tinuit`a delle soluzioni di un’equazione differenziale rispetto a possibili va- riazioni del campo vettoriale. Premettiamo il seguente lemma tecnico al risultato pi`u generale dato dal Teorema 5.13.
Lemma 5.12 Siano f, g : Ω → Rn, Ω⊆ R × Rn aperto, funzioni continue
conf localmente lipschitziana rispetto alla variabile y. Fissati (t0, y0), (s0, z0)
in Ω, sia y : I → Rn la soluzione in I = [t 0 − δ0, t0 + δ0] del problema di Cauchy ( y0= f (t, y) y(t0) = y0,
e sia z : J → Rn una soluzione in J = [s
0 − δ00, s0 + δ00] del problema di
Cauchy
(
z0 = g(t, z) z(s0) = z0.
Allora esistono costanti positive ε = ε(t0, g), M = Mg(K), L = Lf(K),
ρ = ρ(δ0, δ00), dove K ⊂ Ω `e un compatto che contiene le traiettorie di y(t)
ez(t) ristrette a I ∩ J, tali che se |t0− s0| ≤ ε si ha
(5.10) ky(t) − z(t)k ≤ky0− z0k + M|t0− s0| + ρkf − gk∞eL|t−t0|,
100 CAPITOLO 5. DIPENDENZA DAI DATI INIZIALI
Dimostrazione Fissati (t0, y0) e la relativa soluzione y(t) in I, se s0 `e
sufficientemente vicino a t0 si avr`a s0 ∈ I e t0 ∈ J, in particolare l’intervallo
di estremi t0 e s0 sar`a contenuto in I ∩ J che quindi sar`a non vuoto. In
realt`a sar`a anche necessario applicare il Teorema di Peano sui compatti per garantire l’esistenza di un intervallo di definizione comune per tutte le corrispondenti soluzioni z(t) al variare di (s0, z0) in un intorno compatto di
(t0, z0). Pi`u precisamente, per esempio si pu`o prendere ε uguale all’εK del
Teorema 2.26 relativo al compatto I× {z0} e alla funzione g.
Sia K un qualsiasi compatto contenuto in Ω e contenente le traiettorie di y(t) e z(t) ristrette a I∩ J (per esempio si potrebbe prendere K proprio uguale all’unione di queste due traiettorie), si definiscano
M = Mg(K) := max
(s,z)∈Kkg(s, z)k, ρ = ρ(δ0, δ 0
0)≥ ampiezza di I ∩ J,
e sia L la costante di Lipschitz di f (t,·) sul compatto K. Si ha y(t)− z(t) = y0+ Z t t0 f (s, y(s)) ds−z0+ Z t s0 g(s, z(s)) ds = y0− z0+ Z s0 t0 g(s, z(s)) ds + Z t t0 f (s, z(s))− g(s, z(s)) ds + + Z t t0 f (s, y(s))− f(s, z(s)) ds, da cui segue ky(t) − z(t)k ≤ ky0− z0k + Z t0 s0 kg(s, z(s))k ds + Z t t0 f (s, z(s))− g(s, z(s)) ds + + Z t t0 f (s, y(s))− f(s, z(s)) ds ≤ ky0− z0k + M|t0− s0| + ρkf − gk∞+ L Z t t0 ky(s) − z(s)k ds .
A questo punto si pu`o applicare il Lemma di Gronwall alla funzione v(t) = ky(t) − z(t)k : I ∩ J → R, con α = ky0 − z0k + M|t0 − s0| + ρkf − gk∞ e
β = L, ottenendo (5.10).
Dal precedente lemma si deduce che la distanza tra le soluzioni di due problemi di Cauchy cresce al pi`u esponenzialmente rispetto alla loro distanza iniziale misurata in termini delle distanze tra i dati iniziali e tra i campi vettoriali. Come applicazione si dimostra il seguente risultato.
DIPENDENZA CONTINUA RISPETTO AL CAMPO VETTORIALE101
Teorema 5.13 (di Kamke, di dipendenza continua dai dati (III)) Dataf : Ω⊆ R × Rn→ Rn funzione continua e localmente lipschitziana ri- spetto alla variabiley, e dato (t0, y0)∈ Ω, sia y(t) la soluzione nell’intervallo
chiuso e limitato I del problema di Cauchy
(5.11)
(
y0= f (t, y) y(t0) = y0.
