Dopo aver ottenuto i dati di frequenza li si passa ad un algoritmo di ottimizzazione che cerca i valori dei parametri adimensionali associati a tiro e grado di vincolo che minimizzano la funzione di errore.
Da un punto di vista analitico, volendo ottenere tre incognite il nu- mero minimo di frequenze da misurare sarà proprio di tre (o due, in caso venga fatta l’ipotesi semplificativa di vincoli simmetrici). Tuttavia, il metodo permette di usare anche un numero superiore di misu- re. Questo è un vantaggio soprattutto in quanto permette di ridurre l’effetto degli inevitabili errori di misura, soprattutto quelli dovuti all’operatore.
La funzione di errore scelta (o funzione obiettivo) è nella forma: Funzione di errore/funzione obiettivo fob(α, θ1, θ2, ¯ft, ¯fs) = X i s 1 −ft,i fs,i 2 , (3.17)
¯ft è il vettore delle frequenze teoriche dell’iterazione corrente; ¯ft è il vettore delle frequenze sperimentali.
Si tratta, in pratica, della somma degli scarti quadratici tra frequenze Peso dei modi superiori sperimentali e teoriche, pesata sul valore della frequenza. Questo serve
ad accomodare il fatto che, sperimentalmente, diventa più difficile distinguere accuratamente i picchi corrispondenti ai modi superiori, per cui l’errore ad essi associato viene artificialmente ridotto.
Dal momento che questa difficoltà non sempre si riscontra nella pratica, e in particolare dipende dalla strumentazione utilizzata per fare le misure, è stato scelto di mantenere anche la possibilità di calcolare l’errore come una semplice somma degli scarti (sempre in modulo). Nel programma sviluppato, è l’utente a poter decidere quale delle due funzioni obiettivo considerare, con la prima come scelta di default.
Ad ogni modo, tutte le misure fatte fin’ora – che ovviamente non sono abbastanza da avere valenza statistica – sembrano indicare che i risultati del metodo non cambino significativamente con la scelta dell’una o dell’altra funzione obiettivo.
Avere utilizzato una somma per la funzione di errore significa Confrontabilità degli errori
rinunciare a confrontarne i valori ottenuti per catene di cui si ha a disposizione un numero diverso di frequenze.
3.3.1 Forma della funzione di errore
Vale la pena osservare la forma della funzione obiettivo, perché for- nisce indicazioni riguardo l’accuratezza che ci si può aspettare dal metodo nello stimare i diversi parametri incogniti.
Una forma tipica, calcolata usando i dati di una delle catene misu- Forma della funzione di errore
rate durante le campagne sperimentali condotte durante il lavoro di tesi, è rappresentata in Figura 3.12. Per permettere una rappresenta- zione tridimensionale si fa riferimento al caso, semplificato, di vincoli simmetrici.
Sugli assi orizzontali sono rappresentati i parametri α, legato al tiro, e θ, legato alla rigidezza dei vincoli; l’asse verticale mostra invece il valore della funzione di errore, dove ovviamente un errore minore significa una maggiore verosimiglianza dei valori di α e θ corrispon- denti. L’algoritmo di ottimizzazione cercherà il minimo globale della funzione, e fornirà i valori corrispondenti dei parametri insieme al valore della funzione obiettivo. Se si è scelto di utilizzare le tabelle pre- calcolate per velocizzare il processo, si tratterà di un minimo vincolato dagli estremi delle tabelle, non essendo possibile fare estrapolazioni; senza le tabelle, non vi sono vincoli alla ricerca del minimo.
Dalla figura si nota però come, per un vasto campo di variazione del Affidabilità della stima del grado di vincolo
tiro, il gradiente in direzione θ sia notevolmente inferiore a quello in direzione α. Questo comporta una maggiore difficoltà, per l’algoritmo,
(a) Andamento globale della funzione di errore. Sugli assi orizzontali sono rappresentati i parametri α, legato al tiro, e θ, legato alla rigidezza dei vincoli.
(b) Curve di livello della funzione in prossimità del minimo globale. Si può notare la comparsa di una "cavità" tra le curve di livello altrimenti quasi parallele.
Figura 3.12: Forma tipica della funzione di errore, con riferimento al caso semplificato di vincoli simmetrici.
nella ricerca del grado di vincolo corrispondente al minimo, e una conseguente minore affidabilità della stima fornita.
