La scoperta della radioattivit`a naturale, fatta da Henri B´equerel nel 1896, `e all’origine dello studio della fisica nucleare. Ci vollero molti anni per capire la natura dei decadimenti dei nuclei che avvengono in diversi modi
• decadimento α: emissione di nuclei di elio;
• decadimento β: emissione di elettroni o positroni;
• decadimento γ: emissione di radiazione elettromagnetica; • fissione: scissione in due o pi`u nuclei;
in cui un nucleo di massa M1 decade in un nucleo di massa M2 < M1 e la differenza
di massa si converte in massa e energia cinetica dei prodotti di decadimento.
2.4.1
Legge di decadimento
Gi`a nei primi anni di studio dei decadimenti delle sostanze radioattive si dimostr`o che l’attivit`a, definita come il numero di decadimenti nell’unit`a di tempo, decresce nel tempo con legge esponenziale e che il processo di decadimento `e di natura ca- suale. Questa evidenza port`o a concludere che il decadimento radioattivo non `e originato dalla mutazione delle caratteritiche chimiche della sostanza, ma risulta dalla successione di pi`u processi che coinvolgono i singoli atomi. Il fenomeno del decadimento di una sostanza radioattiva si pu`o interpretare sulla base delle seguenti ipotesi:
• la probabilit`a di decadimento nell’unit`a di tempo `e una propriet`a della sostanza
e del processo di decadimento e non dipende dal tempo;
• in una sostanza contenente N nuclei, la probabilit`a di decadimento nell’unit`a
di tempo del singolo nucleo non dipende da N.
Quindi la probabilit`a di decadimento in un intervallo di tempo dt `e
dP = λ dt
dove λ `e la costante di decadimento caratteristica del processo e ha dimensioni [s−1].
Se la sostanza contiene N nuclei e se il numero N `e grande in modo da poterlo trattare come una variabile continua, la variazione (diminuzione) del numero di nuclei nell’intervallo di tempo dt `e
−dN = λ N dt
Conoscendo il valore di N a un certo istante, N(t = 0) = No, si ottiene l’andamento
nel tempo del numero di nuclei e dell’attivit`a della sostanza
Il valore medio della distribuzione `e la vita media del decadimento τ = R∞ o t N(t) dt R∞ o N(t) dt = 1 λ
In fisica delle particelle si quota la vita media mentre in fisica dei nuclei si quota di solito il tempo di dimezzamento definito come l’intervallo di tempo in cui il numero di nuclei si dimezza Z t1/2 o λ N(t) dt = Z ∞ t1/2 λ N (t) dt = No 2 ⇒ t1/2 = τ ln 2 = 0.693 τ L’unit`a di misura comunemente usata per l’attivit`a `e il Curie, definito come l’attivit`a di un grammo di radio
1 Ci = 3.7 1010 disintegrazioni/secondo
• Il nucleo 226
88 Ra decade emettendo particelle α di energia cinetica 4.9 MeV
con un tempo di dimezzamento t1/2 = 1602 anni. La vita media `e τ =
1602 × π 107/0.693 = 7.3 1010 s. L’attivit`a di un grammo di 226 88 Ra `e A = N τ = 6.02 1023 226 7.3 1010 s = 3.7 10 10 s−1
Un’altra unit`a di misura `e il Bequerel che corrisponde a una disintegrazione al secondo, 1 Bq = 0.27 10−10 Ci.
2.4.2
Larghezza di decadimento
Il fenomeno casuale del decadimento non si pu`o interpretare in base alle leggi della meccanica classica. In meccanica quantistica la probabilit`a di decadimento dallo stato |ii allo stato |f i si pu`o calcolare con i metodi della teoria delle perturbazioni con le ipotesi
• gli stati |ii e |f i sono autostati della hamiltoniana Ho che descrive il sistema
nucleare e si possono calcolare, ad esempio, a partire dal potenziale di inter- azione nel modello a strati;
• la transizione |ii → |f i avviene per effetto della hamiltoniana HI che descrive
l’interazione;
• la perturbazione `e piccola, |hf |HI|ii| ¿ |hi|Ho|ii|.
Per effetto dell’interazione, gli autovalori dell’energia vengono modificati Ei → Ei0 =
Ei+ ∆Ei− iΓi/2 e lo stato non conserva la densit`a di probabilit`a per l’introduzione
del termine immaginario nell’evoluzione temporale
Otteniamo la legge di decadimento esponenziale (appendice ???). Γi `e chiamata
larghezza di decadimento e rappresenta l’indeterminazione dell’energia dello stato
non stazionario: se il sistema ha un valor medio del tempo di sopravvivenza nello stato | ii pari a τ , la sua energia `e nota con una incertezza Γ definita dalla relazione di indeterminazione
Γ τ = ¯h
La funzione di distribuzione dell’energia dello stato |ii attorno al valor medio Ei `e
una curva lorentziana con larghezza pari a Γ
f (E) = 1 π
Γ/2
(E − Ei)2+ (Γ/2)2
La probabilit`a di decadimento nell’unit`a di tempo dallo stato |ii allo stato |f i si calcola con i metodi della teoria delle perturbazioni (appendice ???). Al primo ordine dello sviluppo perturbativo:
1 τ = λ = 2π ¯h |h f | HI | i i| 2 ρ(E f)
Nei decadimenti dei nuclei la variazione di energia `e ∆E ' 100 keV ÷ 10 MeV . I decadimenti radiativi con le vite medie pi`u brevi, τ ≥ 10−16 s, hanno larghezza di
decadimento Γ ≤ 10 eV , quindi gli stati di energia non si sovrappongono e, a tutti gli effetti, il decadimento dei nuclei avviene tra stati quasi stazionari.
