Debug articolo di Milosavljevic et al [17]

Una attività che ha interessato in maniera non trascurabile il presente lavoro di tesi è stata il debug dell’articolo di Milosavljevic et al. [17] che presentava errori non trascurabili nella sua trascrizione che impedivano la corretta soluzione del sistema di equazioni differenziali da esso ricavato.

Si ripercorreranno punto per punto i passaggi salienti dell’articolo in questione al fine di fare chiarezza e permettere una corretta interpretazione futura delle relazioni in esso riportate.

Per trattare questo argomento si sceglie di seguire la notazione adottata nell’articolo che risulterà differente rispetto a quella di questo lavoro di tesi. A tal proposito si può notare in nomenclatura una apposita sezione dove si riporta la nomenclatura usata nell’articolo in questione. Si andrà a mantenere la numerazione delle equazioni originale dell’articolo in parallelo alla numerazione della tesi, al fine di dare un riferimento più semplice.

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In rosso verranno evidenziati gli errori riscontrati mentre in verde si potranno vedere le correzioni.

Nomenclatura

Si fa notare in primo luogo la presenza di unità di misura non corrette nella nomenclatura iniziale delle grandezze usate. Si specifica che:

 Le temperature sono in [°C] anziché in [K]  Il calore specifico è in

anziché in  Il calore latente di vaporizzazione è in

anziché in

Equazione (5)

d ̇ = k ∙ ∙ ∙ ∙ ( − ) ∙ ∙ Eq. 4.38

Questa equazione non è formalmente corretta poiché a sinistra si ha un differenziale che a destra invece non c’è. Inoltre si nota che è riportata la densità con pedice g che per la notazione dell’articolo significherebbe aria secca. Nel nostro caso tuttavia si va a valutare il coefficiente di trasferimento di massa k per l’aria umida e quindi tale densità dovrebbe essere quella dell’aria umida. Quest’ultima correzione sarà apportata senza ulteriori specificazioni nelle seguenti equazioni.

Si riporta l’equazione corretta:

d ̇ = k ∙ ∙ ∙ ∙ ( − ) ∙ ∙ Eq. 4.39

Equazione (6)

=6 ∙

ϕ =

Eq. 4.40

Questa uguaglianza, fondamentale per la risoluzione del sistema, è stata riportata in maniera errata e questo si può notare andando a fare una analisi dimensionale. Sappiamo infatti che la superficie effettiva di scambio termico è esprimibile in e

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rappresenta la superficie di scambio termico disponibile per unità di volume di controllo, ma secondo l’equazione Eq. 4.40, la numero (6) dell’articolo, si ha:

= 6 ∙

ϕ =

6 ∙ [ ]

= _{Eq. 4.41}

Questo errore porta a impedire il corretto funzionamento del sistema. Si riporta l’equazione opportunamente corretta in accordo con quanto riportato in [1]:

= 6 ∙ϕ= Eq. 4.42

Equazione (7)

̅ = ∙ 1 +( − )∙ = Eq. 4.43

Si fa notare che il termine ̅ rappresente ciò che durante questo lavoro è stato rinominato A(z). Questa equazione è stata riproposta in maniera diversa da quella che è riportata sull’articolo. Infatti, per ipotesi, si propone un andamento lineare dell’accrescimento del diametro della goccia al variare della coordinata z.

Se si da uno sguardo all’equazione Eq. 4.43, la numero (7) dell’articolo, però, appare che questa ipotesi non sarebbe rispettata. Si propone quindi un metodo alternativo per stimare la ̅ come segue:

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Figura 4.19: Schema per la determinazione dall’area effettiva di scambio ̅ (non in scala).

̅ = + ( − ) ∙ Eq. 4.44

Si sa che:

a) = ∙ ∙ b) = ∙ ∙ Eq. 4.45

Dove n indica il numero di gocce di acqua generate, allora:

̅ = + ∙ ∙ − ∙ Eq. 4.46

Supponendo che il numero di gocce rimanga costante dall’ingresso all’uscita, si ha: = 6 ∙ ϕ ∙ Eq. 4.47 ̅ = + 6 ∙ ϕ ∙ ∙ ∙ − ∙ Eq. 4.48 ̅ = + 6 ∙ ϕ ∙ ∙ ∙ ∙ − ∙ Eq. 4.49

E quindi, si può proporre l’equazione corretta per l’area della superficie della gocce al variare della coordinata z :

76 Equazione (8)

d ̇ = ̅ ∙ k ∙ ∙ _, − _, ∙ Eq. 4.51

analogamente a quanto detto per l’equazione Eq. 4.38, si nota la mancanza di un termine differenziale sulla destra. Se ne riporta la correzione:

d ̇ = ̅ ∙ k ∙ ∙ _, − _, ∙ Eq. 4.52 Equazione (12)

dX

d

= −

∙ K ∙ ρ

∙ (X − X ) ∙A

ṁ

Questa equazione riporta un errore di notazione che però crea problemi rilevanti. Si è notato infatti che il termine Ad che rappresenterebbe la sezione della goccia (se ci si

attiene alla notazione dell’articolo), non è corretto (questo è logico se si pensa che si è già tenuto conto della sezione della goccia nel termine ̅ ). Infatti il termine giusto da mettere nell’equazione in questione è AD che rappresenta la sezione trasversale

dello scrubber, che assieme a dz rappresenta il volume di controllo all’interno del quale si va a fare l’integrazione:

d = ∙ Eq. 4.54

Si riporta l’equazione opportunamente corretta: dX d = − ̅ ∙ K ∙ ρ ∙ (X − X ) ∙A ṁ Eq. 4.55 Equazione (16) dh dz = + ∙ ∙ + ∙ ∙ ∙ Eq. 4.56

