Interazione di dipolo magnetico

Il protone e il neutrone hanno spin ¯h/2 e momento magnetico

~µ = g µN ~s µN =

e¯h

2mp

= 3.15 10−8 _{eV /T}

µN `e il magnetone nucleare e g `e il fattore giromagnetico. Il momento magnetico

nucleare `e prodotto dai momenti magnetici dei singoli nucleoni e dal moto orbitale dei protoni ed `e parallelo all’asse dello spin nucleare. Il fattore giromagnetico del nucleo, gI, pu`o essere positivo o negativo

~µN = gI µN I~

Misure del momento magnetico dei nuclei si effettuano con diversi metodi basati sull’interazione del momento di dipolo con il campo magnetico atomico o con campi magnetici artificiali.

Struttura iperfina degli spettri atomici

L’energia di interazione con il campo magnetico atomico

Eµ = − ~µ · ~B(0)

produce la struttura iperfina dei livelli atomici. Il campo magnetico atomico `e parallelo al momento angolare totale dell’atomo, ~J, e i vettori momento angolare

dell’atomo e del nucleo si sommano a formare il momento angolare totale del sistema

~

F = ~I + ~J F = |I − J|, . . . , I + J − 1, I + J

La molteplicit`a dei livelli `e il pi`u piccolo tra i valori 2I +1 e 2J +1. Se indichiamo con

~

B(0) = fJJ il campo magnetico nell’origine, l’energia di interazione `e proporzionale~

al prodotto scalare dei vettori momento angolare ~I · ~J ~

F2 _{= ~I}2_{+ ~J}2_{+2 ~I· ~J I· ~}~_{J =} F~2− ~I2− ~J2

2 =

F (F + 1) − I(I + 1) − J(J + 1)

2 e l’energia di interazione si esprime

EIJ = − gI fJ µN

F (F + 1) − I(I + 1) − J(J + 1)

2

Se I ≤ J la molteplicit`a delle righe di struttura iperfina, 2I + 1, misura lo spin del nucleo. Se invece I > J, la struttura iperfina `e formata da 2J + 1 livelli e, se J `e noto, il valore di I si ottiene con la regola degli intervalli misurando le differenze di energia ∆EIJ. In generale i livelli della struttura iperfine sono equispaziati

con ∆EIJ ≈ 10−6 eV corrispondente a frequenze (0.1 ÷ 1) GHz.

Alcune irregolarit`a nella distribuzione dei livelli sono dovute all’energia di inter- azione di quadrupolo elettrico del nucleo che `e tipicamente ≈ 10−8_{eV corrispondente}

a frequenze (1 ÷ 10) MHz.

Per determinare il momento di dipolo magnetico del nucleo occorre conoscere il campo magnetico ~B(0). Il calcolo del valore di ~B(0) `e piuttosto complesso e si

hanno buone approssimazioni nel caso di configurazioni semplici come quelle degli atomi alcalini. Nello stato fondamentale il momento angolare orbitale atomico `e nullo e l’autofunzione ha valore non nullo nell’origine. Il campo magnetico `e dovuto al momento magnetico dell’elettrone, ~µe = 2µB~s, che produce una densit`a di mag-

netizzazione a simmetria sferica ~M(r) = |ψe(r)|2~µe. Il campo magnetico nell’origine

vale ~ B(0) = 2µo 3 |ψe(0)| 2 _~µ e

Ad esempio, nel caso dell’atomo di idrogeno nello stato n = 1, ` = 0

ψe(r) = 1 √ 4π µ_Z ao ¶3/2 2e−Zr/ao _{Z = 1} si ha (con µo= 4π 10−7 Hm−1, ao = 0.53 10−10 m, µB = 9.3 10−24 J/T ) B(0) = 2µo 3 µB πa3 o ≈ 17 T

Un metodo pi`u accurato per misurare i momenti magnetici nucleari `e l’analisi della struttura iperfina prodotta con un campo magnetico esterno. L’energia di inter- azione ha tre contributi

• l’interazione del momento magnetico nucleare nel campo atomico; • l’interazione del momento magnetico nucleare nel campo esterno; • l’interazione dei momenti magnetici degli elettroni nel campo esterno;

E = −gI fJ µN ~I · ~J − ~µI· ~Bext+ ~µJ· ~Bext

Nel caso di campo esterno debole, Bext ¿ 10−6eV /µB ≈ 0.02 T , si ha effetto Zeeman

in cui F `e un buon numero quantico e ciascun livello della struttura iperfina si divide in 2F + 1 livelli equispaziati E = −gI fJ µN ~I · ~J + gF µB Fz Bext gF = gJ F (F + 1) + J(J + 1) − I(I + 1) 2F (F + 1) + gI µN µB F (F + 1) − J(J + 1) + I(I + 1) 2F (F + 1) dove il secondo termine `e trascurabile.

