Negli altri casi una delle due specie è portata ad estinguersi.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 4.1: Orientazioni possibili delle rette b
1− a
11x− a
12y = 0
e b
2− a
21x−
a
22y = 0
e andamento delle soluzioni del sistema (4.1).
E1 E3 E2 x y r r r
Figura 6.10: Ritratto di fase del sistema preda-predatore (6.4). Tutte le soluzioni nel primo quadrante tendono all’equilibrio E2 per t→ +∞
della frontiera x + y = 1/2 oppure x + y = 1 sulle quali, rispettivamente, la seconda oppure la prima componente del campo vettoriale si annulla. Se esistesse un tempo t2 > t1 per cui x(t2) + y(t2) = 1/2 e la soluzione stesse
dentro M in [t1, t2] si avrebbe y0(t2) = 0 e x0(t2) > 0. Derivando la seconda
equazione del sistema un’altra volta rispetto a t si ha
y00(t) = y0(t)− 2y0(t)x(t)− 2y(t)x0(t)− 4y(t)y0(t),
e sostituendo t = t2 si otterrebbe y00(t2) = −2y(t2)x0(t2) < 0. Il punto t2
sarebbe quindi un punto di massimo relativo per la funzione t 7→ y(t) in [t1, t2], assurdo perch´e in [t1, t2[ la soluzione sta in M per cui y0(t) < 0 e
y(t) `e ivi decrescente. Analogamente si trova un assurdo nel caso in cui x(t2) + y(t2) = 1. In conclusione, se una soluzione `e contenuta in M per
t = t1, rimarr`a in M per ogni t > t1. Dalla limitatezza di M segue che
la soluzione `e globalmente definita in [t1, +∞[. Come prima si ottiene che
x0(t) > 0 e y0(t) < 0 cio`e x(t) `e crescente mentre y(t) `e decrescente, e per monotonia esiste limt→+∞(x(t), y(t)) = (x∞, y∞) ∈ M. Per la conseguenza del criterio dell’asintoto (x∞, y∞) `e un equilibrio e dovendo essere x∞ > x(t) > x(t1) > 0 non pu`o che essere (x∞, y∞) = (1, 0) = E2.
In definitiva si `e provato che ogni soluzione con dati iniziali appartenen- ti all’interno di D converge all’equilibrio E2 per t → +∞: il microcosmo
favorisce la prima popolazione che tende a un valore d’equilibrio finito, a discapito della seconda che tende a estinguersi. Il quadro complessivo delle soluzioni si pu`o osservare in Figura 6.10.
APPROFONDIMENTI 143
Approfondimenti
Disuguaglianze differenziali
In queste aggiunte si vuole mostrare come il Teorema del confronto possa essere esteso al caso dei sistemi y0 = f (t, y), y ∈ Rn. Essenzialmente, al
posto della soluzione y(t) si considera la norma ky(t)k. Il primo problema che si incontra `e che tale funzione non `e derivabile. Si vanno dunque a utilizzare le derivate del Dini : data v : I → R, t0 ∈ I si definiscono
(6.7) D+v(t0) = lim sup t→t+0 v(t)− v(t0) t− t0 , D−v(t0) = lim sup t→t−0 v(t)− v(t0) t− t0 , D+v(t0) = lim inf t→t+0 v(t)− v(t0) t− t0 , D−v(t0) = lim inf t→t−0 v(t)− v(t0) t− t0 .
Chiaramente, se v `e derivabile in t0 ciascuno di questi quattro limiti coincide
con v0(t0), ma in generale potrebbero essere tutti diversi l’uno dall’altro. In
ogni caso esistono sempre, possibilmente infiniti.