Allora esistono M, L, ρ > 0, un compatto di K⊂ Ω contenente la traiettoria di y(t) e un intorno U di (t0, y0, f ) in R × Rn× C(K) tali che per ogni
(s0, z0, g)∈ U ogni soluzione z(t) del problema di Cauchy
(5.12) ( z0 = g(t, z) z(s0) = z0 ` e definita in I e vale (5.13) ky(t) − z(t)k ≤ky0− z0k + M|t0− s0| + ρkf − gk∞eL|t−t0|,
per ogni t ∈ I, dove si `e posto kf − gk∞ := max(τ,x)∈Kkf(τ, x) − g(τ, x)k. In sostanza, l’applicazione che associa a (t0, y0, f ) la soluzione di (5.11) `e
localmente lipschitziana da R × Rn× C(Ω) in (C(I), k · k∞), dove C(Ω) `e
dotato della topologia della convergenza uniforme sui compatti.
In particolare, date fk : Ω⊆ R × Rn→ Rn funzioni continue e (tk, yk)∈ Ω
perk = 1, 2, . . ., se (tk, yk)→ (t0, y0) e fk→ f per k → +∞ uniformemente
sui compatti diΩ, detta yk(t) una qualsiasi soluzione del problema di Cauchy
(5.14)
(
y0= fk(t, y)
y(tk) = yk,
allora definitivamente per k≥ ¯k la funzione yk(t) pu`o essere definita in I e
si ha yk(t)→ y(t) per k → +∞ uniformemente in I.
Dimostrazione La parte complicata del teorema sta nel dimostrare che per dati vicini a (t0, y0, f ) le soluzioni z(t) possono essere definite in I e, vo-
lendo applicare il Lemma 5.12, nel verificare che le costanti M, ρ, L possono essere scelte in maniera uniforme (per esempio ci`o accade se le traiettorie di tutte le z sono contenute in un intorno compatto della traiettoria di y). Una volta provata (5.13) la seconda parte del teorema `e immediata essendo (5.15) ky(t) − yk(t)k ≤ky0− ykk + M|t0− tk| + ρkf − fkk∞eLρ,
102 CAPITOLO 5. DIPENDENZA DAI DATI INIZIALI
per t∈ I e passando al supt∈I, per k→ +∞ si ottiene la tesi. Per i dettagli
tecnici si vedano gli approfondimenti al termine del capitolo. Si osservi che (5.13) `e una stima esplicita della distanza tra le soluzioni in termini delle distanze tra i dati iniziali e tra i campi vettoriali. Esistono generalizzazioni di questo teorema al caso di campi vettoriali non necessa- riamente lipschitziani, una delle quali `e presentata nel seguito. Ovviamente in questo caso si perde la validit`a della stima (5.13).
Teorema 5.14 (di Kamke, di dipendenza continua dai dati (IV)) Siano datef, fk: Ω⊆ R×Rn→ Rncontinue, k = 1, 2, . . ., e punti (tk, yk)∈
Ω per k∈ N. Supponiamo che il problema di Cauchy
(5.16)
(
y0 = f (t, y) y(t0) = y0,
abbia un’unica soluzioney(t) nell’intervallo chiuso e limitato I. Se (tk, yk)→
(t0, y0) e fk→ f per k → +∞ uniformemente sui compatti di Ω, detta yk(t)
una qualsiasi soluzione del problema di Cauchy
(5.17)
(
y0 = fk(t, y)
y(tk) = yk,
allora, definitivamente per k≥ ¯k, la funzione yk(t) pu`o essere definita in I
e si hayk(t)→ y(t) per k → +∞ uniformemente su I.
Dimostrazione Se f `e localmente lipschitziana chiaramente si pu`o ap- plicare il Teorema 5.13; se f non `e localmente lipschitziana la disuguaglianza (5.13) non `e pi`u valida perch´e non si dispone della costante di Lipschitz L di f e la dimostrazione deve essere modificata.
