Dimostrazione Per ipotesi si ha
h−f(−t, y), yi ≤ −A(−t)kyk2− B(−t)kyk − C(−t),
e per il Corollario 4.9 le soluzioni massimali dell’equazione differenziale z0 = −f(−t, z) sono globalmente definite in futuro quindi, per l’osserva- zione sopra, quelle dell’equazione y0 = f (t, y) sono globalmente definite in
passato.
Corollario 4.11 Se esistono A, B, C : J → R continue e positive tali che
hf(t, y), yi
≤ A(t)kyk2+ B(t)kyk + C(t),
per ogni t∈ J e ogni y ∈ Rn (in realt`a basta per ogni kyk ≥ R per qualche R) allora ogni soluzione massimale dell’equazione y0 = f (t, y) `e globalmente definita in futuro e passato.
Dimostrazione Segue banalmente dai Corollari 4.9 e 4.10.
Teoremi di esistenza globale
Come corollari dei risultati della sezione precedente si ottengono anche i clas- sici criteri di sublinearit`a e globale lipschitzianit`a che andremo a enunciare e dimostrare. Il primo criterio si ricorda brevemente come:
crescita sublineare di f =⇒ esistenza globale
Teorema 4.12 (di esistenza globale (I)) Data f : J × Rn → Rn conti-
nua, J = ]a, b[, se esistono `, m : J → R+ continue tali che
kf(t, y)k ≤ `(t)kyk + m(t)
per ogni t ∈ J e ogni y ∈ Rn (in realt`a `e sufficiente per ogni kyk ≥ R per qualche R) allora ogni soluzione massimale dell’equazione y0= f (t, y) `e globalmente definita in futuro e passato.
Dimostrazione Per la disuguaglianza di Schwarz si ottiene subito
hf(t, y), yi
≤ kf(t, y)k kyk ≤ `(t)kyk2+ m(t)kyk,
82 CAPITOLO 4. ALCUNI CRITERI DI ESISTENZA GLOBALE
In particolare il risultato si pu`o applicare se il campo vettoriale `e glo- balmente limitato, cio`e esiste M tale che kf(t, y)k ≤ M per ogni t e y. Per esempio le soluzioni dell’equazione differenziale y0 = sen y2 sono tutte glo-
balmente definite inR (compararle con quelle dell’equazione y0 = y2). Altro caso: l’equazione y0= h(t) sen y dell’Esempio 4.3 ha campo vettoriale f tale che|f(t, y)| ≤ |h(t)| e per il Teorema 4.12 ha soluzioni globalmente definite. Si noti come si pu`o pervenire al medesimo risultato applicando criteri diversi (tra l’altro si pu`o applicare anche il prossimo teorema).
Infine, enunciamo e dimostriamo il criterio di lipschitzianit`a globale che afferma che:
lipschtizianit`a globale di f =⇒ esistenza e unicit`a globale
Teorema 4.13 (di esistenza globale (II)) Data f : J× Rn→ Rn conti-
nua, J = ]a, b[, se esiste L : J → R+ continua tale che
kf(t, y1)− f(t, y2)k ≤ L(t)ky1− y2k
per ogni t∈ J e ogni y1, y2 ∈ Rn (in particolare se f `e globalmente lipschi-
tziana di costante L > 0) allora ci sono esistenza e unicit`a globale per le soluzioni massimali dei problemi di Cauchy per l’equazione y0 = f (t, y).
Dimostrazione L’unicit`a segue dal Teorema di Cauchy-Lipschitz. Si ha inoltre
kf(t, y)k ≤ kf(t, y) − f(t, 0)k + kf(t, 0)k ≤ L(t)kyk + kf(t, 0)k, e la tesi segue dal Teorema 4.12 con `(t) = L(t) e m(t) =kf(t, 0)k funzioni
continue e positive.
In particolare, dalla dimostrazione segue che la lipschitzianit`a globale implica la sublinearit`a, dunque il primo risultato `e pi`u generale del secondo. Non `e vero il viceversa, come si vede dal seguente esempio.
Esempio 4.14 L’equazione y0 = sen(y2) ha il campo vettoriale f (y) = sen(y2) non globalmente lipschitziano; infatti, si ha
f0(y) = 2y cos(y2) =⇒ sup
y∈R
f0(y)
= +∞.