3.3.2 Stabilità della soluzione e influenza del grado di vincolo
Fortunatamente, sembra che la stima del tiro non venga influenzata, almeno per valori sufficientemente elevati di α (le catene in bando comportano altre difficoltà, come si vedrà meglio in seguito).
Alla base di questa affermazione ci sono due diversi procedimenti di verifica sommaria della stabilità della soluzione.
Figura 3.13: Primo metodo di verifica sommaria della stabilità della soluzione per soluzioni cicliche.
Il primo consiste nella valutazione ciclica delle misure di una cate- Verifica della stabilità della soluzione: primo metodo
na, secondo il procedimento illustrato in Figura 3.13. Partendo dalle misure di frequenza delle dieci catene misurate durante la campagna condotta presso la Certosa di Calci, è stato risolto il problema inverso ottenendo una prima stima di tiro e grado di vincolo. A questo pun- to, ignorando le frequenze sperimentali, è stato risolto il problema diretto usando tiro e grado di vincolo appena ottenuti per valutare le frequenze "teoriche" corrispondenti, e ricominciare il ciclo. Ad ogni ite- razione, nonostante piccole variazioni nella stima del grado di vincolo, e conseguenti piccole variazioni nei valori delle frequenze, il valore del tiro stimato non ha subito cambiamenti: dopo 5 iterazioni, usando per ciascuna catena i valori delle prime 6 frequenze sperimentali, il valore del tiro ha mostrato variazioni inferiori allo 0.01%.
Temendo che si trattasse di una prova poco significativa, è stata ripetuta cambiando forzatamente i valori delle rigidezze dei vincoli. Si hanno a disposizione 10 catene, per le quali l’algoritmo forniva dopo una prima esecuzione valori molto simili del grado di vincolo. Sono state allora fatte altre 5 iterazioni, modificando stavolta artificial- mente il grado di vincolo e imponendo alle prime due un valore di kpari a 0Nm/rad, alle seconde due di 100Nm/rad, e così via fino a 108Nm/rad. Il valore del tiro ottenuto al termine del procedimento ha presentato stavolta variazioni solo leggermente più significative. Si riportano i valori nella seguente Tabella 3.1.
Tabella 3.1: Test di stabilità della procedura di stima del tiro: risultato otte- nuto dopo un’iterazione, e dopo 5 iterazioni avendo modificato forzosamente il valore della costante elastica dei vincoli
Tiro, iterazione I [kN] k, iterazione I [Nm/rad] k imposto, iterazione I [Nm/rad] Tiro, iterazione V [kN] Scarto tiro [%] 96.09 0.189468 0.00E+00 96.09 0.00 182.31 0.064642 0.00E+00 182.32 0.00 114.78 0.139493 1.00E+02 114.85 0.06 137.00 0.232305 1.00E+02 137.08 0.05 99.41 0.037957 1.00E+04 99.42 0.01 121.93 34.693588 1.00E+04 121.94 0.01 151.35 0.149003 1.00E+06 151.35 0.00 129.73 0.161145 1.00E+06 129.73 0.00 127.33 0.173120 1.00E+08 128.37 0.82 124.59 0.140378 1.00E+08 125.62 0.82
Questi risultati, se da una parte confortano riguardo la stabilità del metodo nella ricerca del tiro, dall’altra offrono ben poca tranquillità per i valori del grado di vincolo restituiti.
L’altro procedimento per testare la stabilità della soluzione (ancora Verifica della
stabilità della soluzione: secondo metodo
una volta del tiro soltanto) consiste nell’eseguire l’algoritmo di mi- nimizzazione vincolando in modo sempre più stringente il dominio della funzione sull’asse del grado di vincolo.
Come già detto, sarebbe comunque una minimizzazione vincolata: se si sta facendo uso della tabella precalcolata, vincolata dall’estensione della tabella; altrimenti vincolata solo inferiormente dal valore minimo k = 0. Si tratta quindi solo di modificare questi vincoli, ripetendo poi la minimizzazione e confrontando i risultati ottenuti.
Quello che abitualmente si osserva è la consistenza del tiro indi- viduato, mentre il grado di vincolo cambia seguendo i limiti che gli vengono via via imposti. Oltre un certo punto, la funzione di errore acquista un gradiente significativo anche in direzione di θ, il valore del tiro stimato cambia e l’errore corrispondente cresce di colpo. Segno che si è usciti dal campo in cui il grado di vincolo non era influente, e garanzia che i valori ottenuti in precedenza sono i più verosimiglianti.
