Esercizio 6.25 `E noto che se l’orbita di un sistema planare autonomo di classe C1`e contenuta in una curva chiusa semplice priva di punti di equilibrio allora l’orbita `e periodica. `E ancora vero se il sistema non `e autonomo? In caso affermativo provarlo, altrimenti fornire un controesempio.
Stabilit`a degli equilibri
Gli equilibri di un sistema di equazioni differenziali rivestono una partico- lare importanza in quanto concorrono alla descrizione della sua dinamica asintotica. Per esempio, sono i potenziali limiti delle soluzioni per t→ ±∞, come affermato dal Corollario 6.10, fermo restando che l’evoluzione di un sistema pu`o comunque essere molto pi`u complessa, come per esempio ac- cade in quelli che vengono comunemente detti “sistemi caotici”. In questa sezione daremo alcuni cenni a un’importanza propriet`a degli equilibri: la loro stabilit`a. L’origine della teoria della stabilit`a per equilibri (o anche per soluzioni) di equazioni differenziali `e attribuibile inizialmente a Lyapunov e ai suoi due metodi, quello indiretto, o di linearizzazione, e quello diretto, che si basa sul concetto di funzione di Lyapunov. In questa breve introduzione ci soffermeremo solamente sul primo. Inoltre ci concentreremo sulla stabilit`a in futuro, ma definizioni e analoghi risultati valgono anche in passato. Definizione 6.26 Un equilibrio y di un’equazione differenziale y0 = f (t, y) si dice stabile (in futuro) se per ogni t0 ed ε > 0 esiste δ = δε > 0 tale che
per ogni ky0− yk < δε si ha ky(t; t0, y0)− yk < ε per ogni t > t0.
Definizione 6.27 Un equilibrio y di un’equazione differenziale y0 = f (t, y) si diceasintoticamente stabile (in futuro) se `e stabile e attrattivo, cio`e esiste un intorno W di y tale che per ogni y0 ∈ W sia limt→+∞y(t; t0, y0) = y.
Definizione 6.28 Un equilibrio y di un’equazione differenziale y0 = f (t, y) si dice instabile (in futuro) se non `e stabile.
Analogamente si pu`o definire la stabilit`a/instabilit`a in passato. Essenzial- mente, un equilibrio y di un’equazione differenziale y0 = f (t, y) `e
Stabile: se le orbite che partono da punti vicini a y rimangono per sempre vicine a y;
Asintoticamente stabile: se oltre a essere stabili, le orbite che partono da punti vicini a y tendono a y;
134 CAPITOLO 6. ANALISI QUALITATIVA
Instabile: se non `e stabile, dunque se esistono orbite che partono da punti arbitrariamente vicini a y e che si allontanano da y.
Per una rappresentazione delle definizioni si veda la Figura 6.5.
y Bε Bδ a) y Bε Bδ b) y Bε Bδ c)
Figura 6.5: Stabilit`a di un equilibrio y: a) stabile; b) asintoticamente stabile; c) instabile. Notazioni: Bε= B(y, ε), Bδ= B(y, δ).
Come vedremo, lo studio della stabilit`a degli equilibri di un sistema non lineare, quale quello in oggetto, `e localmente ricondotto a quello di un opportuno sistema lineare, detto sistema linearizzato.
Per dare un’idea, in particolare supponiamo che y0 = f (y) con f di classe C1(A) e che y sia un qualsiasi punto di A; si pu`o sviluppare f mediante il polinomio di Taylor in y ottenendo f (y) = f (y) + Df (y)(y− y) + o(y − y) dove o(y− y) `e una funzione tale che limy→y o(yky−yk−y) = 0. Ci sono due casi:
Caso f (y) 6= 0; lo sviluppo si riduce a f(y) = f(y) + o(1) con o(1) funzione infinitesima per y → y. Sostanzialmente f(y) si comporta come f (y) in un intorno di y, dunque ha direzione e modulo che non si discostano molto da quelle di f (y), come appare dal seguente teorema.
Teorema 6.29 (dell’intorno tubulare)1 Sia f : A⊂ Rn→ Rn di classe
C1 ey∈ A tale che f(y) 6= 0. Allora esistono un intorno U di y, un intorno V di 0 inRn e un diffeomorfismo ψ : U → V con ψ(y) = 0 e tale che
y(t) `e soluzione di
y0 = f (t, y) in U ⇐⇒
x(t) = ψ(y(t)) `e soluzione di x0 = e1 in V,
essendo e1 il primo versore coordinato.
