Nelle macchine di piccole dimensioni lo spazio disponibile per l'installazione dei collegamenti fra gli avvolgimenti costituisce una limitazione al numero di poli [5].
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore Nel caso in esame, data l'elevata velocità di rotazione (4500 rpm), la frequenza di funzionamento è elevata, pertanto non è consigliabile adottare un numero di poli troppo elevato.
2.6.2 In uenza del numero di poli e di cave sul fattore di avvolgimento
Se si desidera massimizzare la coppia prodotta dal motore è opportuno in- crementare il più possibile il fattore di avvolgimento KW. A tal proposito è molto
utile introdurre il parametro q, ossia il numero di cave per polo fase, de nito come: q = QS
Nmnf (2.11)
dove nf rappresenta il numero delle fasi.
Sulla base del suo valore è possibile distinguere fra due tipologie di avvolgimento: q intero → avvolgimento a passo intero (distribuito)
q frazionario (< 1) → avvolgimento frazionario (concentrato) [9] Dato che il dispositivo da dimensionare è un motore brushless a usso assiale con architettura YASA, esso adotta FSCW (Fractional Slot Concentrated Windings). L'avvolgimento rientra dunque nel caso q < 1. Per questa tipologia di avvolgi- mento il relativo fattore KW varia in funzione del numero di poli Nm e di cave QS
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore
Tabella 2.3 Valori di KW in funzione di Nm e di QS per q < 1 nel caso di
avvolgimento Single Layer (in alto) e di avvolgimento Double Layer (in basso) [9]
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore
Figura 2.3 Andamento di KW in funzione di q [9]
Dall'osservazione della Figura 2.3 è possibile notare che il fattore di avvolgimento presenta un massimo in corrispondenza di q ' 1/3. Ricordando la de nizione del numero di cave per polo fase e tenendo presente che la macchina è trifase (nf = 3)
si giunge alla seguente relazione: q = QS Nmnf = QS Nm3 ' 1 3 ⇐⇒ QS Nm ' 1 (2.12)
Per massimizzare il fattore di avvolgimento, quindi, il numero di poli e di cave devono essere prossimi [5].
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore 2.6.3 In uenza del numero di poli e di cave sui livelli di vibrazione
e rumore
Le vibrazioni ed il rumore acustico emessi dal dispositivo possono raggiungere livelli considerevoli se il numero di poli e di cave non è selezionato adeguatamente. Per evitare che una situazione simile si veri chi occorre rendere il massimo comun divisore di Nm e QS maggiore di 1, ovvero il numero di simmetrie della macchina
deve superare l'unità. In Tabella 2.4 è riportato l'MCD per varie combinazioni di Nm e QS [5].
Tabella 2.4 MCD per varie combinazioni di Nm e QS
2.6.4 In uenza del numero di poli e di cave sulla coppia di cogging
La combinazione del numero di poli e di cave ha ripercussioni anche sull'enti- tà del cogging. Pe minimizzare questo fenomeno occorre scegliere il valore di Nm e
di QS in modo tale che il loro minimo comune multiplo sia il più elevato possibile.
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore
Tabella 2.5 mcm per varie combinazioni di Nm e QS
2.6.5 In uenza del numero di poli e di cave sulla trasformazione dell'avvolgimento da doppio strato a singolo strato
Quando è richiesta un'elevata a dabilità del dispositivo è opportuno valuta- re l'opzione di un avvolgimento single layer (SL). Contrariamente al caso double layer (DL), infatti, nel caso di avvolgimento a singolo strato gli avvolgimenti ap- partenenti a fasi diverse sono sicamente separati, come è possibile osservare in Figura 2.4. Ciò comporta una separazione termica ed elettrica degli avvolgimen- ti, un aumento delle autoinduttanze, con conseguente riduzione delle correnti di corto circuito, ed una riduzione delle mutue induttanze, cui segue un isolamento magnetico fra le fasi. Anche il fattore di riempimento risulta maggiore. Per contro un avvolgimento SL rispetto ad uno DL introduce un maggior ripple di coppia, maggiori perdite nel rotore, rende le fem meno sinusoidali e può essere realizzato sfruttando un numero di combinazioni di Nm e QS minore [5][9].
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore
Figura 2.4 Confronto fra avvolgimento single layer (sinistra) e double layer (destra)
Per poter realizzare una trasformazione da DL a SL è opportuno ricordare che: Il rapporto QS/Nm deve essere vicino all'unità.
Se il MCD(QS, p) è pari la trasformazione è sempre eseguibile.