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VA L I D A Z I O N E C O N T E S T D I L A B O R AT O R I O
L’efficacia del metodo per la stima del tiro utilizzato in questa tesi è già stata comprovata estensivamente durante altre ricerche (cfr. Dardano et al. (2005), Lagomarsino e Calderini (2005)). È stato deciso di effettuare alcuni test di laboratorio per controllare il funzionamento del software sviluppato.
Al momento è in corso di progettazione un setup per condurre prove su catene di dimensioni realistiche, che quando sarà pronto permetterà di testare barre di differenti lunghezze, con tiro controllato e grado di vincolo variabile.
Figura 4.1: Macchina Instron utilizzata per la prova di laboratorio.
Preliminarmente, comunque, è stata condotta una prova su una catena in scala ridotta, utilizzando la strumentazione già presente in laboratorio. È stata impiegata una barra di acciaio S275, di lunghez- Caratteristiche della
"catena" testata za complessiva 100cm, larghezza 3.05cm e spessore 0.45cm. Le altre caratteristiche geometriche, fisiche e meccaniche che hanno influenza sulla stima del tiro sono riassunte nello specchietto seguente:
E 206 GPa Modulo elastico; ρ 7850 kg/m3 Peso specifico; L 89.5 cm Lunghezza libera;
A 1.37 cm2 Area della sezione trasversale; J 0.0436 cm4 Momento di inerzia nella
direzione di prova.
Il tiro è stato imposto e controllato utilizzando una macchina Setup e acquisizione
INSTRON modello 1186, rappresentata in Figura 4.1.
Sono state fatte 6 prove, imponendo valori diversi del tiro e misu- rando le frequenze naturali con degli accelerometri capacitivi, fissati alla catena attraverso una base magnetica. L’acquisizione dei dati è stata affidata ad una centralina controllata da un computer. Il setup è rappresentato in Figura 4.2, e la strumentazione utilizzata è la stessa descritta nel capitolo precedente. Durante le prime tre prove sono stati montati sulla catena 3 accelerometri con relative basi; nelle restanti tre è stato impiegato solo un accelerometro, nella posizione indicata in Figura 4.2.
La valutazione del tiro è stata fatta nell’ipotesi semplificativa di vin- coli simmetrici, ipotesi che è sembrata ragionevole visto il meccanismo di bloccaggio della macchina di prova.
Figura 4.2: Schema della prova di laboratorio per validare il metodo.
Gli esiti sono riassunti in Tabella 4.1. Nel valutarli, è necessario Risultati e
discussione tenere conto di due fattori:
• l’elemento metallico testato è ovviamente molto lontano dall’es- sere comparabile con una catena reale, a causa delle sue ridotte dimensioni;
• l’irregolarità puntuale causata dalla presenza di accelerometro e base magnetica non è trascurabile. A maggior ragione per quanto riguarda le prime tre prove, in cui erano presenti ben
Tabella 4.1: Risultati dei test di laboratorio per la verifica del metodo propo- sto. Le prove 1-3 sono state eseguite con 3 accelerometri montati sulla catena; le restanti con un solo accelerometro montato nella posizione indicata in Figura 4.2.
Prova Tiro imposto [N] Frequenze misurate [Hz] Tiro stimato [N] Errore [%] 1 2750 38.86, 92.00, 161.26, 257.12 2763 0.47 2 120 25.75, 71.51, 138.01, 227.26, 336.34 246 105 3 3000 40.00, 93.51, 163.14, 259.51, 372.49 3433 14.45 4 3000 41.00, 95.50, 170.50, 262.75, 372.52 3244 8.12 5 6000 51.26, 113.50, 194.24, 289.25, 405.75 6319 5.32 6 9050 59.74, 129.45, 215.24, 313.25, 436.00 9673 6.88
3 accelerometri, e ancor di più per la seconda prova, in cui la tensione è molto ridotta. La massa complessiva della catena si aggira intorno ad 1kg, mentre ciascun accelerometro con la propria basetta raggiunge i 120g, arrivando a più del 10% dell’e- lemento oggetto di prova, anche se aver usato un setup verticale ha sicuramente ridotto l’influenza delle masse.
