Dimensionamento

La determinazione per via analitica delle grandezze necessarie al dimensionamento dei magneti permanenti e del circuito magnetico risulta particolarmente complessa in presenza di disposizione Halbach dei magneti. Il processo di dimensionamento è stato quindi realizzato facendo ricorso ad un'analisi FEM. A tale scopo è stato utilizzato il modello 3D del motore realizzato con il software MagNet. MagNet è un programma di analisi e simulazione magnetica agli elementi niti in grado di comunicare con Excel attraverso il linguaggio di programmazione Visual Basic. Sfruttando tale linguaggio è stato creato uno script che importa i dati ed i parame- tri del motore dai relativi fogli Excel, i quali vengono convertiti nel corrispondente modello 3D in MagNet. Così facendo, l'aggiornamento dei singoli parametri alla

CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore mamente semplice e veloce.

In Figura 2.12 è mostrata una rappresentazione del circuito magnetico del motore.

Figura 2.12 Rappresentazione del circuito magnetico del motore

Nell'introduzione del presente elaborato si accennava al fatto che sono state prese in esame quattro possibili varianti del motore, le quali dieriscono per i materiali costituenti i magneti permanenti ed i gioghi rotorici. In Tabella 2.7 sono riportati i dettagli di ciascuna variante.

CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore Materiale PM Materiale PM Materiale gioghi

assiali circonferenziali rotorici

Variante 1 N48 N48 Fe370

Variante 2 N48 Ferrite/HP Fe370

Variante 3 N48 N48 Non ferromagnetico

Variante 4 N48 Ferrite/HP Non ferromagnetico

Tabella 2.7 Dettagli delle quattro varianti del motore

Per ciascuna variante, inoltre, è stato reso variabile l'angolo di copertura delle due dierenti categorie di magneti, assiali e circonferenziali, in modo tale da studiare la variazione dell'induzione al traferro che ne consegue. L'obiettivo è quello di ottenere, per ogni variante, la massima induzione al traferro con la combinazione di spessore dei magneti (hP M) e del giogo rotorico (hry) che minimizza la massa

complessiva del rotore, in modo da massimizzare la risposta dinamica del dispositi- vo. In tal senso il motore benecia già del contributo apportato dalla disposizione Halbach dei magneti, grazie alla quale lo spessore del rotore è notevolmente ridotto e quindi anche il suo momento d'inerzia.

Indicando con αP Mass l'angolo di copertura dei magneti magnetizzati assialmente,

la relazione che lo lega a quello di copertura dei magneti magnetizzati in direzione circonferenziale αP Mcirc è la seguente:

αP Mcirc =

2π − 2pαP Mass

2p (2.48)

Di seguito viene fornito un criterio per orientarsi nella scelta del valore di αP Mass.

Considerando lo scenario in analisi, è lecito introdurre le seguenti ipotesi sempli- cative:

ˆ Si trascurano i ussi dispersi.

ˆ La direzione principale del usso nel traferro è assiale. ˆ Solo i magneti assiali producono il usso utile di traferro. Sotto queste ipotesi è possibile scrivere:

CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore

φP Mass ' φg (2.49)

dove con φP Mass è stato indicato il usso prodotto dai magneti permanenti magne-

tizzati assialmente.

La relazione è espressa in termini scalari in quanto la seconda ipotesi rende le- gittimo trascurare le altre componenti del usso e concentrarsi solo su quella in direzione assiale. Il usso prodotto dai magneti assiali a sua volta può essere espresso come:

φP Mass = BP MassSP Mass (2.50)

in cui SP Mass rappresenta la supercie occupata dai magneti permanenti assiali.

Come si può notare in Figura 2.11 la sezione di ciascun magnete è trapezoidale. Sfruttando quest'informazione la (2.50) diviene:

φP Mass = BP Mass (reαP Mass+ riαP Mass)(re− ri) 2 2p = pBP MassαP Mass(r 2 e− r 2 i) (2.51) Per quanto riguarda il usso di traferro, invece, esso è descrivibile come:

φg = ˆBgSg = ˆBgπ(re2− r 2

i) (2.52)

dove Sg rappresenta la corona circolare del traferro di macchina.