Se il MCD(QS, p) è dispari la trasformazione può essere eseguita
solo se QS/M CD(QS, p) è pari [5].
In Tabella 2.6 è riportato l'MCD per varie combinazioni di p e QS:
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore 2.6.6 In uenza del numero di poli e di cave sul tipo di avvolgimento
e sul suo layout
Come accennato al punto 2.6.2, se il numero di cave per polo fase q è un intero allora l'avvolgimento è a passo intero o distribuito, mentre se è un numero frazionario minore di 1 allora l'avvolgimento è frazionario o concentrato. In questo secondo caso ogni bobina si avvolge attorno al proprio dente statorico e non si ve- ri ca sovrapposizione delle testate. All'interno di questa categoria di avvolgimenti è possibile operare un'ulteriore distinzione, basata anch'essa sul valore del numero di cave per polo fase [5]:
1 < q ≤ 0, 5. In questo caso gli avvolgimenti risultano disposti lungo la circonferenza di macchina con successione di tipo ABCABC.
0, 5 < q ≤ 0, 25. In questo caso gli avvolgimenti si dispongono in forma rag- gruppata adottando una sequenza di tipo AABBCC. Si parla di avvolgimenti concentrati di tipo modulare [5].
Quanto appena detto può essere visualizzato in Figura 2.5.
Figura 2.5 Layout degli avvolgimenti nel caso 1 < q ≤ 0, 5 (in alto) e nel caso 0, 5 < q ≤ 0, 25(in basso)
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore
2.7 Valutazione dello stress meccanico tangenziale agente
sullo statore e sui rotori
Se il numero di cave ed i parametri geometrici del motore sono stabiliti, è possibile valutare la tensione tangenziale agente sui rotori e sullo statore, in modo da veri care che essa non superi i valori massimi consentiti. Sfruttando un approc- cio meccanico tale tensione viene determinata come rapporto fra la forza agente sul corpo in esame e la super cie del corpo esposta alla forza. Con riferimento ad un rotore, quanto appena detto si traduce in:
¯ σR= F SR = Tn/2 ravg 1 2πravg(re− ri) [5] (2.13) dove: ¯
σR tensione tangenziale media agente sulla super cie di rotore
F forza tangenziale agente sul rotore SR super cie del rotore
ravg raggio medio
Nella formula compare Tn/2 in quanto ciascun rotore sviluppa metà della coppia
nominale. Per quanto riguarda lo statore si procede in modo del tutto analogo, avendo però l'accortezza di ridurre la sua super cie della quota parte occupata dalle cave: ¯ σS = F SS = Tn/2 ravg 1 2πravg(re− ri) − QSWStt(re− ri) (2.14) dove: ¯
σS tensione tangenziale media agente sulla super cie di statore
F forza tangenziale agente sullo statore
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore Nella formula compare ancora Tn/2, nonostante sullo statore gravi l'intera Tn, poi-
ché si sta valutando l'interazione fra lo statore ed un singolo rotore. Sfruttando Tn sarebbe stata valutata l'interazione fra lo statore ed entrambi i rotori, di con-
seguenza SS sarebbe raddoppiata ed il risultato sarebbe stato il medesimo.
2.8 Determinazione delle Ampere-Spire per avvolgimento
Una volta stabilito il numero di cave si procede alla determinazione di un parametro molto importante nel dimensionamento di un motore: le Ampere-Spire che ogni avvolgimento di cava deve ospitare. L'importanza di questo parametro è legata sia al suo signi cato sico che alla sua versatilità. Per quanto riguarda il primo aspetto, le Ampere-Spire sono responsabili della produzione del campo magnetico statorico, il quale, interagendo con quello rotorico generato dai magneti permanenti, è alla base della produzione della coppia. La versatilità del parametro è legata al fatto che durante la fase di dimensionamento, che si struttura su processi iterativi in cui molte grandezze non sono note ma devono essere determinate, le Ampere-Spire permettono di non dover scindere fra corrente che scorre negli avvolgimenti e loro numero di spire, ma tiene conto di entrambi, consentendo di non dover ssare né l'uno né l'altro parametro in una fase in cui la macchina non è ancora de nita ed è soggetta a numerosi e continui cambiamenti. Le Ampere- Spire trasportano quindi un alto contenuto informativo ed il loro valore in uenza direttamente la geometria delle cave. Questo parametro, inoltre, è strettamente legato al carico elettrico, de nito come la somma delle correnti che scorrono in tutti i conduttori di macchina distribuita su una circonferenza di raggio r. Per questo motivo sovente ci si riferisce al carico elettrico chiamandolo densità lineare di corrente.
