Come si pu`o osservare, la scelta delle figure che sono enti primitivi `e caduta su oggetti particolar-mente semplici e ben fissati nella nostra particolar-mente dall’intuizione. Attraverso essi sar`a possibile definire esplicitamente le altre figure geometriche, dalle pi`u semplici a quelle via via pi`u complesse.
Quando definiremo esplicitamente una nuova figura geometrica seguiremo i seguenti criteri:
1. descriveremo rigorosamente e nel modo pi`u semplice la nuova figura geometrica a partire dagli enti primitivi o da altre figure gi`a definite;
2. assegneremo ad essa un nome. Vediamo alcuni esempi.
Definizione 8.2.1. Due rette aventi un punto in comune si dicono incidenti.
La precedente `e un esempio di definizione in cui vengono direttamente coinvolti gli enti primitivi retta e punto.
Definizione 8.2.2. Si definisce parallelogramma un quadrilatero avente i lati opposti a due a due paralleli.
In questa seconda definizione vengono coinvolti oggetti pi`u complessi, i quadrilateri. Inoltre, si fa uso della relazione di parallelismo tra rette. Entrambi i concetti devono essere stati definiti in precedenza.
8.3 Postulati e teoremi
Una volta definita una figura geometrica si procede allo studio delle sue propriet`a attraverso enunciati che naturalmente speriamo essere veri. Per gli enti primitivi, non definiti esplicitamente, si enunceranno delle proposizioni particolari che verranno considerate come autoevidenti senza richiedere una verifica esplicita. Tali proposizioni sono i postulati o assiomi della geometria piana.
Un postulato `e un enunciato della geometria che si assume identicamente vero senza che venga richiesta una verifica diretta.
Attraverso i postulati
1. elenchiamo le propriet`a degli enti primitivi (non definiti esplicitamente), per cui alcuni postulati costituiscono delle definizioni implicite degli enti primitivi stessi; oppure
2. esprimiamo regole precise che ci aiuteranno a sviluppare la nostra teoria in modo rigoroso; 3. deduciamo le propriet`a delle altre figure geometriche, ponendo altres`ı delle intrinseche limitazioni
alle costruzioni geometriche possibili.
Il numero e la scelta dei postulati devono soddisfare le seguenti propriet`a:
1. coerenza: non si possono enunciare postulati in contraddizione tra loro; inoltre, se da essi si deduce la proposizione P , non si pu`o dedurre anche la proposizione P , cio`e la negazione di P ;
2. indipendenza: un postulato non si deve dedurre da altri postulati.
Le propriet`a delle figure geometriche definite esplicitamente andranno dedotte e verificate rigorosa-mente, dando vita ai teoremi.
Un teorema `e un enunciato la cui validit`a `e sancita da una sequenza di deduzioni detta dimostrazione. Dall’enunciato di un teorema si distinguono
8.3 Postulati e teoremi 104
2. le tesi, le proposizioni che vogliamo dedurre a partire dalle ipotesi.
La dimostrazione di un teorema `e una sequenza ordinata di proposizioni, l’ultima delle quali `e proprio la tesi. Ciascuna proposizione della dimostrazione si deduce logicamente o dai postulati, o dalle definizioni, o da teoremi precedentemente dimostrati, o da righe precedenti della dimostrazione stessa.
In questo corso le dimostrazioni verranno condotte come segue. Intanto verranno esplicitate ipotesi e tesi in modo preciso e completo, in relazione ad una figura costruita con estrema cura. Il blocco relativo alla vera e propria dimostrazione `e suddiviso nelle seguenti tre colonne:
• la prima colonna riporter`a un numero progressivo per ogni passo; • la seconda colonna conterr`a una certa proposizione;
• la terza colonna la giustificazione rigorosa della validit`a della proposizione, con eventuali riferimenti a righe precedenti, definizioni, assiomi, teoremi precedentemente dimostrati, regole pratiche. Alle volte, per`o, le dimostrazioni verranno condotte in modo discorsivo perch´e non si prestano al tipo di esposizione descritto in precedenza.
Vediamo un esempio esplicativo, senza avere la pretesa di una immediata comprensione
Teorema 8.3.1. In ogni triangolo, ciascun angolo esterno `e congruente alla somma degli angoli interni ad esso non adiacenti.
A B D
C
D bBC ∼= A bCB + B bAC
Hp: D bBC angolo esterno triangolo ABC Th: D bBC ∼= A bCB + B bAC
Dimostrazione. Prolunghiamo il lato AB dalla parte di B. 1. D bBC + A bBC ∼= π angoli adiacenti
2. A bBC + A bCB + B bAC ∼= π teorema degli angoli interni
3. D bBC ∼= A bCB + B bAC 1., 2., supplementari di uno stesso angolo
Come si pu`o notare la fine di una dimostrazione `e indicata da un quadratino vuoto sulla destra. La struttura della dimostrazione illustrata in precedenza `e quella di una dimostrazione detta diretta: a partire dalle ipotesi, in modo diretto, attraverso tutti i passaggi descritti, si giunge alla verifica delle tesi.