Essenzialmente il teorema afferma che, localmente vicino a un punto in cui f non si annulla, `e possibile rettilineizzare il campo vettoriale. La dinamica
STABILIT `A DEGLI EQUILIBRI 135 di x0= e1, ovvero di x01 = 1 x02 = 0 .. . x0n= 0,
`e banale: le soluzioni sono delle rette parallele a e1. Di conseguenza, essendo
ψ un diffeomorfismo, anche la dinamica di y0= f (t, y) in U `e molto semplice: le traiettorie vicine a y sono sostanzialmente parallele e fluiscono attraverso l’intorno “tubulare” U come in Figura 6.6. Per questa ragione un punto y tale che f (y)6= 0 viene anche detto punto regolare per il campo vettoriale.
y f (y) U Rn ψ 0 V e1 Rn−1
Figura 6.6: Il Teorema dell’intorno tubulare
Caso f (y) = 0, ovvero y `e un equilibrio del sistema. Gli equilibri vengo- no anche detti punti singolari per il campo vettoriale in quanto, contraria- mente al caso dei punti regolari, la dinamica del sistema in un loro intorno pu`o essere molto complessa. In questo caso l’espansione di Taylor al primo ordine in y diventa f (y) = Df (y)(y− y) + o(y − y) per cui
y0 = f (y) ⇐⇒ y0 = Df (y)(y− y) + o(y − y).
Seky − yk `e piccola, cio`e localmente vicino a y, il termine o(y − y) `e in gene- rale trascurabile rispetto a Df (y)(y− y) (per esempio, ci`o accade se Df(y) `e non singolare); per il Lemma 5.12 e il Teorema 5.13 le soluzioni dell’equa- zione y0 = f (y) possono essere approssimate, localmente vicino a y e per intervalli di tempo limitati, dalle soluzioni di y0= Df (y)(y− y). Operando la trasformazione z = y− y quest’ultimo si pu`o scrivere come z0 = Df (y)z
ed `e un sistema lineare a coefficienti costanti, detto sistema linearizzato nel punto di equilibrio y (per i sistemi lineari a coefficienti costanti si veda la
136 CAPITOLO 6. ANALISI QUALITATIVA
sezione dedicata nel Capitolo 9). In definitiva in un intorno di y le soluzioni del sistema y0 = f (y) sono approssimate da quelle del sistema linearizzato. Si pu`o dire di pi`u: siccome all’equilibrio y di y0 = f (y) corrisponde l’equi- librio z = 0 di z0 = Df (y)z, si pu`o sperare che lo studio di z possa dare indicazioni anche su y. Ci`o `e vero nel caso di equilibri iperbolici.
Definizione 6.30 Un equilibrio y di un’equazione differenziale y0 = f (t, y) si diceiperbolico se tutti gli autovalori di Df (y) hanno parte reale non nulla. Per tali equilibri `e possibile dimostrare i seguenti risultati, dei quali omet- tiamo la dimostrazione.
Teorema 6.31 Sia f : A ⊂ Rn → Rn di classe C2 e sia y un equilibrio
iperbolico per l’equazione y0 = f (y). Allora la stabilit`a di y `e analoga alla stabilit`a dell’equilibrio z = 0 per il sistema linearizzato z0 = Df (y)z, dove z = y− y. Pi`u precisamente si ha che
i) y `e asintoticamente stabile per y0 = f (y) se e solo se 0 `e asintotica- mente stabile per z0 = Df (y)z;
ii) y `e instabile per y0 = f (y) se e solo se 0 `e instabile per z0 = Df (y)z. In particolare la dinamica locale di y0 = f (y) vicino a y `e analoga a quella di z0 = Df (y)z vicino a z = 0. In generale, la stabilit`a lineare di y `e per definizione la stabilit`a di 0 per l’equazione linearizzata z0 = Df (y)z; di conseguenza si parler`a anche di equilibrio linearmente stabile/instabile. Inoltre, per rendere pi`u chiara la differenza, la stabilit`a di y viene anche detta stabilit`a nonlineare di y. In conclusione, nelle ipotesi del teorema precedente si `e dimostrato che y `e stabile/instabile se e solo se `e linearmente stabile/instabile. Resta ora da studiare la stabilit`a dell’origine per sistemi lineari; a tal fine viene in aiuto il seguente teorema.