Si nota chiaramente un problema quando il tiro è molto ridotto, durante la seconda prova: un errore relativo così elevato non è certa- mente accettabile, anche se fortunatamente quello assoluto è piccolo. Gli altri sono invece buoni risultati, comparabili con quelli raggiunti con i test compiuti nell’ambito delle già citate ricerche. Per avere una migliore validazione del metodo, tuttavia, sarà necessario attendere di poter eseguire le prove su catene a grandezza naturale, dove la presenza degli strumenti non sarà altrettanto influente.
M I S U R A Z I O N I A C U S T I C H E
Un metodo speditivo, facente uso di misurazioni acustiche anziché di accelerazione, per ricavare le frequenze naturali di vibrazione delle catene. Proposta e validazione del me- todo; confronto dei suoi risultati, tempi e complessità con quelli derivanti dall’uso di tradizionali accelerometri. Pro- posta di un metodo ulteriormente semplificato, facente uso esclusivamente dei microfoni presenti sui telefoni cellulari.
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M I S U R E D I F R E Q U E N Z A C O N M I C R O F O N O
La maggior parte dei metodi dinamici hanno esclusivamente bisogno di conoscere alcune delle frequenze naturali della catena per poterne stimare il tiro. Benché non esista ancora nessuno standard per la procedura sperimentale da adottare, nella maggior parte dei casi queste vengono misurate fissando alla catena uno o più accelerometri, come visto in precedenza.
A causa dei disturbi sui risultati causati dalla strumentazione fissata Misure di frequenza senza contatto alla catena (per via della sua massa e della sua inerzia), e per risolvere
i casi in cui è difficile accedere alla catena da misurare, negli ultimi anni una parte della ricerca si è rivolta allo sviluppo di metodi che non richiedano contatto, concentrandosi su sistemi piuttosto complessi come l’interferometria radar o il laser doppler (si vedano Gentile, 2010, Pieraccini, 2013 o Gioffré et al., 2017).
La particolare forma degli oggetti da misurare, simile a quella di una corda (come quelle degli strumenti musicali), permette invece di usare un microfono, come si farebbe con un accordatore, indivi- duando le frequenze naturali da una registrazione ottenuta dopo aver gentilmente suonato le catene.
Questa tecnica, lungi dall’essere una novità, è però usata soprattutto in altri ambiti ingegneristici, come nell’ingegneria meccanica, dove serve per fare analisi modali su piccoli pezzi; appartiene al campo noto come vibroacustica. Ad oggi, non è ancora stata pubblicata alcuna ricerca dove sia stata usata per misure sulle catene.
La registrazione può essere ottenuta usando un microfono professio- Tipi di setup proposti nale corredato di un sistema di acquisizione simile a quello necessario
per gli accelerometri. Per essere applicabile a tutti i tipi di catene, il microfono dovrebbe essere dotato di una sensibilità sufficiente nel range delle basse frequenze, in modo da poter sentire quelle che ne caratterizzano i primi modi. Un simile setup presenta già dei vantaggi rispetto all’uso degli accelerometri, ma alcuni test hanno permesso di evidenziare che anche microfoni economici, come quelli che si trovano normalmente nei telefoni cellulari, sono più che sufficienti per ottenere i dati necessari, grazie ad una semplice valutazione euristica che verrà presentata in seguito.
La prossima sezione descrive in dettaglio la procedura di misura con microfono usata durante il lavoro di questa tesi, con attenzione agli aspetti pratici che sono emersi durante le prove svolte. In quel- la successiva, si fornisce una validazione del metodo attraverso un
confronto tra i dati ottenuti con accelerometri e microfono durante le campagne sperimentali alla Certosa di Calci e al Palazzo Arcivescovile di Pisa. L’ultima sezione contiene valutazioni riguardo l’utilizzo di microfoni di scarsa qualità.
5.1 i setup
Durante il lavoro di questa tesi sono stati utilizzati due distinti setup Strumenti utilizzati
acustici. Il primo comprende un microfono professionale tipo PCB ICP Microphone, una centralina tipo LMS Scadas Mobile, e il software di controllo ed elaborazione LMS Test.LAB. Nel seguito, sarà chiamato solo microfono professionale, per semplicità. Il secondo è costituito da un telefono cellulare, con microfono – ovviamente – integrato, del quale non è stata volutamente fatta alcuna caratterizzazione.
Figura 5.1: Microfono professionale a condensatore di tipo PCB ICP usato durante le prove, con preamplificatore.