2.4.3
Decadimenti in cascata
Se un nucleo prodotto in un decadimento `e a sua volta radioattivo si producono decadimenti in cascata. Questo fenomeno interessa principalmente i nuclei pesanti che danno origine a catene radioattive con molti decadimenti in cascata. Se τ1 `e la
vita media del decadimento nucleo1 → nucleo2 e questo a sua volta decade con vita
media τ2, abbiamo
dN1 = −λ1 N1 dt dN2 = −λ2 N2 dt + λ1 N1 dt
La soluzione per il numero di nuclei2 `e del tipo
N2(t) = a e−λ1t+ b e−λ2t
Supponiamo che all’istante t = 0 il numero di nuclei1 sia No e che non ci siano
nuclei2, N2(0) = 0. In questo caso la variazione del numero di nuclei2 all’istante
t = 0 `e uguale all’attivit`a dei nuclei1
N2(t = 0) = a + b = 0 Ã dN2 dt ! t=0 = −aλ1− bλ2 = λ1No
e, determinando le costanti con le condizioni inizali, a = −b = Noλ1/(λ2− λ1), si
ottengono le attivit`a dei nuclei in funzione del tempo
A1(t) = Noλ1 e−λ1t A2(t) =
Noλ1λ2
λ2− λ1
Esempio: τ2 < τ1 (λ2 > λ1)
In questo caso il nucleo2 decade pi`u rapidamente nel nucleo che lo genera e la sua
attivit`a, nulla a t = 0, aumenta fino a superare l’attivit`a del nucleo1 al tempo
t∗ = (ln λ
2/λ1)/(λ2− λ1) e poi diminuisce. Per t À t∗ si raggiunge una situazione di
equilibrio in cui il rapporto tra le attivit`a `e approssimativamente costante (Fig.2.16)
A2(t) A1(t) = λ2 λ2− λ1 h 1 − e−(λ2−λ1)t i lim t→∞ A2(t) A1(t) = λ2 λ2− λ1
Questa situazione si definisce di equilibrio transiente. Se τ2 ¿ τ1, all’equilibrio i
nuclei2 decadono non appena vengono formati e le attivit`a sono approssimativamente
uguali λ2N2 = λ1N1. Questa situazione si definisce di equilibrio secolare.
Esempio: τ2 > τ1 (λ2 < λ1)
In questo caso l’attivit`a dei nuclei2 aumenta rapidamente per effetto dei decadimenti
dei nuclei1 e raggiunge il valore massimo al tempo t∗ = (ln λ1/λ2)/(λ1 − λ2). A
tempi t À t∗ il numero di nucleo
1 `e molto diminuito e l’attivit`a dei nuclei2 decresce
esponzialmente con vita media τ2 (Fig.2.16). In questo caso non si raggiunge una
situazione di equilibrio tra le attivit`a.
0 . 0 0 . 1 1 . 0 0000 2222 4444 6666 8888 11110000 parent nucleus daughter nucleus ττττ //// ττττ 2222 ττττ1111 >>>> ττττ2222 0 . 0 0 . 1 1 . 0 0 2 4 6 8 1 0 parent nucleus daughter nucleus ττττ 1111 <<<< ττττ2222 ττττ //// ττττ1111
Catene radioattive
Se sono coinvolti pi`u nuclei, abbiamo
dN1 = −λ1 N1 dt
dN2 = −λ2 N2 dt + λ1 N1 dt
. . .
dNn= −λn Nn dt + λn−1 Nn−1 dt
e la soluzione per le popolazioni dei nuclei `e del tipo
N1(t) = N11 e−iλ1t
N2(t) = N21 e−iλ1t + N22 e−iλ2t
. . .
Nn(t) = Nn1 e−iλ1t + Nn2 e−iλ2t + . . . +Nnn e−iλnt
in cui la popolazione di nucleik al tempo t `e espressa in funzione delle costanti di
decadimento dei nuclei 1, 2, . . . , k − 1. La soluzione si semplifica se inizialmente sono presenti solo i nuclei1 (N1(0) = No e N2(0) = N3(0) = . . . = Nk(0) = 0). In
questo caso i coefficienti sono
Njk = No Q i6=j λi Q i6=j (λi− λk) = No λ1. . . λk (λ1− λk) . . . (λj − λk)
In alcuni casi particolari, quando il primo nucleo della catena `e molto meno stabile dei successivi, λ1 ¿ λ2 < . . . λn, si raggiunge una situazione di equilibrio secolare in
cui N1λ1 = N2λ2 = . . . = Nnλn.
2.4.4
Produzione di nuclei radioattivi
Se un nucleo radioattivo che ha vita media τ viene prodotto ad un tasso Λ costante, ad esempio con una reazione nucleare in cui il flusso di proiettili `e costante, si ha
dN = Λ dt − λ N dt dλN λN − Λ = −λ dt La soluzione `e N(t) = 1 λ (Λ + C e −λt) = τ (Λ + C e−t/τ)
Se non ci sono nuclei radioattivi all’istante iniziale, N(0) = τ (Λ + C) = 0, si ha
N(t) = Λτ (1 − e−t/τ) lim
t→∞N(t) = Λτ