Sostituendo la (2.51) e la (2.52) nella (2.49) ed esplicitando ˆBg si giunge a:

ˆ

Bg ' BP Mass

pαP Mass

π (2.53)

La relazione mostra che, ssata l'induzione dei magneti permanenti magnetizzati assialmente, all'aumentare del loro angolo di copertura aumenta l'induzione al traferro, no al raggiungimento del valore massimo ˆBg ' BP Massin corrispondenza

CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore

αP Mass =

π

p (2.54)

All'aumentare dell'angolo di copertura dei magneti assiali quello relativo ai magne- ti magnetizzati in direzione circonferenziale diminuisce. Ciò implica che al crescere di αP Mass la disposizione Halbach evolve verso la congurazione standard dei ma-

gneti. Le conseguenze di questo fatto dieriscono a seconda del tipo di materiale che costituisce il giogo rotorico e, nella fattispecie, se esso è ferromagnetico o meno. Nel caso in cui il giogo sia di materiale ferromagnetico è fondamentale evitarne la saturazione. Come appena detto all'aumentare dell'angolo di copertura dei magne- ti assiali la congurazione Halbach si avvicina sempre più a quella standard. Se da un lato questo fatto provoca un aumento di induzione al traferro, permettendo di raggiungere il valore desiderato con uno spessore inferiore dei magneti, dall'altro questo vantaggio si perde completamente a causa dell'incremento ben maggiore dello spessore del giogo rotorico, la cui dimensione cresce per permettere la richiu- sura del usso senza saturare, dato che la quota di usso che si richiude attraverso i magneti circonferenziali diventa sempre minore. All'aumentare dello spessore del giogo, come più volte detto in precedenza, peggiora la prestazione dinamica del motore. Ricordando che l'obiettivo è quello di massimizzare l'induzione al traferro minimizzando la massa del rotore, è stato deciso di utilizzare il medesimo angolo di copertura per entrambe le categorie di magneti, dato che un aumento dell'angolo di copertura di quelli assiali (e conseguente riduzione di quelli circonferenziali) causa un ispessimento del giogo ed il viceversa un ispessimento eccessivo dei magneti. Poiché il motore presenta 5 coppie polari e nella disposizione Halbach ogni coppia polare è realizzata dalla successione di 4 magneti, ogni rotore ospita un totale di 20 magneti, i quali avranno quindi un angolo di copertura di 18°.

La disposizione Halbach dei magneti consente di prendere in esame anche la pos- sibilità di un giogo rotorico in materiale non ferromagnetico, quale ad esempio plastica o resina, sicuramente più leggero dei metalli ferromagnetici, con ovvi be- neci sulle prestazioni dinamiche del dispositivo. Tuttavia, se il materiale di cui si compone il giogo rotorico non è ferromagnetico, la legge di variazione dell'induzio- ne al traferro precedentemente ricavata non descrive più correttamente la realtà del problema, poiché le ipotesi sulla base delle quali è stata ottenuta non sono più

CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore funge solo da elemento di ancoraggio dei magneti. Dalle simulazioni è emerso che la variante con magneti assiali e circonferenziali in N48 (variante 3 ) presenta un massimo dell'induzione per un αP Mass di 19° (e quindi per un αP Mcirc di 17°), supe-

rato il quale l'induzione decresce con continuità. Per quanto riguarda la variante con magneti assiali in N48 e circonferenziali in Ferrite/HP (variante 4 ), invece, l'induzione presenta un andamento più irregolare. Nell'arco di valori di αP Mass

simulati, che va da un minimo di 18° ad un massimo di 35°, si alternano tratti crescenti e decrescenti del valore dell'induzione. Il comportamento di entrambe le varianti è da imputare al fatto che i magneti circonferenziali, in assenza di giogo ferromagnetico, costituiscono il principale mezzo di richiusura del usso magneti- co a bassa riluttanza. Poiché all'aumentare dell'angolo di copertura dei magneti assiali quello dei magneti circonferenziali si riduce, nonostante la fmm del circuito magnetico aumenti, lo stesso fa la sua riluttanza, per questo l'induzione non au- menta di pari passo con αP Mass. In conclusione, dato che la variante 3 presenta un

massimo dell'induzione per un αP Mass di 19° e un αP Mcirc di 17° ed il valore di tale

massimo dierisce di poco dal caso in cui entrambe le categorie di magneti hanno un angolo di copertura di 18°, è stata selezionata quest'ultima congurazione, in modo da favorire una maggiore semplicità realizzativa della struttura. Per quanto concerne la variante 4, è stata scelta una combinazione di angoli di copertura in corrispondenza della quale non si verica il massimo dell'induzione, ma una in cui il valore dell'induzione è lievemente inferiore ma ottenuto con un angolo di coper- tura dei magneti in N48 minore, così da non accrescere inutilmente il costo della struttura. Tale combinazione prevede un αP Mass di 28° e un αP Mcirc di 8°.

La Tabella 2.8 riassume gli angoli di copertura dei magneti nelle quatto diverse varianti del motore.

αP Mass αP Mcirc

Variante 1 18° 18°

Variante 2 18° 18°

Variante 3 18° 18°

Variante 4 28° 8°

CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore Una volta chiariti gli eetti che gli angoli di copertura dei magneti hanno sull'in- duzione al traferro, si passa alla descrizione dei passaggi attraverso cui si articola il dimensionamento dei magneti permanenti e del circuito magnetico del motore. In Figura 2.13 è possibile visualizzare un diagramma a blocchi che illustra l'algoritmo di dimensionamento.