Anzitutto si pu`o supporre che I ⊆ [a, b] e t0 ∈ ]a, b[. Si prenda poi
un compatto K di Ω che contiene la traiettoria di y(t) per t ∈ [a, b]; pi`u precisamente, per compattezza esistono α, R > 0 tale che
K := [
t∈[a,b]
Cα,R(t, y(t))⊂ Ω.
Si ponga quindi M := maxkf(s, z)k : (s, z) ∈ K . Poich´e fk→ f unifor-
memente sui compatti si avr`a maxKkfk− fk ≤ 1 definitivamente per k ≥ ¯k
di modo che max
DIPENDENZA CONTINUA RISPETTO AL CAMPO VETTORIALE103
Eventualmente aumentando ¯k si pu`o anche assumere che|tk−t0| ≤ α/2 e che
kyk−y0k ≤ R/2 cosicch´e kfk(s, z)k ≤ M +1 per ogni (s, z) con |s−tk| ≤ α/2
e kz − ykk ≤ R/2 (per cui |s − t0| ≤ α e kz − y0k ≤ R).
Per il Lemma 3.32 ogni soluzione del problema di Cauchy (5.17) per k≥ ¯k pu`o essere definita in Iε(tk) dove ε = min{α/2, R/(2(M + 1))}. Even-
tualmente aumentando ¯k si pu`o assumere che|tk− t0| ≤ ε/2; in particolare,
essendo Iε/2(t0) ⊂ Iε(tk) si ha che ogni yk(t), per k ≥ ¯k, `e definita al-
meno in Iε/2(t0). Inoltre per ogni t ∈ Iε/2(t0), per il Lemma 2.10 si ha
kyk(t)− ykk ≤ R/2 per cui valgono kyk(t)− y0k ≤ R e per t, s ∈ Iε/2(t0)
kyk0(t)k = kfk(t, yk(t))k ≤ M + 1 =⇒ kyk(t)− yk(s)k ≤ (M + 1)|t − s|.
La successione (yk(t)) `e dunque equilimitata ed equilipschitziana in Iε/2(t0),
e per il Teorema di Ascoli-Arzel`a ammette una sottosuccessione (ykj(t))
uniformemente convergente a una funzione ˜y(t) in Iε/2(t0). Considerando la
formulazione integrale di (5.17), ovvero
ykj(t) = ykj+
Z t
tkj
fkj(s, ykj(s)) ds,
e passando al limite per j→ +∞, si ottiene che
˜
y(t) = y0+
Z t
t0
f (s, ˜y(s)) ds,
dove si `e sfruttato il fatto che ykj(t) → ˜y(t) uniformemente in Iε/2(t0) e
fkj → f uniformemente in K, perci`o fkj(t, ykj(t)) → f(t, ˜y(t)) uniforme-
mente in Iε/2(t0). Quindi ˜y(t) `e soluzione del problema di Cauchy (5.16) e
per l’ipotesi di unicit`a di tale soluzione si ha ˜y(t) = y(t) in Iε/2(t0). Il mede-
simo risultato pu`o essere ottenuto partendo direttamente da una sottosuc- cessione di (yk(t)) e passando poi a una sotto-sottosuccessione convergente
a y(t). Per il Teorema A.26 in Appendice, si ottiene che tutta la successione (yk(t)) converge uniformemente a y(t) in Iε/2(t0). A questo punto il ragio-
namento pu`o essere iterato a partire dal punto (t1, y(t1)) dove t1 = t0+ ε/2
(analogamente in passato a partire da t1 = t0 − ε/2). Poich´e il compatto
K e la costante ε non dipendono dal dato iniziale fissato (˜t, y(˜t)), purch´e ˜
t∈ ]a, b[, si ottiene la convergenza di yk(t) a y(t) nell’intervallo Iε/2(t1), e in
104 CAPITOLO 5. DIPENDENZA DAI DATI INIZIALI
Approfondimenti
Cenni ai sistemi dinamici
Dato un sistema autonomo di equazioni differenziali y0= f (y)
con f : A ⊆ Rn → Rn continua in A aperto, tale che ci sia unicit`a delle
soluzioni per tutti i relativi problemi di Cauchy, `e possibile associargli un cosiddetto sistema dinamico. Pi`u precisamente, sia φ(t, x) := y(t; 0, x) dove, come gi`a visto, y(t; 0, x) rappresenta il valore al tempo t della soluzione massimale del problema di Cauchy con dati iniziali y(0) = x, e sia I(x) il suo intervallo massimale di esistenza. Al posto di φ(t, x) si utilizza spesso anche la notazione φt(x). La mappa φ viene detta flusso associato all’equazione
differenziale y0 = f (y). Posto D :=(t, x) ∈ R × Rn : x∈ A, t ∈ I(x) , si
pu`o dimostrare che
a) D `e aperto inR × Rn;
b) φ mappa D in A ed `e continua; c) valgono le seguenti propriet`a:
i) φ0(x) = x per ogni x∈ A;
ii) per ogni x ∈ A, t ∈ I(φs(x)) se e solo se t + s ∈ I(x), nel qual
caso vale φt(φs(x)) = φt+s(x).