Dato un problema di Cauchy per un’equazione differenziale scalare
(6.8)
(
z0 = ω(t, z)
z(t0) = z0,
dove ω : ]a, b[×R → R `e continua, una disuguaglianza differenziale associata a (6.8) `e del tipo
(6.9)
(
Dv≤ ω(t, v) v(t0)≤ z0,
dove Dv coincide con una delle quattro derivate del Dini (la scelta dipender`a dal caso in considerazione). Una soluzione di (6.9) `e una funzione continua v : [t0, β[→ R che soddisfa la seconda disuguaglianza e verifica la prima
puntualmente ovunque.
Il Teorema del confronto 6.3 ammette la seguente generalizzazione: Teorema 6.34 (del confronto (III)) Se v(t) `e soluzione di (6.9) e il pro- blema di Cauchy (6.8) ha un’unica soluzione z(t), allora v(t)≤ z(t) in futuro in un comune intervallo di definizione [t0, β[.
Dimostrazione Sia I l’intervallo di esistenza comune a z(t) e v(t). Come nella dimostrazione del Teorema 6.3 sia K = [t0, t1] un sottointervallo
144 CAPITOLO 6. ANALISI QUALITATIVA
compatto di I e si ponga ωk(t, y) := ω(t, y) + 1/k, (tk, yk) = (t0, y0) per
k∈ N, k ≥ 1. Detta zk(t) una soluzione del problema di Cauchy
(
z0(t) = ωk(t, z(t))
z(t0) = z0,
per il Teorema 5.14, definitivamente per k≥ ¯k si ha che zk(t) `e definita su
[t0, t1] e tende a z(t) per k→ ∞ uniformemente in [t0, t1]. Dimostriamo che
v(t) ≤ zk(t) in [t0, t1]. Per assurdo, supponiamo che esista t2 ∈ ]t0, t1] tale
che v(t2) > zk(t2). Allora esistono t0< σ≤ τ < t2 tali che
i) v(t) < zk(t) per t0< t < σ e v(σ) = zk(σ);
ii) v(t) > zk(t) per τ < t < t2 e v(τ ) = zk(τ ).
Se la derivata del Dini Dv `e una derivata sinistra si utilizza i), se destra si utilizza ii). Per esempio, supponendo che D = D+ (oppure D = D
+) si ha
v(t)− v(τ) t− τ >
zk(t)− zk(τ )
t− τ , t > τ,
e passando al lim sup (o lim inf, a seconda dei casi) per t→ τ+ si ottiene
D+v(τ ) = lim sup t→τ+ v(t)− v(τ) t− τ ≥ lim supt→τ+ zk(t)− zk(τ ) t− τ = zk0(τ ), ma per ipotesi si ha D+v(τ )≤ ω(τ, v(τ)) = ω(τ, zk(τ )) < ω(τ, zk(τ )) + 1 k = z 0 k(τ ),
il che `e assurdo. Allora deve essere v(t)≤ zk(t) per ogni t∈ [t0, t1] e k gran-
de. Passando al limite per k→ +∞ si ottiene v(t) ≤ z(t) e, dall’arbitrariet`a di K = [t0, t1] in I, tale relazione vale in I.
Il Teorema 6.34 si applica ai sistemi di equazioni differenziali y0 = f (t, y) con y∈ Rnper ottenere delle stime sulla norma v(t) =ky(t)k delle soluzioni.
L’osservazione fondamentale `e la seguente: se D rappresenta una derivata del Dini, allora
Dky(t)k ≤ ky0(t)k, ∀ t. Infatti, se h6= 0 si ha ky(t + h)k − ky(t)k h ≤ ky(t + h) − y(t)k |h| = y(t + h)− y(t) h ,
APPROFONDIMENTI 145
e, a seconda dei casi, passando al lim sup o lim inf per h → 0+ o h → 0−
si ha la tesi. Ricordando che y(t) `e soluzione di y0 = f (t, y), varr`a quindi
Dky(t)k
≤ kf(t, y(t))k: per avere una disuguaglianza differenziale per la norma v(t) di y(t) del tipo (6.9) sar`a dunque sufficiente trovare una stima della norma del campo vettoriale f della forma
kf(t, y)k ≤ ω(t, kyk). Vale dunque il seguente corollario al Teorema 6.34:
Teorema 6.35 (del confronto (IV)) Se kf(t, y)k ≤ ω(t, kyk) dove ω ve- rifica le ipotesi del Teorema 6.34, allora ogni soluzione y(t) del problema di Cauchy y0 = f (t, y), y(t0) = y0 soddisfa ky(t)k ≤ z(t), con z(t) soluzione di
z0 = ω(t, z), z(t0) =ky(t0)k.
