In questa sezione richiameremo e approfondiremo il metodo di integrazione per le equazioni a variabili separabili , ovvero della forma
(8.1) y0 = h(t)g(y),
con h : I → R, g : A → R funzioni continue, I, A ⊆ R intervalli. Formalmen- te il metodo si ricorda come segue: scrivendo y0= dydt in (8.1), si “moltiplica” per dt e si divide per g(y) (disinteressandosi di cosa ci`o significhi), ottenendo l’equazione
1
g(y)dy = h(t) dt. 182
EQUAZIONI A VARIABILI SEPARABILI 183 Integrando si ha (8.2) Z 1 g(y)dy = Z h(t) dt =⇒ G(y) = H(t) + c,
dove G `e primitiva di 1/g, H `e primitiva di h e c ∈ R `e la costante di integrazione. La formula (8.2)2 rappresenta un’equazione in forma implicita
per la generica soluzione y = y(t): potendo invertire la funzione G (dove ci`o ha senso) si ottiene la generica soluzione di (8.1):
y(t) = G−1 H(t) + c.
Interpretando il precedente procedimento col linguaggio delle forme diffe- renziali, con riferimento a (7.15) si ha che la 1-forma
ω(t, y) =−h(t)g(y)dt + dy = 0
`e identicamente nulla. Nel dominio dove g(y)6= 0 la funzione λ(y) = 1/g(y) `e un fattore integrante per ω, per cui la forma
λ(y)ω(t, y) =−h(t)dt + 1
g(y)dy = 0
`e banalmente esatta dunque chiusa, almeno se ristretta a ciascuna compo- nente connessa dell’aperto{(t, y) ∈ I × A : g(y) 6= 0} (tali componenti sono banalmente semplicemente connesse). Per la Proposizione 7.12 una sua pri- mitiva F (t, y) `e costante lungo le soluzioni; essendo F (t, y) = G(y)− H(t) si riottiene (8.2)2.
Il procedimento sopra descritto `e formale; cerchiamo di validarlo mate- maticamente. Supponiamo per il momento che (8.1) abbia unicit`a per le soluzioni dei relativi problemi di Cauchy associati, per esempio se g(y) `e localmente lipschitziana. Fissati i dati iniziali y(t0) = y0 ci sono due casi:
I) g(y0) = 0 ovvero y0 `e un equilibrio dell’equazione differenziale. Allora
la funzione y(t)≡ y0 `e soluzione dell’equazione e per unicit`a `e l’unica
soluzione del problema di Cauchy; oppure
II) g(y0)6= 0. In questo caso, sempre per l’unicit`a, dovr`a necessariamente
essere g(y(t))6= 0 per ogni t di definizione. Infatti, la traiettoria di y(t) non pu`o intersecare trasversalmente la traiettoria di alcun equilibrio. `
E allora consentito dividere l’equazione per g(y(t)) ottenendo y0(t)
184 CAPITOLO 8. ALCUNE CLASSI DI EQUAZIONI INTEGRABILI
da cui, integrando tra t0 e t, segue
Z t t0 y0(t) g(y(t))dt = Z t t0 h(t) dt.
Mediante la sostituzione z = y(t) e la formula di integrazione per sostituzione si arriva a Z y(t) y0 1 g(z)dz = Z t t0 h(t) dt.
Detta H una primitiva di H e G una primitiva di 1/g(y) nella compo- nente connessa di Ω cui y0 appartiene, si ottiene finalmente
G(y(t))− G(y0) = H(t)− H(t0)
ovvero G(y(t)) = H(t) + G(y0)− H(t0), cio`e (8.2)2 con c = G(y0)−
H(t0). Essendo G0(y(t)) = 1/g(y(t))6= 0 la funzione G `e invertibile se
ristretta alla componente connessa dell’aperto{y ∈ A : g(y) 6= 0} cui appartengono sia y0 sia tutta l’orbita y(t). Detta G−1 l’inversa locale
si ottiene infine la soluzione
(8.3) y(t) = G−1 H(t) + G(y0)− H(t0).
Solitamente, tra le primitive di h e 1/g conviene scegliere quelle che che si annullano in t0 e, rispettivamente, in y0, cio`e proprio
H(t) = Z t t0 h(s) ds, G(y) = Z y y0 1 g(z)dz,
per cui la formula precedente si scrive semplicemente y(t) = G−1(H(t)). Cosa succede se g(y) non `e localmente lipschitziana, dunque a priori l’equa- zione (8.1) non ha unicit`a delle soluzioni? Nel caso di un equilibrio, ovvero g(y0) = 0, potrebbe accadere che il relativo problema di Cauchy non abbia
un’unica soluzione, cio`e che esista una soluzione che “esce” dall’equilibrio in tempo finito, ovvero tale che y(t) = y0 in un intorno sinistro di qualche t1ma
y(t) 6= y0 per t > t1. Simmetricamente potrebbero esistere delle soluzioni
che “entrano” in un equilibrio in tempo finito; in particolare, la condizione g(y0) 6= 0 non garantirebbe che g(y(t)) 6= 0 per ogni t e il metodo esposto
sopra fallirebbe.
Tuttavia, se g(y0) 6= 0 per continuit`a si avr`a g(y(t)) 6= 0 almeno per i
t in un intorno di t0, per cui la procedura in II) `e giustificata e la formula
(8.3) `e valida almeno in questo intorno. Si osservi che se g non si annulla mai allora II) `e sempre applicabile. Si ottiene dunque il seguente risultato.