Si noti come dalle propriet`a sopra elencate segua subito che se φt`e definita
nel sottoaperto U di A, allora • l’insieme V = φt(U ) `e aperto;
• φ−t `e definita in V e vale φ−t(V ) = U ;
• φ−t(φt(x)) = x per ogni x∈ U e φt(φ−t(x)) = x per ogni x∈ V ;
• dunque φt: U → V `e un omeomorfismo.
Le propriet`a i)-ii) derivano dalla definizione di φ, dall’invarianza per trasla- zioni temporali delle soluzioni di un sistema autonomo e dall’unicit`a delle stesse, mentre i punti a) e b) discendono dai Teoremi 5.13, nel caso di locale lipschitzianit`a di f , oppure 5.14 nel caso generale (svolgere i dettagli per esercizio). Si noti che se f `e localmente lipschitziana, da (5.7) segue che
APPROFONDIMENTI 105
dunque la mappa φt (come anche φ) `e localmente lipschitziana.
In generale si pu`o dare la seguente definizione:
Definizione 5.15 Un sistema dinamico continuo in uno spazio metrico (X, d) `e una mappa continua π : R × X → X tale che per ogni x ∈ X e ogni t, s∈ R valgono
i) π(0, x) = x;
ii) π(t, π(s, x)) = π(t + s, x).
Nel caso in considerazione, il flusso φ legato a un’equazione differenziale definisce solamente un sistema dinamico locale ovvero definito generalmente solo su un sottoaperto D diR×X = R×Rn. Ci`o `e essenzialmente dovuto al fatto che le soluzioni massimali dell’equazione y0 = f (y) possono non essere globalmente definite in R, ma non comporta grossi problemi perch´e vale il Teorema 5.16 (di Vinograd) Se a : A → ]0, +∞[ `e continua, allora le soluzioni di: (5.18) ( y0 = f (y) y(0) = y0 e di (5.19) ( z0 = a(z)f (z) z(0) = y0
sono due curve con lo stesso supporto e lo stesso verso.
In particolare, prendendo la funzione a(z) = 1+kf(z)k1 nel caso A = Rn,
oppure a(z) = 1+dist (z,∂A)dist (z,∂A) · 1+kf(z)k1 nel caso A ⊂ Rn, si verifica (perch´e?)
che tutte le soluzioni di (5.19) sono globalmente definite. In definitiva, il sistema dinamico locale generato dal flusso di (5.18) `e equivalente al sistema dinamico generato dal flusso di (5.19), definito su tuttoR×Rn (in sostanza, si opera un cambio di coordinate che riparametrizza le soluzioni di (5.18) in modo tale che siano globalmente definite). In generale non `e dunque restrittivo supporre che il sistema dinamico ottenuto sia globale.
Si osservi infine che al pi`u generale sistema non autonomo y0 = f (t, y) si potrebbe associare il flusso (e sistema dinamico) generato dal sistema autonomo equivalente
(
y0= f (t, y) t0 = 1.
106 CAPITOLO 5. DIPENDENZA DAI DATI INIZIALI
Purtroppo questa non `e una scelta felice, perch´e si pu`o verificare che tale sistema dinamico non pu`o ammettere equilibri n´e orbite periodiche, ecc., dunque `e poco interessante.