Riconosciuto quindi il legame delle Ampere-Spire con la coppia sviluppata dal dispositivo e con il carico elettrico, per risalire alle Ampere-Spire che ogni cava del motore deve ospitare si fa ricorso ad una relazione che lega la coppia nominale al carico elettrico:
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore Tn= 1 4h π ˆBgKW ˆ A re3(1 − KD2)(1 + KD)senβ [5] (2.15) dove: h numero di statori/rotori ˆ
Bg ampiezza della fondamentale dell'induzione al traferro prodotta dai magneti
KW fattore di avvolgimento
ˆ
A carico elettrico, espresso in A/m e valutato in corrispondenza del raggio medio KD rapporto fra il raggio interno e quello esterno
β angolo di coppia
Il valore della densità lineare di corrente in corrispondenza del raggio medio risulta quindi:
ˆ
A = 4Tn
h π ˆBgKW r3e(1 − KD2)(1 + KD)senβ
(2.16) Da tale valore si risale alle Ampere-Spire di cava (espresse in valore e cace):
AScava=
ˆ AτS
√
2 (2.17)
dove τS è lo slot pitch (passo di cava) valutato in corrispondenza del raggio medio,
pari a:
τS =
2πravg
QS
(2.18) Poiché le speci che assegnate richiedono un avvolgimento a doppio strato, ciò signi ca che ogni cava ospita i lati attivi di due avvolgimenti. Di conseguenza le Ampere-Spire per avvolgimento risultano:
ASavv =
AScava
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore le Ampere-Spire per avvolgimento ed il carico elettrico: fra i due parametri vi- ge infatti una diretta proporzionalità. La prima equazione di questo paragrafo mostra inoltre che, ssata la coppia ed i parametri geometrici del motore, fra ca- rico elettrico ed induzione al traferro esiste una relazione di proporzionalità inversa.
2.9 Determinazione dell'area di cava
Una volta determinate le Ampere-Spire per avvolgimento si devono dimen- sionare le cave di statore in modo che siano in grado di contenerle. Assegnate quindi le Ampere-Spire per avvolgimento e la massima densità di corrente ammes- sa all'interno dei conduttori, è possibile risalire alla super cie minima occupata dal rame di un avvolgimento all'interno di una cava:
SCumin =
ASavv
Jmax
[5] (2.20)
Dato che il motore adotta una con gurazione degli avvolgimenti double layer, una cava deve essere in grado di ospitare i lati attivi di due bobine. Tenendo conto inoltre del fattore di riempimento Kf ill, l'area minima della cava deve essere:
Scavamin = 2SCumin Kf ill = 2ASavv Kf illJmax (2.21) La sezione minima dei conduttori può essere valutata come:
Scondmin =
SCumin
Nspireavv
(2.22) in cui con Nspireavv) è stato indicato il numero di spire di ogni singolo avvolgimento.
La sezione commerciale del conduttore sarà, fra le disponibili, quella immediata- mente maggiore della sezione appena calcolata [5]. Pertanto la super cie eettiva occupata dal rame di un avvolgimento all'interno di una cava risulta:
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore
SCu = NspireavvScond comm.le (2.23)
Da cui:
Scava =
2SCu
Kf ill
(2.24) Il valore del fattore di riempimento assegnato in speci ca, pari a 0,5, è fortemente cautelativo, in quanto impone che metà dell'area di cava resti inutilizzata. Così facendo si evita che conduttori appartenenti a fasi diverse si trovino ad essere ecces- sivamente vicini, con conseguenti problemi di isolamento, ma non solo. Un fattore di riempimento basso permette di eseguire il dimensionamento della cava conser- vando un margine di spazio che può tornare utile successivamente. Tale margine è in grado di assorbire, ad esempio, la discrepanza fra la sezione dei conduttori teorica e quella disponibile in commercio, permettendo di relegare in un secondo momento la consultazione dei cataloghi dei fornitori. Oppure, se procedendo nel dimensionamento ci si accorge di dover aumentare il numero delle Ampere-Spire, l'avere a disposizione un margine consente di realizzare tale operazione agevolmen- te, senza dover eseguire nuovamente il dimensionamento della cava e tutto ciò che ne deriva; si tratterà semplicemente di aumentare il fattore di riempimento della cava, operazione impossibile se quest'ultimo è elevato n da principio.
2.10 Determinazione delle dimensioni del dente e della cava
Nota l'area di cava occorre determinare come questa si ripartisca in termini di altezza e larghezza. Tali dimensioni in uenzano direttamente quelle del dente statorico o, per essere più precisi, quelle della sua porzione centrale. L'analisi svol- ta nelle pagine seguenti, infatti, riguarda principalmente questa regione del dente, mentre i raccordi e le teste superiore ed inferiore vengono analizzati brevemente a ne paragrafo.