Dimostrazione Segue dal Teorema 6.34 e dall’analisi appena svolta. Come corollari si riescono a provare o ridimostrare alcuni risultati di esistenza e unicit`a globale (cfr. Teoremi 4.12-4.13 e l’Esercizio 5.10). Corollario 6.36 Data f : ]a, b[×Rn → Rn, se kf(t, y)k ≤ `(t)kyk + m(t) per ogni (t, y)∈ ]a, b[×Rn, con `, m funzioni continue e non negative, allora
ogni soluzione dell’equazione y0= f (t, y) `e globalmente definita in futuro. Dimostrazione Presa y(t) soluzione del problema di Cauchy con dati y(t0) = y0 e posto ω(t, z) = `(t)z + m(t) sia z(t) la (unica) soluzione di
z0 = ω(t, z), ω(t0) =ky0k. Per (8.9) si ha z(t) = eL(t)hky0k + Z t t0 e−L(s)m(s) dsi, L(t) = Z t t0 m(s) ds,
in particolare z(t) `e globalmente definita in ]a, b[. Per il Teorema 6.35 vale ky(t)k ≤ z(t) per t ≥ t0 e il Teorema 4.5 implica la tesi.
Corollario 6.37 Data f : ]a, b[×Rn → Rn, sia ω : ]a, b[×R → R continua, conω(t, 0) = 0, tale che ci sia unicit`a in futuro per le soluzioni diz0 = ω(t, z) e valga
kf(t, y1)− f(t, y2)k ≤ ω(t, ky1− y2k),
per ogni (t, y1), (t, y2) ∈ ]a, b[×Rn. Allora ogni problema di Cauchy y0 =
146 CAPITOLO 6. ANALISI QUALITATIVA
Dimostrazione Supponiamo che il problema con dati iniziali y(t0) = y0
abbia due soluzioni y1(t), y2(t) definite in futuro in [t0, β[; posto v(t) =
ky1(t)− y2(t)k si ha
Dv(t) = Dky1(t)− y2(t)k ≤ ky01(t)− y02(t)k = kf(t, y1(t))− f(t, y2(t))k
≤ ω(t, ky1(t)− y2(t)k) = ω(t, v(t)).
Per il Teorema 6.34 vale v(t) ≤ z(t) in futuro dove z(t) `e la soluzione del problema z0 = ω(t, z), z(t0) = v(t0) = ky1(t0)− y2(t0)k = 0. Essendo
ω(t, 0) = 0 ed avendo tale problema unicit`a delle soluzioni, segue che z(t)≡ 0 da cui y1(t)≡ y2(t) per t≥ t0.
In particolare, prendendo ω(t, z) = L(t)z con L continua e positiva, ovvero assumendo
kf(t, y1)− f(t, y2)k ≤ L(t)ky1− y2k,
dai Corollari 6.36-6.37 si riottiene il Teorema di esistenza globale 4.13 cio`e che l’equazione y0 = f (t, y) ammette esistenza e unicit`a globale in futuro.
Il Teorema di Hartman-Grobman. Variet`a stabile e instabile
Il Teorema di linearizzazione 6.31 mette in relazione la stabilit`a di un equi- librio y per un sistema nonlineare con quella dell’origine per il sistema li- nearizzato in y. La connessione tra questi due sistemi `e pi`u profonda, come afferma il seguente teorema.