Teorema 6.32 Dato il sistema lineare n×n a coefficienti costanti z0 = Bz,
B ∈ Mn, allora
i) se ogni autovalore diB ha parte reale negativa, l’origine `e un equilibrio asintoticamente stabile;
ii) se ogni autovalore di B ha parte reale minore o uguale a 0, e gli au- tovalori con parte reale nulla hanno molteplicit`a algebrica 1, allora l’origine `e un equilibrio stabile;
iii) se esistono autovalori di B con parte reale positiva, l’origine `e un equilibrio instabile.
STABILIT `A DEGLI EQUILIBRI 137
Perch´e il Teorema 6.31 vale per equilibri iperbolici e non necessariamente per quelli che non lo sono? Ci`o dipende essenzialmente dal fatto che se per- turbiamo leggermente una matrice B avente tutti gli autovalori con parte reale non nulla, otteniamo una matrice ancora con la medesima propriet`a, dunque c’`e una sorta di continuit`a degli autovalori, o almeno del segno della loro parte reale, per variazioni di B.2 Questo fatto implica che se 0 `e equi-
librio iperbolico per y0 = By allora continua ad esserlo anche per il sistema y0 = (B + εA)y per ogni matrice A e ε > 0 piccolo. In particolare, se 0 `e asintoticamente stabile/instabile per y0 = By allora la medesima propriet`a vale anche per il sistema perturbato. La propriet`a si generalizza al caso di perturbazioni della forma y0 = By + g(t, y), purch´e g soddisfi opportune propriet`a. In generale, si noti che un sistema nonlineare y0 = f (y) in un intorno di un suo equilibrio pu`o sempre essere visto come perturbazione di un sistema lineare (quello linearizzato), essendo f (y) = Df (y)(y− y) + g(y) dove la funzione g(y) := f (y)− Df(y)(y − y) `e un o(y − y).
Al contrario, se la matrice B ha un autovalore λ con parte reale nulla, perturbando B e di conseguenza λ, la parte reale dell’autovalore pu`o diventa- re, a seconda dei casi, positiva o negativa. Corrispondentemente, l’equilibrio 0 diviene instabile o stabile. Ne deriva che in questo caso gli equilibri y (per y0 = f (y)) e 0 (per z0 = Df (y)z) potrebbero essere l’uno stabile e l’altro instabile. Come semplice esempio, basta considerare l’equazione y0 = 0, per la quale ogni costante `e un equilibrio, in particolare y = 0. L’equazio- ne linearizzata coincide chiaramente con l’equazione stessa z0 = 0; l’unico autovalore del differenziale `e nullo, dunque y = 0 `e linearmente stabile. Considerando le due equazioni y0 =−y3 e y0 = y3, entrambe perturbazioni
al terzo ordine di y0 = 0, dallo studio della monotonia si vede che l’equili- brio 0 `e asintoticamente stabile per la prima, ma instabile per la seconda.
Figura 6.7: Soluzioni del sistema (6.2)
Un altro esempio pi`u interessante `e dato dal sistema lineare (equivalente a y100=−y1)
(6.2)
(
y01= y2
y02=−y1.
In questo caso gli autovalori della matrice as- sociata sono ±i, immaginari puri, l’equilibrio `e stabile ma non asintoticamente stabile e le orbite sono circonferenze con centro l’origine.
2Nel caso in cui la mappa s 7→ B(s) daR 7→ M
n(R) `e di classe C1e B(s0) ammette n
autovalori distinti, `e abbastanza facile dimostrare che per s vicino a s0 gli autovalori λi(s)
138 CAPITOLO 6. ANALISI QUALITATIVA
Considerando i due sistemi perturbati (6.3) ( y01= y2 y02=−y1− y21y2, ( y01= y2 y02=−y1+ y12y2,
si pu`o verificare che 0 `e asintoticamente stabile per il primo, con orbite spiraliformi che tendono all’origine, mentre `e instabile per il secondo, con orbite che si allontanano dall’equilibrio, si veda la Figura 6.8.
Figura 6.8: Perturbazione di un equilibrio stabile ma non asintoticamente stabile. Nell’ordine, le orbite del primo e secondo sistema perturbato (6.3)
Per terminare questa introduzione alla stabilit`a, specifichiamo che le ana- logie tra il sistema y0 = f (y) e il sistema linearizzato z0 = Df (y)z non si riducono solamente alle comuni propriet`a di stabilit`a dei rispettivi equilibri y e 0, come enunciato nel Teorema 6.31. Per esempio, nel caso di equilibri iperbolici `e possibile dimostrare che anche i ritratti di fase del sistema non- lineare e del suo linearizzato sono localmente simili (si vedano il Teorema di Hartman-Grobman 6.38 e il Teorema 6.40 negli approfondimenti).