Esiste, per`o, anche una dimostrazione indiretta, detta dimostrazione per assurdo, la quale si pu`o descrivere nel modo seguente. Indichiamo con Hp le ipotesi e con Th la tesi del nostro teorema. Supponiamo ora di negare la validit`a della tesi e procediamo ad analizzare le conseguenze logiche di tale assunzione. In generale esse porteranno ad uno dei seguenti casi:
8.3 Postulati e teoremi 105
• le Hp risultano false;
• due righe sono logicamente incompatibili;
• un teorema precedentemente dimostrato risulta falso.
Evidentemente ci`o non `e possibile per il principio di non contraddizione, in quanto una proposizione non pu`o essere contemporaneamente vera e falsa. Pertanto le conseguenze dell’assunzione che Th `e falsa ci portano ad una contraddizione, o come altrimenti si dice, ad un assurdo. L’assurdo `e nato dall’aver supposto la tesi falsa, quindi, per il principio del terzo escluso, essa dovr`a essere vera, concludendo in questo modo la dimostrazione del teorema.
Capitolo 9
I Postulati della Geometria
In questo capitolo presenteremo la maggior parte dei postulati della Geometria euclidea, i rimanenti verranno enunciati pi`u avanti quando si render`a necessario introdurli. Lo studio dei postulati `e di fon-damentale importanza per la comprensione dello sviluppo che daremo all’intero corso. Essi, come gi`a sottolineato nel precedente capitolo, stabiliscono in modo preciso le propriet`a degli enti primitivi, e, con le regole logiche elementari, permettono di dare un fondamento rigoroso alle propriet`a delle figure geome-triche che studieremo e dimostreremo. Tutte le figure geomegeome-triche saranno sempre intese come insiemi di punti.
9.1 Postulati di appartenenza
Postulato 1 (Primo postulato di appartenenza della retta). Per due punti distinti passa una ed una sola retta.
A
B r
Il postulato asserisce che una retta `e univocamente determinata da due punti. Essa `e, intuitivamente, come l’avete sempre immaginata, vale a dire come un oggetto geometrico rappresentabile attraverso l’uso di un righello.
Postulato 2 (Secondo postulato di appartenenza della retta). Ogni retta contiene almeno due punti distinti.
In effetti dedurremo che la retta contiene infiniti punti.
I punti che appartengono ad una retta si dicono allineati. Dal primo postulato si deduce che due punti sono sempre allineati.
9.1 Postulati di appartenenza 107
Pertanto, considerata una retta r, esiste sicuramente un punto P /∈ r.
A
B r P
Teorema 9.1.1. Due rette distinte r ed s hanno al massimo un punto in comune. Hp: r 6= s
Th: r ∩ s = {P } ∨˙ r ∩ s = ∅
r
P
s
Dimostrazione. Se le due rette non hanno punti in comune, allora segue immediatamente la tesi. Suppo-niamo che r ∩ s 6= ∅. 1. Per assurdo r ∩ s = {P, Q} 2. P ∈ r ∧ P ∈ s 1., definizione intersezione 3. Q ∈ r ∧ Q ∈ s 1., definizione intersezione 4. r = s 2., 3., 1◦ postulato di appartenenza della retta 5. r 6= s Hp 6. Contraddizione 4., 5. 7. r ∩ s = {P } 6.
Definizione 9.1.1. Due rette aventi un solo punto in comune si dicono incidenti.
Postulato 4 (Primo postulato di appartenenza del piano). Per tre punti distinti e non allineati passa uno ed un solo piano.
Il piano `e, pertanto, univocamente determinato da tre punti distinti, purch´e non appartengano alla stessa retta.
9.1 Postulati di appartenenza 108
Postulato 5 (Secondo postulato di appartenenza del piano). Se una retta ha due punti in comune col piano, allora `e interamente contenuta nel piano.
Dai postulati di appartenenza si deducono i seguenti risultati.
Teorema 9.1.2. Una retta r ed un punto A /∈ r individuano univocamente un piano α.
α A B C r Hp: r, A tali che A /∈ r
Th: esiste α unico contenente r e A Dimostrazione. .
1. r, A tali che A /∈ r Hp
2. esistono B, C ∈ r distinti postulato di appartenenza della retta 3. A, B, C tre punti distinti e non
allineati
1., 2.
4. esiste α unico 3., 1◦ postulato di appartenenza del piano
Teorema 9.1.3. Due rette incidenti r ed s individuano univocamente un piano α.
α C B A r s Hp: r 6= s ∧ r ∩ s = {A} Th: esiste α unico Dimostrazione. . 1. r ∩ s = {A} Hp
2. esistono B, A ∈ r distinti 1◦postulato di appartenenza della retta 3. esistono C, A ∈ s distinti 1◦postulato di appartenenza della retta