Teorema 6.38 (di Hartman-Grobman) Siano f : Ω ⊆ Rn → Rn di
classe C1 e y un equilibrio iperbolico per y0 = f (y). Allora i flussi φt(y)
e ψt(z) associati, rispettivamente, alle equazioni y0 = f (y) e z0 = Df (y)z
sono mappe topologicamente coniugate, ovvero esistono U intorno aperto di y, V intorno aperto di 0 inRn e un omeomorfismo h : U → V tale che
h(φt(y)) = ψt(h(y)) per ogni (t, y) tali che φt(y)∈ U (ovvero h◦φt= ψt◦h).
Essendo in questo casoψt(z) = etAz, dove si `e posto A = Df (y), la relazione
sopra si riscrive come h(φt(y)) = etAh(y).
Poich´e h `e un omeomorfismo, dalla relazione h◦φt= ψt◦h di coniugio topo-
logico si ottiene anche φt= h−1◦ ψt◦ h. La dinamica del flusso φt`e dunque
ottenibile da quella di ψtessenzialmente mediante una sorta di “cambiamen-
to di coordinate” h. Pi`u precisamente, l’omeomorfismo h trasforma orbite del primo sistema in orbite del secondo, e viceversa, preservando il senso di percorrenza delle orbite e la loro parametrizzazione, si veda la Figura 6.11.
APPROFONDIMENTI 147
Dunque, dal punto di vista delle equazioni differenziali, il teorema afferma che localmente vicino a ciascun equilibrio i due sistemi hanno il medesimo ritratto di fase, cio`e un analogo insieme delle orbite (come esempio si veda il sistema (6.12) e la relativa Figura 6.12).
h h y φt(y) h(y) ψt(h(y)) U V
Figura 6.11: Flussi topologicamente coniugati
Nello studio della geometria locale del flusso si pu`o essere addirittura pi`u precisi, introducendo il concetto di variet`a stabile e instabile.
Definizione 6.39 Dati un sistema di equazioni differenziali y0 = f (y), f : Ω ⊆ Rn → Rn, e un suo equilibrio y, posto φ
t(y) il flusso associato,
si definiscono la variet`a stabile locale Wlocs (y) e la variet`a instabile locale Wlocu (y) di y come
Wlocs (y) :={y ∈ U : φt(y)→ y, se t → +∞, φt(y)∈ U, ∀ t ≥ 0},
(6.10)
Wlocu (y) :={y ∈ U : φt(y)→ y, se t → −∞, φt(y)∈ U, ∀ t ≤ 0}.
(6.11)
dove U `e un intorno di y.
Nel caso di un sistema lineare y0 = Ay si pu`o dimostrare che le variet`a stabile e instabile Ws
loc(0), Wlocu (0) relative all’equilibrio 0 costituiscono due
sottospazi vettoriali Es(0), Eu(0) (“variet`a lineari”), il primo di dimensione uguale alla somma delle dimensioni di tutti i sottospazi generalizzati (si veda p. 240) relativi agli autovalori con parte reale negativa, il secondo, a quelli con parte reale positiva. Nel caso di un sistema nonlineare vale il seguente Teorema 6.40 (della variet`a stabile/instabile) Sia f : Ω ⊆ Rn → Rn
di classe C1 e siay un equilibrio iperbolico di y0 = f (y). Allora esistono le variet`a locali stabile e instabileWs
loc(y) e Wlocu (y), aventi, rispettivamente, la
stessa dimensione delle variet`a Es(0), Eu(0) relative al sistema linearizzato z0 = Df (y)z. Inoltre Wlocs (y) e Wlocu (y) sono tangenti, rispettivamente, a Es(0) e Eu(0) nel punto y.