Figura 2.13 Algoritmo di dimensionamento dei magneti e del circuito magnetico

La verica sulla saturazione viene eseguita come segue. Dopo il termine della simulazione FEM 3D, la distribuzione di induzione nel motore ha un aspetto simile a quello riportato in Figura 2.14, la quale mostra i risultati di una condizione di funzionamento a vuoto, ovvero in cui agiscono solo i magneti permanenti.

CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore

Figura 2.14 Risultati della simulazione FEM 3D di una condizione di funzionamento a vuoto. Pagina precedente: vista frontale (in alto) e del rotore (in basso).

Pagina corrente: vista 3D

Dall'analisi dei risultati ottenuti è possibile valutare lo stato magnetico dei gioghi rotorici e capire se al loro interno si verica saturazione o meno. Ovviamente la verica sulla saturazione del rotore è necessaria solo qualora il materiale di cui si compone abbia natura ferromagnetica. Dall'osservazione della Figura 2.14 è possi- bile notare come il dimensionamento dei denti e delle cave sviluppato nel Paragrafo 2.10 abbia evitato il vericarsi della saturazione nella regione centrale dei denti. Sono tuttavia presenti delle piccole saturazioni localizzate situate in corrisponden-

CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore in cui l'eliminazione del fenomeno risulta dicile e non conveniente Per impedirne il manifestarsi, infatti, occorrerebbe sovradimensionare i denti al punto che nella loro regione centrale i valori di induzione calerebbero eccessivamente, determinan- do uno sfruttamento del ferro molto ridotto. L'aumento del volume di materiale ferromagnetico introdurrebbe inoltre ulteriori perdite nel ferro, con conseguente diminuzione del rendimento del motore.

Con i risultati resi disponibili dalla simulazione FEM 3D è possibile valutare l'in- duzione al traferro Bg. La Figura 2.15 mostra l'andamento della componente

assiale (z) di Bg in corrispondenza della circonferenza descritta dal raggio medio

di macchina.

Figura 2.15 Andamento della componente assiale di Bg lungo il traferro

Dall'osservazione della Figura 2.15 è immediato riconoscere i 5 periodi, associati alle 5 coppie polari, che la forma d'onda dell'induzione compie nell'arco del giro meccanico. Per estrapolare il valore dell'ampiezza della fondamentale dell'indu- zione al traferro ˆBg dall'andamento sopra illustrato, è stato utilizzato il software

MATLAB ed in particolare il CFTool (Curve Fitting) disponibile al suo inter- no. I dati relativi all'andamento di Figura 2.15 sono stati esportati da MagNet

CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore mezzo del CFTool. Ciò ha permesso di identicare l'armonica fondamentale dell'in- duzione al traferro ˆBg e di determinarne l'ampiezza, come mostrato in Figura 2.16.

Figura 2.16 Andamento di ˆBg lungo il traferro

Il CFTool di MATLAB può essere utilizzato anche per eseguire un'analisi del con- tenuto armonico dell'induzione al traferro.

In conclusione, alla luce dei risultati forniti dalle simulazioni, è stato possibile determinare il valore dei parametri relativi ai magneti permanenti ed al circuito magnetico per ciascuna variante del motore, i quali vengono riportati in Tabella 2.9. αP Mass αP Mcirc hP M hry Bˆg Variante 1 18° 18° 2, 50 mm 4, 00 mm 1, 03 T Variante 2 18° 18° 3, 20 mm 4, 75 mm 0, 97 T Variante 3 18° 18° 4, 20 mm / 0, 93 T Variante 4 28° 8° 5, 00 mm / 0, 90 T

Tabella 2.9 Risultati del dimensionamento dei magneti permanenti e del circuito magnetico

CAPITOLO 2 Dimensionamento del motore spessore la variante 2, in cui entrambi gli spessori aumentano lievemente a causa delle minori prestazioni della ferrite rispetto al neodimio-ferro-boro e l'induzione diminuisce per il medesimo motivo. Questa soluzione tuttavia è decisamente più economica della precedente. Per quanto riguarda le varianti 3 e 4, lo spessore del giogo perde di importanza, in quanto può essere scelto indipendentemente dallo stato magnetico, mentre lo spessore dei magneti cresce ulteriormente rispetto alla variante 2, incontrando nell'ordine la variante 3 e la 4. Anche in questo caso il maggior spessore è da attribuire alle minori prestazioni della ferrite rispetto al neodimio-ferro-boro. L'ulteriore riduzione del valore di induzione è dovuta sia a quest'ultima causa che all'assenza di un giogo di richiusura in materiale ferroma- gnetico.