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore loro larghezza, quella della cava si mantiene costante in direzione radiale, mentre quella del dente varia da un valore minimo in corrispondenza del raggio interno, ad uno massimo in corrispondenza di quello esterno. L'obiettivo del dimensiona- mento è massimizzare lo sfruttamento del materiale ferromagnetico di statore, per raggiungere il quale occorre evitare che nello statore si veri chi saturazione. Ciò equivale ad imporre che l'induzione nel dente non superi il valore massimo consen- tito Bmax [5].
Si consideri quindi una corona circolare di traferro, avente spessore in nitesimo e posta alla generica distanza r dall'asse di macchina, e si consideri anche un set- tore circolare, avente medesimo spessore e posto alla stessa distanza dall'asse di macchina, che interessi la regione centrale di un dente, come mostrato in Figura 2.6.
Figura 2.6 Corona circolare di traferro (in rosso) e settore circolare di un dente (in blu)
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore espresso come:
dφg = π[(r + dr)2− r2] ˆBg [5] (2.25)
La relazione è espressa in termini scalari in quanto la direzione principale delle linee di usso nel traferro e nei denti è assiale. È quindi lecito, in prima approssimazione, trascurare le altre componenti del usso e svolgere l'intera analisi in termini scalari. Per quanto riguarda il usso magnetico in nitesimo che interessa il settore circolare del dente, la sua forma è del tipo:
dφt = Bt(r)Wt(r)dr [5] (2.26)
dove Bt e Wt indicano rispettivamente l'induzione nel dente e l'arco descritto dal
dente, entrambi dipendenti dalla coordinata radiale r.
Lo statore si compone di QS cave e, di conseguenza, di altrettanti denti. Di
conseguenza il usso in nitesimo che attraversa tutti i denti statorici sarà QS
volte il usso in un singolo dente, ovvero QSdφt. Per facilitare il proseguimento
dell'analisi scegliamo di trascurare i ussi di dispersione, il che equivale ad assumere l'ipotesi sempli cativa secondo la quale tutto il usso di traferro con uisce nei denti. Tali assunzioni permettono di scrivere:
dφg = QSdφt (2.27)
Sostituendo la (2.25) e la (2.26) nella (2.27) si ottiene: π[(r + dr)2− r2] ˆB
g = QSBt(r)Wt(r)dr (2.28)
Sviluppando i conti e trascurando gli in nitesimi di ordine superiore si giunge alla seguente scrittura:
Bt(r) =
2πr ˆBg
QSWt(r)
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore
A questo punto sfruttando la de nizione di slot pitch (passo di cava, ossia l'arco descritto da un dente ed una cava adiacenti):
τS(r) =
2πr QS
(2.30) si ottiene il seguente risultato:
Bt(r) = ˆBg
τS(r)
Wt(r)
(2.31) La relazione evidenzia la dipendenza dell'induzione nel dente dalla larghezza del dente stesso. Sviluppando ulteriormente:
Wt(r) = τS(r) − WS =
2πr QS
− WS (2.32)
Quanto scritto conferma ciò che è stato detto all'inizio del paragrafo, ovvero che la larghezza della cava è costante (WS non dipende da r), mentre quella del dente
varia in modo continuo e con legge lineare da un valore minimo in corrispondenza del raggio interno riad un valore massimo in corrispondenza di quello esterno re. A
partire da questo risultato è possibile ricavare la legge di variazione dell'induzione nel dente statorico. Sostituendo la (2.32) nella (2.31), infatti, si giunge a:
Bt(r) = ˆBg τS(r) τS(r) − WS = ˆBg 1 1 − WS τS(r) = ˆBg 1 1 − QSWS 2πr = ˆBg r r − QSWS 2π (2.33) A tale legge corrisponde l'andamento decrescente riportato in Figura 2.7. Dall'os- servazione del gra co è immediato constatare che la regione del dente maggior- mente sollecitata da un punto di vista magnetico è quella in corrispondenza del raggio interno, dove l'elemento risulta più stretto. Quindi, per evitare che si veri- chi saturazione all'interno del dente, è necessario imporre che in corrispondenza del raggio interno l'induzione non superi il valore limite [5].