148 CAPITOLO 6. ANALISI QUALITATIVA
Come esempio si consideri il sistema
(6.12)
(
y10 = 4y2− (y1+ y2)2
y20 = y1+ (y1+ y2)2,
con l’equilibrio y = (0, 0). Poich´e (y1 + y2)2 `e chiaramente un termine
quadratico in (y1, y2), il sistema linearizzato in y `e
( z10 = 4z2 z20 = z1, ovvero z10 z20 =0 4 1 0 z1 z2 =: Az1 z2 .
Gli autovalori di A sono λ1 = −2 e λ2 = 2. Poich´e sono reali e non nulli
l’equilibrio `e iperbolico, ed essendo λ2 positivo l’equilibrio `e instabile sia
linearmente che nonlinearmente. I due autovettori corrispondenti sono dati da v1 = (2,−1), v2 = (2, 1) perci`o Es= spanhv1i = {y1+ 2y2 = 0} mentre
Eu= spanhv
2i = {y1− 2y2= 0}, dunque Eu ed Es sono due rette.
Per quanto riguarda il sistema nonlineare, per il Teorema 6.40 entrambe le variet`a Ws
loc(y) e Wlocu (y) hanno dimensione 1, dunque sono delle curve.
Con gli strumenti del Capitolo 7 si pu`o calcolare un integrale primo (si veda la Definizione 7.1), dato da F (y1, y2) = 12y22− 3y21 − 2(y1 + y2)2. Poich´e
F (y1(t), y2(t)) `e costante lungo le soluzioni, le orbite sono contenute in un
insieme di livello di F . Se y ∈ Ws
loc(y) oppure y ∈ Wlocu (y), dovendo essere
(y1(t), y2(t)) = φt(y) → y per t → +∞ oppure t → −∞, per continuit`a di
F segue che y deve appartenere al medesimo insieme di livello di y, dunque Wlocs (y)∪Wu
loc(y)⊆ {F (y1, y2) = F (y) = 0} = {12y22−3y12−2(y1+y2)2 = 0}.
y1 y2 a) y1 y2 b)
Figura 6.12: Ritratto di fase in un intorno del rispettivo equilibrio per a) il sistema (6.12), b) il suo sistema linearizzato in y. In arancione sono rappre- sentate le variet`a instabili, in rosso quelle stabili. In a) le linee tratteggiate sono le rette tangenti alle variet`a stabile e instabile
APPROFONDIMENTI 149
Dunque le variet`a locali stabile e instabile sono curve con supporto nella curva piana algebrica (cubica) di equazione 12y22− 3y12− 2(y1+ y2)2 = 0.
Le tangenti a questa curva nell’origine hanno globalmente equazione data da 12y22− 3y2
1 = 0 dunque sono 2y2 − y1 = 0 e 2y2+ y1 = 0 e coincidono
proprio con Eu e, rispettivamente, Es. In definitiva, localmente vicino a y l’insieme di livello 0 di F si decompone nelle due curve individuate da Wlocs (y) e Wlocu (y) e tangenti nell’origine a Es e Eu. In Figura 6.12 sono rappresentati i ritratti di fase del sistema (6.12) in un piccolo intorno di y e, rispettivamente, del suo linearizzato in (0, 0).
Si noti che la somiglianza dei due ritratti di fase avviene solo in piccolo; per (y1, y2) grandi, il termine nonlineare (y1+ y2)2 inizia a influenzare for-
temente la dinamica del sistema (6.12) e il suo ritratto di fase globale `e in effetti rappresentato dalla Figura 6.13.
y1
y2
Figura 6.13: Ritratto di fase in grande del sistema (6.12). La linea rossa rappresenta l’insieme di livello 0 di F , contenente sia la variet`a stabile che quella instabile. Si noti come per y1 negativi la variet`a instabile si ripieghi
su se stessa per poi sovrapporsi a quella stabile; la corrispondente orbita `e relativa a una soluzione y(t) che connette l’equilibrio y con se stesso, ovvero tale che y(t)→ y per t → ±∞. Trattasi di una cosiddetta orbita omoclina.