2. Consideriamo i triangoli ABC e ABD
3. rks Hp
4. AD⊥r, s BC⊥r, s Hp 5. ABC e ABD triangoli rettangoli 4. 6. AB in comune
7. C bAB ∼= D bBA a.a.i. formati da rks e AB 8. ABC ∼= ABD 5., 6., 7., 2◦ c.c.g.
9. AD ∼= BC 8., si oppongono ad angoli congruenti
13.3 Teorema degli angoli interni di un triangolo
Vedremo in questo paragrafo diverse applicazioni importanti dei criteri di parallelismo. Cominciamo subito con uno dei pi`u noti teoremi sui triangoli.
Teorema 13.3.1. In ogni triangolo, la somma degli angoli interni `e congruente ad un angolo piatto.
A B
C
D E
r
Hp: ABC triangolo qualunque Th: A bBC + A bCB + B bAC ∼= π
Dimostrazione. Conduciamo per C la retta r parallela al lato AB, che per il V postulato di Euclide `e unica.
1. ABkr costruzione
2. B bAC ∼= D bCA a.a.i. formati da ABkr e AC 3. A bBC ∼= E bCB a.a.i. formati da ABkr e BC 4. D bCA + E bCB + A bCB ∼= π figura
5. A bBC + A bCB + B bAC ∼= π 2., 3., 4.
Pertanto, la conoscenza di due angoli di un triangolo individua univocamente il terzo angolo. Conseguenze immediate sono i seguenti corollari. Il primo corollario `e il secondo criterio di congruenza generalizzato che abbiamo gi`a dimostrato in un precedente capitolo.
Corollario 13.3.1 (Secondo criterio di congruenza generalizzato). Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due angoli e un lato qualunque, allora essi sono congruenti.
13.3 Teorema degli angoli interni di un triangolo 167
Dimostrazione. In base al teorema degli angoli interni si pu`o applicare il secondo criterio di congruenza.
Corollario 13.3.2 (Secondo teorema dell’angolo esterno). In ogni triangolo, ciascun angolo esterno `e congruente alla somma degli angoli interni ad esso non adiacenti.
A B D
C
D bBC ∼= A bCB + B bAC
Hp: D bBC angolo esterno triangolo ABC Th: D bBC ∼= A bCB + B bAC
Dimostrazione. Prolunghiamo il lato AB dalla parte di B. 1. D bBC + A bBC ∼= π angoli adiacenti
2. A bBC + A bCB + B bAC ∼= π teorema degli angoli interni
3. D bBC ∼= A bCB + B bAC 1., 2., differenza di angoli congruenti
Corollario 13.3.3. In ogni triangolo, la somma degli angoli esterni `e congruente a due angoli piatti.
A B
C
F
E
D
Hp: D bBC, A bCE, B bAF angoli esterni triangolo ABC Th: D bBC + A bCE + B bAF ∼= 2π
13.3 Teorema degli angoli interni di un triangolo 168 1. D bBC + A bBC ∼= π angoli adiacenti 2. A bCE + A bCB ∼= π angoli adiacenti 3. B bAF + C bAB ∼= π angoli adiacenti 4. D bBC + A bBC + A bCE + A bCB + +B bAF + C bAB ∼= 3π
1., 2., 3., somma membro a membro
5. A bBC + A bCB + C bAB ∼= π teorema degli angoli interni
6. D bBC + A bCE + B bAF ∼= 2π 4., 5., differenza di angoli congruenti
Teorema 13.3.2. La somma degli angoli interni di un poligono convesso di n lati `e congruente a n − 2 angoli piatti. A B C D E P
Hp: ABCDE... poligono convesso di n lati
Th: bA + bB + bC + bD + bE + ... ∼= (n − 2) π
Dimostrazione. La figura precedente rappresenta un pentagono per fissare le idee, noi ragioniamo pen-sando che esso abbia n lati, con n > 3. Congiungiamo il punto interno P con i vertici del poligono, si vengono a determinare n triangoli. La somma degli angoli interni di tutti i triangoli `e congruente a nπ; per ottenere la somma degli angoli interni del poligono dobbiamo sottrarre alla somma precedente l’angolo giro di vertice P . Si ottiene, pertanto, nπ − 2π, da cui la tesi.
Applicando il teorema precedente, si ottiene che la somma degli angoli interni di un qualunque quadrilatero `e congruente a (4 − 2) π ∼= 2π, mentre per un ottagono convesso (8 − 2) π ∼= 6π.
Corollario 13.3.4. La somma degli angoli esterni di un qualunque poligono convesso `e congruente a due angoli piatti.
La dimostrazione `e lasciata per esercizio.
Esercizi
1. Dimostrare che in triangolo rettangolo gli angoli diversi dall’angolo retto sono acuti. Dimostrare, inoltre, che non pu`o esistere un triangolo rettangolo equilatero.
2. Due rette parallele formano con una trasversale due angoli coniugati interni che sono l’uno doppio dell’altro; a quale frazione dell’angolo retto equivale ciascuno degli angoli?
13.3 Teorema degli angoli interni di un triangolo 169
3. Sia ABC un triangolo e sia CH la bisettrice dell’angolo bC. Da un punto D 6= H del lato AB si conduca la retta r parallela alla bisettrice CH. Si dimostri che la retta r interseca le rette AC e BC in due punti che hanno la stessa distanza dal vertice C.
4. Dato il triangolo ABC, sia P il punto d’intersezione delle bisettrici degli angoli bA e bB. Condurre per P la retta parallela al lato AB, che incontra i lati AC e BC nei punti E ed F rispettivamente. Dimostrare che EF ∼= AE + BF .
