1.5 Metodi di rivelazione delle particelle
1.5.5 Metodi di misura delle variabili cinematiche
Negli esperimenti si misurano le variabili cinematiche delle particelle: direzione, impulso, velocit`a, energia, massa, . . . I metodi di misura dipendono dagli obiettivi e dalle condizioni del particolare esperimento.
Misura di carica elettrica
I metodi di rivelazione delle particelle che abbiamo illustrato dipendono dal quadrato della carica elettrica che `e un multiplo intero della carica elementare e. Quindi
qualunque sia il metodo di misura c’`e una dipendenza dalla carica elettrica. Il segno della carica `e misurato dal moto in campi elettrici o magnetici.
Misura di impulso
L’impulso di una particella carica si misura dalla curvatura in campo magnetico. La componente dell’impulso normale alla direzione del campo `e pn = 0.3 zB(`)ρ (in
unit`a GeV, Tesla, metro) dove ρ `e il raggio di curvatura, ze `e la carica elettrica e ` `e la coordinata lungo la traiettoria. Consideriamo l’esempio di impulso elevato, cio`e raggio di curvatura grande e angolo di deflessione piccolo, e particelle con z = 1.
• Se la misura `e fatta con un rivelatore di tracce interno ad un campo magnetico
uniforme la sagitta dell’arco di circonferenza `e inversamente proporzionale all’impulso (ρ − s)2+ (`/2)2 = ρ2 s = `2 8ρ 1 pn = 4 s 0.3R B(`)`d`
se l’errore di misura della sagitta `e δs, la risoluzione `e
δpn
pn
= pn
4 δs 0.3RB(`)`d`
• Se la misura `e fatta con rivelatori esterni al campo magnetico, l’angolo di
deflessione `e θ = ` ρ 1 pn = θ 0.3R B(`)d`
se si utilizzano due rivelatori di spessore L ciascuno con risoluzione angolare
δθ = δs/L, la risoluzione `e δpn pn = pn √ 2 δs/L 0.3R B(`)d`
In entrambe i casi la precisione `e definita dal potere risolutivo spaziale e peggiora con l’aumentare del’impulso: δp/p ∝ p. Oltre agli errori strumentali occorre tener conto della diffusione coulombiana multipla della particella carica lungo il percorso hθ2
si =
(14 MeV /pβc)2`/X
o e aggiungere questo tipo di errore. Quindi, in generale, la
risoluzione di una misura di impulso dipende dai due effetti non correlati: risoluzione spaziale dei rivelatori e diffusione coulombiana multipla
δp p =
h
Am p2+ As i1/2
Misura di velocit`a
Misure di velocit`a si possono effettuare con rivelatori ˇCerenkov, con misure di tempo di volo, oppure misurando la ionizzazione specifica che `e funzione solo di β:
• se si misura l’angolo di emissione della radiazione ˇCerenkov, cos θ = 1/nβ, la risoluzione `e δβ/β = tan θ δθ;
• se si misura il tempo di volo con due rivelatori che hanno risoluzione temporale δt posti a distanza L, la risoluzione `e δβ/β =√2 (βc/L) δt;
• misure di ionizzazione specifica si possono fare campionando la perdita di
energia per ionizzazione di una particella pi`u volte lungo il suo percorso. Dato l’andamento di dE/dx in funzione di β, la sensibilit`a `e molto maggiore per velocit`a minori del valore di minima ionizzazione.
Se `e noto l’impulso, una misura di velocit`a pu`o determinare la massa della particella. La sensibilit`a della misura peggiora all’umentare dell’impulso, quando cio`e β → 1
p = mβcγ δm m = δ(βγ) βγ = γ3 δβ βγ = 1 1 − β2 δβ β Misura di energia
Se sono note due grandezze tra massa, velocit`a e impulso `e nota anche l’energia:
E = mγ = p/β. Una misura diretta di γ si pu`o fare con rivelatori sensibili alla radi-
azione di transizione. Questo `e un metodo di misura difficile perch´e l’intensit`a della radiazione di transizione `e bassa e la rivelazione dei raggi X non `e molto efficiente. Per fotoni o elettroni si sfrutta lo sviluppo di sciami elettrofotonici. Un rivelatore capace di contenere tutto lo sviluppo di uno sciame e di misurare la ionizzazione dei secondari `e chiamato calorimetro. La grandezza caratteristica dello sviluppo di uno sciame `e la lunghezza di radiazione e lo spessore di materiale necessario per assor- bire l’energia di uno sciame aumenta lentamente con il logaritmo dell’energia: quindi l’energia della particella primaria `e assorbita in un numero limitato di lunghezze di radiazione. Materiali con densit`a e Z elevati hanno una piccola lunghezza di ra- diazione e possono assorbire gli sciami in dimensioni contenute. Un calorimetro pu`o essere omogeneo o a campionamento. Il primo `e realizzato con cristalli scin- tillanti oppure con vetri di elevata densit`a che emettono radiazione ˇCerenkov. Il secondo `e realizzato alternando strati di assorbitore con strati di rivelatore costitu- iti di scintillatori, o rivelatori a gas, o camere a ionizzazione a liquido, o rivelatori a semiconduttore. Poich´e il numero di secondari `e proporzionale all’energia della particella primaria, N = Pnsec = κE e lo sviluppo dello sciame `e un fenomeno
