenti A0D + DB risulta maggiore della somma di segmenti A0C + CB ∼= A0B. Infatti nel triangolo A0DB, risulta A0B < A0D + DB per il 1◦ teorema della disuguaglianza triangolare.