In Figura 5.1 è rappresentato il microfono professionale utilizzato, Microfono
professionale le cui caratteristiche tecniche sono riassunte nella seguente Tabella 5.1 così come estratte dal foglio di calibrazione fornito dal produttore. In Figura 5.2 è invece riportato un grafico della sua sensibilità a diverse frequenze, anch’esso ripreso dal foglio di calibrazione. La scelta di un microfono sensibile anche alle "basse" frequenze è cruciale se si vogliono estrarre dalle registrazioni informazioni riguardo i primi modi di vibrare.1
1 Per ottenere una stima delle frequenze più basse che ci si possono aspettare da una catena, è possibile utilizzare il programma sviluppato per risolvere il problema diretto (ovvero da tiro e grado di vincolo a frequenze), imponendo tiro nullo e un vincolo di cerniera semplice. In questo modo si riesce a controllare se esiste la possibilità che la misura ottenuta sia incompleta.
Tabella 5.1: Caratteristiche tecniche del microfono professionale impiegato. PCB ICP Microphone Modello 130F20 Produttore PCB Sensibilità 46.4 mV/Pa -26.7 dB re 1V/Pa Riferimento 250 Hz Errore di output 9.1 VDC Temperatura 23 ˇrC Umidità relativa 48 %
Figura 5.2: Curva di sensibilità del microfono impiegato, tratta dal foglio di calibrazione fornito dal produttore.
Il microfono scelto può essere alimentato direttamente dalla centra- lina, garantendo quindi un’ulteriore semplificazione del sistema di misura, che volendo usare gli accelerometri capacitivi richiede anche la presenza di un alimentatore.
Una difficoltà sorta durante le prove sulle catene del Palazzo Ar- Effetto del vento e filtro antivento civescovile di Pisa consiste nei disturbi causati dal vento alle misure
col microfono. Soffiando nello strumento, il vento causa seri danni alla qualità della registrazione, saturandola di rumore e rendendo impossibile riconoscere i picchi corrispondenti alle frequenze naturali della catena.
Fortunatamente, dal momento che questo è un problema che si presenta per tutti i microfoni, qualunque sia l’uso che ne viene fatto, la soluzione già esiste nella forma di filtri antivento. Si tratta solitamente di coperture in grado di arrestare l’aria lasciando comunque passare il suono, e per i microfoni tradizionali ne esistono in commercio di molti tipi. Non avendo a disposizione alcunché di simile per il microfono in nostra dotazione, è stato adottato un approccio fai da te: prendendo
esempio dai filtri più semplici ed economici comunemente impiegati, è stata fabbricata una copertura in gommapiuma che è stata montata sullo strumento durante le misure. È visibile in alcune delle foto scat- tate durante le prove, e in dettaglio in Figura 5.3. Il suo effetto è stato più che soddisfacente: pur riducendo la sensibilità dello strumento alle basse frequenze, ha permesso di portare avanti le prove nonostante la presenza di vento, e di ottenere registrazioni perfettamente utilizzabili.
Figura 5.3: Filtro antivento fai-da-te per il microfono professionale.
Tabella 5.2: Caratteristiche del telefono usato per le registrazioni
Microfono di telefono cellulare Modello telefono Elephone P8 Mini
Produttore Elephone
Sistema operativo Android 7.1 App di registrazione WAV Recorder
In Tabella 5.2 sono riassunte, solo a titolo di esempio, alcune carat- Microfoni di telefoni
cellulari teristiche del telefono impiegato durante le prove. Se si utilizza uno smartphone, la scelta dell’applicazione per registrare è cruciale. Molte applicazioni, essendo sviluppate alternativamente per registrazioni musicali in piccola scala o note vocali, producono esclusivamente un file di output compresso, il cui contenuto in frequenza è stato alterato allo scopo di ridurne l’ingombro in memoria. Dal momento che mol- te delle basse frequenze che caratterizzano i primi modi di vibrare delle catene cadono ben al di fuori dello spettro dell’udibile, la loro eliminazione dal file di output non lo modifica sensibilmente (per gli scopi suddetti), ma costituisce ovviamente una drammatica perdita di informazioni per l’analisi in frequenza. Dal momento che i microfoni presenti nei telefoni cellulari sono già dotati di una qualche forma di filtro passa-alto, non ci si può permettere di perdere altri dati.
L’applicazione utilizzata durante le prove è chiamata WAV Recorder", ed è una tra le tante a produrre come output un file WAV lossless. Maggiori dettagli riguardo questo tipo di file viene presentato in appendice.