5. Due segmenti AB e CD hanno il punto medio M in comune. Dimostrare che le rette AC e BD sono parallele.
6. Dagli estremi di un segmento AB, nello stesso semipiano rispetto alla retta AB, condurre due segmenti AC e BD paralleli. Dimostrare che, se CDkAB, allora AC ∼= BD.
7. Sia ABC un triangolo equilatero e sia r la retta bisettrice degli angoli esterni di vertice A. Dimostrare che rkBC.
8. In un triangolo isoscele ABC di base AB, siano M e N rispettivamente i punti medi di AC e BC. Dimostrare che M N kAB.
9. Dimostrare che, in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa lo divide in due triangoli che hanno tra loro e col triangolo di partenza gli angoli ordinatamente congruenti.
10. Sulle rette parallele r e s scegliere rispettivamente due segmenti congruenti AB e CD, congiungere A con C e B con D. Provare che i segmenti AC e BD sono sia paralleli che congruenti.
11. Sia ABC un triangolo isoscele di base AB. Dimostrare che la bisettrice dell’angolo esterno di vertice C `e parallela alla base AB.
12. Preso un punto P sulla bisettrice di un angolo A bOB, si conducano per P le parallele ai lati OA e OB fino ad incontrare in C e D rispettivamente i lati OB e OA. Dimostrare che i segmenti OC, OD, P C, P D sono congruenti.
13. Dal vertice di un angolo si conduca una semiretta perpendicolare alla sua bisettr`ıce, dimostrare che essa `e a sua volta bisettriee di uno degli angoli adiacenti all’angolo dato.
14. Dimostrare che, se la bisettrice d’un angolo esterno di un triangolo risulta parallela al lato opposto, il triangolo `e `ısoscele con base canonica questo lato.
15. Nel triangolo ABC si conducano le bisettrici degli angoli bB e bC e sia D il loro punto d’incontro; da D si mandi poi la parallela a BC fino ad incontrare i lati AC e AB nei punti N e M rispettivamente; dimostrare che BM + CN ∼= M N .
Capitolo 14
Quadrilateri notevoli
In questa sezione affronteremo lo studio dei trapezi e dei parallelogrammi. Le propriet`a di tali figure, note come quadrilateri notevoli, si deducono facilmente applicando i criteri di parallelismo studiati nel capitolo precedente.
In particolare studieremo i parallelogrammi speciali, vale a dire rombo, rettangolo e quadrato. Classifi-cheremo i parallelogrammi in base alla cosiddetta gerarchia dei parallelogrammi, procedendo dal generale al particolare nello spirito del sistema ipotetico-deduttivo.
14.1 Il trapezio
Definizione 14.1.1. Si definisce trapezio ogni quadrilatero avente due soli lati opposti paralleli. I due lati paralleli si dicono rispettivamente base minore e base maggiore, gli altri due si dicono lati obliqui.
A B
C D
Teorema 14.1.1. In ogni trapezio, gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono supplementari. Dimostrazione. Semplice esercizio
Come per i triangoli, esistono trapezi speciali, i quali hanno propriet`a pi`u interessanti dei trapezi generali.
14.1 Il trapezio 171
A B
C D
Le propriet`a sugli angoli interni che enunceremo ricordano quelle relative ad un triangolo isoscele, con le ovvie differenze determinate dalla diversa forma geometrica.
Teorema 14.1.2. In ogni trapezio isoscele, gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti. Hp: ABkCD AD ∼= BC Th: D bAB ∼= A bBC A bDC ∼= B bCD A B C D H K
Dimostrazione. Costruzione: si conduca da D il segmento DH⊥AB e da C il segmento CK⊥AB. 1. Consideriamo AHD e CKB
2. AD ∼= BC Hp
3. DH ∼= CK costruzione, distanza tra rette parallele costante
4. A bHD ∼= B bKC ∼= π2 costruzione
5. AHD ∼= CKB 2., 3., 4., c.c. triangoli rettangoli 6. D bAB ∼= A bBC 5., si oppongono a lati congruenti 7. D bAB + A bDC ∼= π Hp, adiacenti ad AD
8. A bBC + B bCD ∼= π Hp, adiacenti a BC
9. A bDC ∼= B bCD 6., 7., 8., supplementari di angoli congruenti
Dal precedente teorema si deduce il seguente
14.1 Il trapezio 172 Hp: ABkCD AD ∼= BC Th: AC ∼= BD A B C D
Dimostrazione. Tracciamo le diagonali AC e BD. 1. Consideriamo ABD e ABC
2. AB in comune figura
3. AD ∼= BC Hp
4. D bAB ∼= A bBC Hp, angoli alla base maggiore 5. ABD ∼= ABC 2., 3., 4., 1◦ c.c.
6. AC ∼= BD 5., si oppongono ad angoli congruenti
Le diagonali incontrandosi, supponiamo nel punto O, dividono il trapezio in quattro triangoli, a due a due opposti rispetto ad O, che soddisfano le seguenti propriet`a.
Teorema 14.1.3. Le diagonali di un trapezio isoscele, incontrandosi nel punto O, lo dividono in quattro triangoli, dei quali due triangoli sono isosceli e aventi gli angoli ordinatamente congruenti, mentre gli altri due triangoli sono congruenti.
A B
C D
O
Pi`u precisamente, osservando la figura, i triangoli AOB e COD sono isosceli e hanno gli angoli ordinatamente congruenti, mentre i triangoli AOD e BOC sono congruenti.
Dimostrazione. Lasciata come esercizio.
Con riferimento all’ultima figura, s’intuisce che un trapezio isoscele non `e dotato di centro di simme-tria, perch´e, in caso contrario, il punto O sarebbe punto medio di entrambe le diagonali. Per`o ci chiediamo se esso non sia dotato di asse di simmetria.