Dimostrazione del Teorema 5.11 di differenziabilit`a rispetto ai dati
Per l’analisi formale svolta precedentemente a p. 98, `e sufficiente verificare che Dy0y(t; y0) coincide con la soluzione Y (t) del problema di Cauchy
Y0 = Dyf (t, y(t; y0))Y, Y (t0) = I,
dove si `e identificato il differenziale con la rispettiva matrice jacobiana Dyf (t, y(t; y0)). Per il Corollario 4.16 tale soluzione esiste unica ed `e glo-
balmente definita in Iδ(t0), essendo quest’ultimo un intervallo di definizione
di y(t; y0). Si osservi che se Y (t) `e soluzione del problema precedente allora
per ogni fissato h∈ Rn la funzione Y (t)h `e soluzione di
(Y (t)h)0= Dyf (t, y(t; y0))(Y (t)h), Y (t0)h = h.
Preso h∈ Rn conkhk piccola e t ∈ I
δ(t0), si ha y(t; y0+ h)− y(t; y0)− Y (t)h =y0+ h + Z t t0 f (s, y(s; y0+ h)) ds −y0+ Z t t0 f (s, y(s; y0)) ds + −h + Z t t0 Dyf (s, y(s; y0))Y (s)h ds = Z t t0
f(s, y(s; y0+ h))− f(s, y(s; y0))− Dyf (s, y(s; y0))Y (s)h ds.
Detti y1 = y(s; y0), y2 = y(s; y0+ h) e posto yh(s, z) = zy2+ (1− z)y1 si ha
f (s, y2)−f(s, y1) = Z 1 0 d dz f (s, zy2+ (1− z)y1) dz = Z 1 0 Dyf (s, yh(s, z))(y2− y1) dz = Z 1 0 Dyf (s, y1)(y2− y1) dz + + Z 1 0 Dyf (s, yh(s, z))− Dyf (s, y1)(y2− y1) dz,
APPROFONDIMENTI 107 per cui y(t; y0+ h)− y(t; y0)− Y (t)h = Z t t0
Dyf (s, y(s; y0)) y(s; y0+ h)− y(s; y0)− Y (s)h ds +
+ Z t t0 Z 1 0 Dyf (s, yh(s, z))− Dyf (s, y1) y(s; y0+ h)− y(s; y0) dzds =: I1+ I2.
Per (5.2) (o anche (5.7)), se h `e sufficientemente piccolo e z∈ [0, 1] vale kyh(· , z) − y( · ; y0)k∞= zky( · ; y0+ h)− y( · ; y0)k∞≤ Ckhk.
In particolare yh(s, z) tende a y(s; y0) per h→ 0 uniformemente in s ∈ Iδ(t0)
e z ∈ [0, 1], perci`o |I2| ≤ Z t0+δ t0−δ Z 1 0 Dyf (s, yh(s, z))− Dyf (s, y1) y(s ; y0+ h)− y(s; y0) dzds ≤ 2δCkhk sup s∈Iδ(t0), z∈[0,1] Dyf (s, yh(s, z))− Dyf (s, y1) =:khkω(h), dove ω(h) `e funzione infinitesima per h→ 0. Posto infine
vh(t) := y(t; y0+ h)− y(t; y0)− Y (t)h , αh :=khkω(h), β := sup t∈Iδ(t0) kDyf (t, y(t; y0))k, si ottiene la disuguaglianza vh(t)≤ αh+ β Z t t0 vh(s) ds . Per il Lemma di Gronwall 5.4 vale quindi
vh(t)≤ αheβ|t−t0| =⇒ y(t; y0+ h)− y(t; y0)− Y (t)h = khkω(h),
ovvero la mappa y0→ y(t; y0) `e differenziabile e vale Dy0y(t; y0) = Y (t).