EQUAZIONI A VARIABILI SEPARABILI 185
Proposizione 8.1 Sia dato il problema di Cauchy (
y0 = h(t)g(y) y(t0) = y0
con h : I → R, g : A → R funzioni continue.
i) Se g(y0) 6= 0 il problema ammette un’unica soluzione locale (potendo
per`o avere molteplici prolungamenti massimali);
ii) se g(y) 6= 0 per ogni y ∈ A, tutti i problemi di Cauchy ammettono un’unica soluzione massimale data dalla formula (8.3).
Dimostrazione Fatta sopra.
Pi`u precisamente, il metodo in II) `e applicabile a ogni soluzione y(t) in un intervallo J ⊆ I su cui non coincide con alcun equilibrio, ovvero su cui valga g(y(t)) 6= 0. La formula (8.3) permette quindi di calcolare tutti i rami delle soluzioni esterni agli equilibri; inoltre, per costruzione in tali intervalli le soluzioni sono uniche, a prescindere dalla regolarit`a di g. Tuttavia, le soluzioni massimali potrebbero non essere uniche in quanto le loro orbite potrebbero entrare in un equilibrio in tempo finito. Quando ci`o pu`o accadere?
Sia A = ]a, b[; supposto g(y0) 6= 0 il dato iniziale y0 apparterr`a a una
componente connessa massimale dell’aperto {y : g(y) 6= 0} che sar`a un intervallo aperto del tipo ]y−, y+[ su cui g non cambia segno, potendo even-
tualmente essere y− = a oppure y+ = b. Per facilit`a, concentriamoci sulla
singola equazione autonoma y0 = g(y) per cui h(t) ≡ 1 e I = R; inol- tre supponiamo g(y) > 0 per y ∈ ]y−, y+[. Allora ogni soluzione con dato
iniziale y0 ∈ ]y−, y+[ sar`a inizialmente crescente e lo rimarr`a fintanto che
y(t) ∈ ]y−, y+[ cio`e fino a quando y(t) eventualmente non assume il valore
y+ in futuro, oppure il valore y− in passato. Concentriamoci sul futuro (in
passato si ragiona analogamente) e, per esempio, assumiamo che y+< b per
cui y+ `e un equilibrio dell’equazione. Per tutti i t per cui g(y(t))6= 0 si pu`o
applicare II) con h(t) = 1, per cui si ottiene (8.4)
Z y(t)
y0
1
g(z)dz = t− t0.
La differenza t− t0 rappresenta il tempo impiegato affinch´e il valore della
soluzione passi da y0 a y(t) spostandosi lungo l’orbita. Di conseguenza, se
l’integrale improprio in y+
Z y+
y0
1 g(z)dz
186 CAPITOLO 8. ALCUNE CLASSI DI EQUAZIONI INTEGRABILI
converge, allora la soluzione assume il valore dell’equilibrio y+ in tempo
finito. In questo caso ci`o comporta la perdita dell’unicit`a delle soluzioni di alcuni problemi di Cauchy in passato (perch´e?). Al contrario, se tale integrale diverge allora y(t) non assumer`a mai in futuro il valore y+per cui
g(y(t))6= 0 per ogni t ≥ 0 e il relativo problema di Cauchy avr`a unicit`a in futuro della soluzione. Abbiamo dunque dimostrato il seguente risultato. Proposizione 8.2 Sia data l’equazione differenziale
y0 = g(y),
con g : A → R funzione continua. Se g(y+) = 0, g(y) 6= 0 per y in un
intorno diy0, y 6= y+, e gli integrali
Z y+ 1 g(z)dz, Z y+ 1 g(z)dz
divergono, allora nessuna soluzione pu`o entrare o uscire dall’equilibrio y+
in tempo finito. Al contrario, se almeno uno dei due integrali diverge, il problema di Cauchy con dati iniziali y(t0) = y+ ammette pi`u soluzioni.
Dimostrazione Fatta sopra.
Esercizio 8.3 Sia g continua e tale che per ogni y tale che g(y) = 0 esista un intorno U su cui g `e lipschitziana e g(y)6= 0 per y ∈ U \ {y} (ovvero g ha solamente zeri isolati ed `e localmente lipschitziana in un intorno di ciascuno di essi). Dimostrare che gli integrali impropri
Z y 1 g(z)dz, Z y 1 g(z)dz
sono divergenti. Senza utilizzare Cauchy-Lipschitz dedurre la validit`a del seguente teorema:
Teorema 8.4 Sia data l’equazione differenziale y0 = h(t)g(y),
con h : I → R, g : A → R. Se l’equazione ha equilibri isolati, h `e continua, g `e continua e localmente lipschitziana in un intorno di ciascuno equilibrio, allora l’equazione ha unicit`a delle soluzioni per tutti i problemi di Cauchy. In realt`a, applicando direttamente il Teorema di Cauchy-Lipschitz si vede che l’ipotesi che gli equilibri siano isolati non `e necessaria.
EQUAZIONI LINEARI A COEFFICIENTI CONTINUI DI ORDINE1187
Esercizio 8.5 Dire quali tra le seguenti equazioni ha unicit`a delle soluzioni di tutti i problemi di Cauchy: a) y0= p|y|; b) y3 0 = 1 +p|y|; c) y3 0 = yp|y|.3
Esercizio 8.6 Scrivere esplicitamente un’equazione differenziale y0 = g(y) con un equilibrio y tale che il relativo problema di Cauchy con dati y(0) = y abbia unicit`a delle soluzioni in futuro ma non in passato.