Pi`u interessante `e il caso di campo esterno forte (Bext À 0.02 T ) in cui i momenti

magnetici interagiscono in modo indipendente col campo esterno (effetto Paschen- Back)

E = −gI fJ µN I · ~~ J − gI µN Iz Bext+ gJ µB Jz Bext

In questo caso i 2J + 1 livelli elettronici si separano sensibilmente e ciascuno si suddivide in 2I + 1 livelli equispaziati in modo da poter determinare sia il momento angolare I che il momento magnetico gIµN. Un esempio di questo metodo `e la

misura del momento magnetico del protone.

Metodo della risonanza magnetica con fasci atomici

Questo metodo, introdotto col famoso esperimento di Stern e Gerlach nel 1921, e perfezionato da Rabi nel 1934, utilizza fasci atomici o molecolari. Una sorgente, a temperatura T , emette atomi o molecole con velocit`a distribuite secondo la funzione di distribuzione di Maxwell e il fascio `e collimato con fenditure disposte opportuna- mente in due regioni in cui vi sono due campi magnetici non omogenei con gradienti uguali e opposti (Fig.2.6). La forza che agisce sul momento di dipolo magnetico

S ∂Bz ∂z ∂Bz ∂z Bo rivelatore ωo

Figure 2.6: Metodo dei fasci molecolari sviluppato da Stern e Rabi

E = −gI µN Iz B Fz = −∂E

∂z = gI µN Iz ∂B

∂z

separa il fascio in 2I + 1 componenti. Poich´e l’effetto dovuto al momento magnetico degli elettroni `e molto maggiore, conviene considerare il caso di atomi o molecole con momento angolare totale J = 0 in cui la separazione del fascio `e dovuta al solo contributo del momento magnetico nucleare. Se il campo magnetico nelle due regioni `e indipendente dal tempo, non induce transizioni tra i livelli di energia e gli atomi emessi con velocit`a opportuna percorrono due traiettorie paraboliche e ven- gono raccolti dal rivelatore. Se in una regione intermedia vi `e un campo magnetico uniforme e costante ~Bok ~z i livelli di energia sono

EI = −gI µN Iz Bo

Se in questa regione `e anche presente un campo magnetico oscillante a frequenza ω con la componente Bxy(ω) normale alla direzione di Bo, questo induce transizioni

tra gli stati quando la frequenza corrisponde alla differenza di energia tra i livelli ¯hω∗ _{= ∆E}

I = gIµNBo ∆Iz ∆Iz = ±1, ±2, . . .

la traiettoria cambia nel secondo magnete e il fascio non `e pi`u focalizzato sul rive- latore. La condizione di assorbimento di risonanza si pu`o ottenere variando sia Bo

che ω. Il momento magnetico si determina dal rapporto gIµN = ¯hω∗/Bo.

Metodo della risonanza magnetica nucleare

Questo metodo sfrutta l’assorbimento risonante di radiazione elettromagnetica in campioni di materiali polarizzati. La magnetizzazione di un campione contenente n nuclei per unit`a di volume a temperatura T `e data dalla funzione di Langevin

hMi = n µ hcosθi = n µ R eµBcosθ/kT _{cosθ dΩ} R eµBcosθ/kT _dΩ ≈ n µ µB 3kT

per µB ¿ kT . A temperatura ambiente con B = 1 T si ha hcosθi < 10−6_{, quindi}

l’effetto `e molto piccolo.

La trattazione quantistica della risonanza della magnetizzazione nucleare in un campione di materiale `e stata fatta da Bloch che ha mostrato che

• il moto statistico dei singoli atomi con energia ≈ kT non diluisce l’effetto; • i meccanismi di scambio di energia tra i momenti magnetici nucleari e gli

atomi del materiale ha tempi di rilassamento molto maggiori dell’inverso della frequenza di risonanza in modo da preservare l’eccesso di popolazione statistica indotto dal campo magnetico esterno.

In queste condizioni l’assorbimento risonante di radiazione elettromagnetica `e os- servabile. Se indichiamo con ~I il momento angolare nucleare per unit`a di volume [J s m−_3] ~ M = γ ~I γ = µo 4π g e 2m l’equazione del moto in un campo magnetico costante `e

d ~M dt = γ d~I dt = γ ~M ∧ ~B − ~ M τ

dove τ `e il tempo di rilassamento. Il metodo della risonanza magnetica nucleare `e stato sviluppato da Purcell e da Bloch nel 1946 (Fig.2.7). Si utilizza un campo magnetico costante elevato, Bz, per polarizzare il campione e un campo alternato

con componenti a frequenza angolare ω nel piano normale Bxy(ω). Se `e soddisfatta

la condizione τ À 1/γBz, il vettore magnetizzazione del campione segue nel piano

x−y il campo oscillante e alla frequenza di risonanza, ω∗ _{= γB}

z, assorbe energia dal

campo Bxy(ω) cambiando la componente lungo l’asse z. La condizione di risonanza

`e rivelata dalla corrente generata per induzione in una bobina avvolta attorno al campione.

Bo Bo M ω B(ωRF) ωo segnale indotto

Figure 2.7: Metodo della risonanza magnetica nucleare sviluppato da Bloch e Purcell