Dimostrazione del Teorema 5.13 di dipendenza continua dai dati (III)
Dimostrazione (del Teorema 5.13) La dimostrazione proposta fa uso del cosiddetto “bootstrap principle” (si veda la nota a nota a pi`e di pagi- na 16): dimostreremo che per s0, z0, g sufficientemente vicini a t0, y0, f , se
108 CAPITOLO 5. DIPENDENZA DAI DATI INIZIALI
la traiettoria di z(t) `e definita e contenuta in un intorno compatto della traiettoria di y(t) fino al tempo t, allora vale (5.13) fino al tempo t; inoltre dimostreremo che se vale la disuguaglianza (5.13) fino al tempo t, allora la traiettoria di z(t) `e contenuta in un intorno leggermente pi`u piccolo di quello iniziale, il che permetter`a di estendere z(t) e le disuguaglianze in un intorno di t. Grazie a questo ragionamento (apparentemente circolare, ma non lo `e!) si potr`a concludere che z `e definita in I con traiettoria contenuta in un intorno compatto della traiettoria di y e che (5.13) vale per ogni t∈ I.
Posto I = [a, b], poniamo per brevit`a ρ = b− a e, come nella dimo- strazione del Teorema di Peano sui compatti 2.26, prendiamo α, R > 0 tali che K := Cα,R(Ty) sia contenuto in Ω, dove Ty `e la traiettoria di y in I
e Cα,R(Ty) `e definito come in (2.16). K `e il compatto cercato. Sia infine
L = Lf(K) la costante di Lipschitz di f in K e siano
Mf :=kfk∞= max
(s,x)∈Kkf(s, x)k, M := Mf+ R/ρ.
Se g `e tale chekg − fk∞≤ R/ρ allora kgk∞≤ kfk∞+kg − fk∞≤ M. Si prendano ora s0, z0 tali che
(5.20) |s0− t0| ≤ α/2, kz0− y0k ≤ R/2;
ci`o permette di concludere che Cα/2,R/2(s0, z0) ⊂ Cα,R(t0, y0) ⊂ K, e il
Teorema di Peano sui compatti 2.26 insieme al Lemma 3.32 garantiscono che ogni soluzione di (5.12), tra le quali z(t), `e definita (almeno) in Iε(s0)
dove ε = min{α/2, R/(2M)}. Restringendo |s0 − t0| ≤ ε si ha che z(t) `e
definita in (un intorno di) t0. Si prendano infine z0, s0, g tali che
(5.21) kz0− y0k + M|s0− t0| + ρkg − fk∞eLρ≤ R
(la quale tra l’altro garantiscekg − fk∞≤ R/ρ). Le condizioni (5.20)-(5.21) insieme a |s0− t0| ≤ ε determinano un intorno di (t0, y0, f ) in R × Rn×
C(Ω) (le cui dimensioni dipendono solo da t0, y0, f ) che `e quello cercato.
Dimostriamo che finch´e `e definita z(t) soddisfakz(t) − y(t)k ≤ R. Questa `e essenzialmente una stima a priori. Sotto le condizioni imposte, z(t) `e definita almeno in un intorno di t0 e per continuit`a verificakz(t) − y(t)k ≤ R; si pu`o
allora applicare il Lemma 5.12 con le costanti ε, M, L, ρ trovate, ottenendo che finch´e z(t) `e definita e con traiettoria contenuta in K vale
(5.22) kz(t) − y(t)k ≤kz0− y0k + M|s0− t0| + ρkg − fk∞eL|t−t0|.
Consideriamo il caso t > t0, analogamente si ragioner`a per t < t0. Se ora
APPROFONDIMENTI 109
disuguaglianza insieme a (5.21) implica che in effetti kz(τ) − y(τ)k < R. Da ci`o segue che il punto (τ, z(τ )) `e contenuto nell’interno del compatto K ed `e quindi possibile costruire un cilindro di sicurezza con centro tale punto e ancora contenuto in K. Ne consegue che z(t) `e definita almeno in un intorno (destro) di τ con traiettoria contenuta in K. Si pu`o quindi estendere il ragionamento per concludere che (5.22) vale anche in un intorno di τ . In maniera analoga si ragiona per a < τ ≤ t0. In definitiva, detto
I(t0, τ ) l’intervallo di estremi t0 e τ , e posto
J :=τ ∈ I : z `e definita in I(t0, τ ) e vale (5.22) ∀t ∈ I(t0, τ ) ,
si `e dimostrato che J `e un sottoinsieme chiuso (banale), aperto e non vuoto di [t0, b], dunque per connessione J = [t0, b]. Analogamente si ragiona in
passato ottenendo infine che se s0, z0, g soddisfano le condizioni trovate, la