statistico, la risoluzione in energia dovuta alle fluttuazioni del numero di secondari (δN =√N, migliora con l’energia
δE E = δN N = 1 √ κE
Misura di massa
Se `e nota la carica elettrica di una particella, se ne pu`o misurare la massa studiando il moto in campi elettrici e magnetici: `e il metodo usato nel famoso esperimento di Thomson. Questo `e il principio di funzionamento degli spettrometri di massa con cui si misurano le masse dei nuclei atomici. Per particelle relativistiche occorrono campi elettrici troppo elevati e la massa si pu`o determinare misurando due variabili cinematiche tra velocit`a, impulso e energia. Nelle reazioni nucleari in cui si produce una particella, la sua massa `e determinata dal bilancio energetico della reazione, cio`e dalla conservazione dell’energia e dell’impulso. La massa di una particella instabile si determina misurando l’impulso dei sui prodotti di decadimento. Se, ad esempio, una particella di massa M decade in due particelle di massa m1 e m2 note, e si
misurano gli impulsi ~p1 e ~p2, la massa `e pari all’energia totale delle due particelle,
detta anche massa invariante
P2 = M2 = (P1+ P2)2 = m21+ m22+ 2E1E2− 2p1p2cos θ (c = 1)
Supponiamo, per semplificare i calcoli, che nel riferimento in cui si effettua la misura
p À m (E ≈ p) M2− m2 1− m22 ≈ 2p1p2 (1 − cos θ) = 4p1p2 sin2θ/2 2MdM = 4p1p2 sin2θ/2 Ã dp1 p1 +dp2 p2 + dθ tan θ/2 !
Se δp1 ≈ δp2 e δθ1 ≈ δθ2 sono gli errori di misura degli impulsi e degli angoli delle
due particelle e non sono correlati, la risoluzione della misura di massa `e
δM M = M2− m2 1− m22 M2 Ã δp p !2 + Ã δθ 2 tan θ/2 !2 1/2
Misura di vita media
Molti nuclei e molte particelle sono instabili e decadono con vita media τ definita dalla legge di decadimento N(t) = Noe−t/τ. Come vedremo pi`u avanti, le misure di
vita media si estendono in un intervallo di 40 ordini di grandezza e vi sono diversi metodi di misura.
Se τ `e molto grande rispetto alla durata della misura ∆t, la vita media si de- termina contando il numero di decadimenti Nd se si conosce la popolazione del
campione Nd= N(t) − N(t + ∆t) ≈ N(t) ∆t τ τ = N Nd ∆t
Questo `e il metodo di misura per deterninare la vita media della maggior parte dei nuclei radioattivi. La risoluzione `e determinata dall’errore statistico, √Nd e,
Se τ `e confrontabile con la durata della misura ed `e possibile conoscere l’istante in cui la particella `e prodotta, la vita media si determina misurando la distribuzione dei tempi di decadimento
dN dt =
No
τ e
−t/τ
Questa misura `e possibile se la risoluzione temporale δt `e molto minore di τ . Date le caratteristiche dei rivelatori che abbiamo esaminato, la risoluzione ottenibile in una misura di tempo non `e migliore di circa 10−9 s, questo fissa il limite di sensibilit`a di
questo metodo di misura. Va tenuto conto per`o che la vita media τ di una particella che ha velocit`a β ≈ 1 nel laboratorio `e misurata come γτ da un orologio fisso nel laboratorio e questo effetto tende a ridurre il limite dovuto alla risoluzione δt.
La vita media di una particella in moto nel laboratorio si pu`o determinare mis- urando la distanza tra il punto di produzione e il punto di decadimento se si conosce la velocit`a. Se la particella ha velocit`a βc la vita media nel laboratorio `e γτ e la funzione di distribuzione della distanza percorsa nel laboratorio `e
dN dx = dN dt dt dx = No γτ e −x/βcγτ 1 βc = No λ e −x/λ
dove λ = βγcτ = (p/m)cτ `e il valor medio del percorso della particella prima di decadere. Con un rivelatore che ha una risoluzione spaziale δx ≈ 30 µm si possono misurare vite medie τ ≈ 10−13/βγ s.
Per particelle instabili con vita media molto pi`u piccola, questa si pu`o deter- minare con misure della larghezza di decadimento Γ = ¯h/τ che `e legata all’intensit`a della interazione reponsabile del decadimento. Il valore di Γ si pu`o determinare da misure della massa invariante dei prodotti di decadimento della particella oppure da misure di sezione d’urto in cui `e prodotta la particella.