Innanzitutto questa equazione riporta un termine errato nella notazione. Infatti r0 non

è riportato in alcun modo nell’articolo e quindi rimarrebbe indefinito. Il termine evidenziato in rosso tra parentesi è errato nella forma e ci si accorge di questo e del precedente errore andando a derivare la formula generale dell’entalpia dell’aria umida:

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ℎ = ∙ + ∙ ( ∙ + ℎ ) Eq. 4.57

L’equazione corretta è: dh

dz = + ∙ ∙ + ∙ + ∙ Eq. 4.58

Usando la notazione dell’articolo infatti H è il calore latente di vaporizzazione dell’acqua e in questo modo si è andati a verificare che in realtà r0 deve essere sostituito da H.

Equazione (20)

= ̅ ∙ α ∙ T − T + k ∙ ρ ∙ (X − X ) ∙ h ∙ Eq. 4.59

Si nota la mancanza di un termine differenziale sulla destra. Si riporta l’espressione corretta: = ̅ ∙ α ∙ T − T + k ∙ ρ ∙ (X − X ) ∙ h ∙ Eq. 4.60 Equazione (21) dT d =− ∙ α ∙ T − T + k ∙ ρ ∙ (X − X ) ∙ H ∙ A − ṁ ∙ ∙ T ∙ dX d ṁ ∙ c + c ∙ X Eq. 4.61

In questa equazione si può notare un errore nel termine tra parentesi evidenziato in rosso, ma un altro grosso errore si può notare nel segno meno davanti al termine a destra dell’equazione. Quest’ultimo in particolare è molto influente e rende l’equazione concettualmente sbagliata. Entrambi gli errori si possono comprendere e risolvere andando a ricavare l’equazione Eq. 4.61 passo passo.

Questa equazione deriva dall’uguaglianza:

= ̇ ∙ ℎ ∙ = ̇ ∙ ℎ ∙ + ℎ ∙ ̇ =

= − ̅∙ α ∙ Tg− Ts + k ∙ ρ_aum∙(X∞− Xs)∙ H ∙

78 Essendo ̇ costante, la sua derivata è nulla.

Si fa notare che, essendo il fenomeno in questione un raffreddamento della corrente di aria, si pone il negativo perché si presenta sotto forma di calore sottratto all’aria umida.

Quindi si può estrapolare la formula corretta della variazione di temperatura dell’aria umida al variare della coordinata z:

dT d = − ∙ α ∙ T − T + k ∙ ρ ∙ (X − X ) ∙ H ∙ A − ṁ ∙ c ∙ T ∙ dX d ṁ ∙ c + c ∙ X Eq. 4.63

Si può notare come la posizione del segno meno sia variata rispetto al caso dell’articolo. Inoltre il termine tra parentesi era riportato in maniera completamente errata. Equazione (22) dT d = ∙ α ∙ T − T + k ∙ ρ ∙ (X − X ) ∙ H ∙ A − ṁ ∙ c ∙T ∙ dX d c ∙ ṁ + ṁ ∙ (X(1) − X(z)) Eq. 4.64

In questa relazione si possono notare evidenziati in rosso due errori di notazione. Infatti anziché T si dovrebbe avere T , mentre il termine sotto dovrebbe essere riscritto come:

ṁ + ṁ ∙ (X X ) Eq. 4.65

Tuttavia, l’errore più grande che si è andati ad individuare è la mancanza di un segno meno posto davanti al termine sulla destra dell’equazione. Apparentemente l’equazione sembra scritta correttamente perché si pensa che l’acqua, raffreddando l’aria, si riscalda e quindi avrebbe un gradiente di temperatura positivo, e quindi un segno più davanti all’equazione.

Questo sarebbe corretto, tuttavia, se i due fluidi fossero equicorrente. Nel caso esaminato nell’articolo (e nel lavoro di tesi) i fluidi sono in controcorrente e quindi, seguendo la coordinata z dal fondo dello scrubber alla cima, l’acqua, secondo un concetto del tutto analitico, è come se si raffreddasse. Infatti l’integrazione viene

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fatta nel verso del raffreddamento dell’aria ma nel verso contrario del riscaldamento dell’acqua e quindi, andando a ricavare l’equazione Eq. 4.64 in maniera analoga a quanto fatto per l’equazione numero (21) dell’articolo, si ha:

= ( ̇ ∙ ℎ )∙ = ̇ ∙ ℎ ∙ + ℎ ∙ ( ̇ )=

= − ̅ ∙ α ∙ T − T + k ∙ ρ ∙ (X − X ) ∙ h ∙

Eq. 4.66

In questo caso la derivata della portata dell’acqua non è nulla poiché varia a causa della condensazione che si verifica all’interno dello scrubber. Il termine sulla sinistra presenta un meno davanti, in accordo con quanto detto sopra.

L’equazione così corretta si riporta di seguito:

dT d =

− ̅ ∙ α ∙ T − T + h ∙ ρ ∙ (X − X ) ∙ H ∙ A − ṁ ∙ c ∙ T ∙dX_d

c ∙ ṁ + ṁ ∙ (X X )

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