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore
Figura 2.7 Andamento di Bt in funzione di r
Ciò equivale a scrivere:
Bt(ri) = Bmax= ˆBg
ri
ri− QS2πWS
(2.34) Rielaborando quest'ultima relazione è nalmente possibile esplicitare l'arco de- scritto dalla cava, pari a:
WS =
2πri(Bmax− ˆBg)
QSBmax (2.35)
Noto WS, sfruttando la (2.32) si risale alla larghezza del dente Wt(r).
Per quanto concerne le problematiche di saturazione, avendo dimensionato il dente in modo che l'induzione non superi il valore massimo in corrispondenza del raggio interno, che è la regione maggiormente sollecitata, sicuramente non lo farà in corrispondenza di raggi maggiori, dove il dente risulta dunque sovradimensionato [5]. Inoltre è opportuno ricordare che l'intero ragionamento si basa sull'ipotesi di assenza di forme di dispersione del usso, che quindi si concentra totalmente nei denti statorici. Nella realtà questo non avviene, pertanto il ragionamento svolto
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore Ora che sia la larghezza che l'area di cava sono note, quest'ultima determinata nel paragrafo precedente, è possibile ricavarne l'altezza (coincidente con quella del busto del dente ht). Dato che il busto di due denti successivi delinea una cava di
forma rettangolare, è lecito scrivere:
Scava= bSht (2.36)
La base della cava bS altro non è che la corda associata all'arco WS. Per deter-
minarla è su ciente sfruttare il teorema della corda, non appena l'angolo sotteso dalla cava risulta noto. Poiché la larghezza della cava è costante al variare del raggio, l'angolo da essa sotteso deve variare necessariamente con la dimensione radiale, in modo da mantenerne costante la larghezza. Ai ni del calcolo è del tutto indierente il raggio in corrispondenza del quale valutare l'angolo di cava, pertanto viene scelto il raggio interno ri. L'angolo di cava corrispondente vale:
αcava(ri) =
WS
ri
(2.37) A questo punto è possibile applicare il teorema della corda e ricavare bS:
bS = 2risen
αcava(ri)
2
(2.38) Noto bS è immediato determinare l'altezza della cava (e del busto del dente):
ht=
Scava
bS
(2.39) Per quanto riguarda le teste superiori ed inferiori dei denti statorici, la scelta della loro altezza e larghezza rappresenta un compromesso fra l'esigenza di contenere il più possibile il fenomeno del cogging e quella di evitare un'eccessiva dispersione dei ussi. Purtroppo i due aspetti richiedono condizioni antitetiche sull'apertura di cava per essere soddisfatti. La limitazione del cogging, infatti, è favorita da un'apertura di cava ridotta, mentre il contenimento dei ussi dispersi è migliore in presenza di aperture di cava maggiori [5].
CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore Alla luce di quanto detto in questo paragrafo e nei precedenti, è possibile aermare che i parametri più signi cativi nel dimensionamento delle cave sono:
Densità di corrente. Ha un eetto diretto sull'area della cava. Valori trop- po alti di questo parametro provocano perdite nel rame elevate e introducono quindi problematiche di rareddamento, mentre valori eccessivamente ridotti comportano un aumento del materiale impiegato nella realizzazione dei den- ti, con conseguente aumento delle perdite nel ferro e della dimensione assiale del motore [5].
Induzione al traferro. In uenza la larghezza di cava e, di conseguenza, quella del dente. Un aumento del suo valore comporta una minore larghezza di cava, cui consegue un ispessimento del dente e, quindi, a parità di area di cava, un incremento di altezza. Il risultato è un dente più largo ed alto: aumentano perciò le perdite nel ferro e la dimensione assiale di macchina. Ampere-Spire. Anch'esse in uenzano l'area della cava e le sue dimensioni:
ssata la larghezza di cava, un loro aumento, oltre a comportare un incre- mento delle perdite nel rame, provoca un aumento di altezza della cava e, quindi, della sua area. Anche in questo caso aumentano la dimensione assiale del motore e le perdite nel ferro.
Altezza e larghezza della cava. In una cava troppo alta e poco larga si veri ca un aumento dei ussi dispersi, mentre una cava troppo larga può provocare fenomeni di saturazione nel dente, che risulta troppo stretto [5]. Apertura di cava. Un'apertura troppo grande ha eetti negativi sulla
coppia di cogging, mentre un'apertura troppo piccola favorisce la dispersione del usso [5].
Nel Paragrafo 2.8 si era accennato al fatto che fra il valore delle Ampere-Spire per avvolgimento ed il carico elettrico vige una diretta proporzionalità, e che ssata la coppia ed i parametri geometrici del motore, fra carico elettrico (e quindi Ampere- Spire) ed induzione al traferro esiste una relazione di proporzionalità inversa. Alla