Non si pu`o dunque applicare il Teorema 4.13. Invece, essendo |f(t, y)| ≤ 1 si pu`o applicare il Teorema 4.12 e concludere che le soluzioni (massimali) sono tutte globalmente definite in R.
TEOREMI DI ESISTENZA GLOBALE 83
Esempio 4.15 L’equazione y0 = t sen(ty) ha il campo vettoriale f (t, y) = t sen(ty) tale che ∂yf (t, y) = t2cos(ty). Si ha dunque |∂yf (t, y)| ≤ t2 e si
pu`o applicare il Teorema 4.13 con L(t) = t2 per ottenere l’esistenza globale
delle soluzioni.
I risultati appena descritti si possono applicare facilmente ai sistemi lineari a coefficienti continui.
Corollario 4.16 Ogni sistema lineare n× n a coefficienti continui y0= A(t)y + b(t),
dove A : J → M(n) ∼=Rn2 e b : J → Rn sono continue, ammette esistenza e unicit`a globale delle soluzioni massimali dei relativi problemi di Cauchy.
Dimostrazione Si pu`o applicare il teorema precedente perch´e il campo vettoriale verifica la seguente disuguaglianza
kf(t, y1)− f(t, y2)k = kA(t)(y1− y2)k ≤ kA(t)k ky1− y2k
(dove si `e utilizzata la norma degli operatori, si veda (A.3) in Appendice). Teorema 4.17 (di esistenza globale (III)) Sia data f : J × Rn → Rn
continua,J = ]a, b[. Se per ogni intervallo compatto K ⊆ J esistono costanti `K, mK ≥ 0 tali che
kf(t, y)k ≤ `Kkyk + mK,
per ogni t ∈ K e ogni y ∈ Rn (in realt`a `e sufficiente per ogni kyk ≥ R per qualche R) allora ogni soluzione massimale dell’equazione y0= f (t, y) `e globalmente definita in futuro e passato.
Dimostrazione Sia (Kj) una successione di intervalli compatti tali che
Kj ⊂ ◦
Kj+1⊂ J e ∪j∈NKj = J. Se y = y(t) `e una soluzione massimale,
applicando il Teorema 4.12 alla restrizione dell’equazione all’insieme Kj×Rn,
si ottiene che y(t) `e globalmente definita in Kj. Per l’arbitrariet`a di j ∈ N
segue che y `e definita su tutto J.
`
E facile dimostrare (farlo per esercizio) che i Teoremi 4.12 e 4.17 sono logicamente equivalenti.
Per terminare, si osservi che le assunzioni dei Teoremi 4.12 e 4.13 forni- scono delle condizioni solamente sufficienti per l’esistenza globale, quest’ul- tima valendo anche in ipotesi pi`u deboli, si veda per esempio l’Esercizio 4.25.
84 CAPITOLO 4. ALCUNI CRITERI DI ESISTENZA GLOBALE
Esempi ed esercizi
Esercizio 4.18 Data l’equazione y0= 1
y2+ t2,
a) studiare l’esistenza e l’unicit`a locale. Valgono le ipotesi dei teoremi di esistenza globale?
b) verificare che se y(t) `e soluzione dell’equazione in ]α, β[ allora anche z(t) :=−y(−t) `e soluzione in ] − β, −α[. Esistono soluzioni dispari? c) Dimostrare che le soluzioni massimali dei problemi di Cauchy con dati
y(t0) = y0 e t0 > 0 sono definite almeno in ]0, +∞[ e dedurre da ci`o
che le soluzioni massimali dei problemi di Cauchy con dati y(t0) = y0
e t0 < 0 sono definite almeno in ]− ∞, 0[;
d) provare che le soluzioni massimali dei problemi di Cauchy con dati y(0) = y0 e y0 6= 0 sono globalmente definite in R.
Soluzione. a) il campo vettoriale f (t, y) = y2+t1 2 `e definito e di classe C∞
in Ω := R2\ {(0, 0)}, dunque ci sono esistenza e unicit`a locale di tutte le soluzioni con dati iniziali in Ω. Poich´e il dominio non `e una striscia della forma J× R, non `e possibile applicare i teoremi di esistenza globale. Si noti comunque che, essendo lim(t,y)→(0,0)f (t, y) = +∞, f non pu`o essere subli-
neare e nemmeno globalmente lipschitziana su tutto il dominio, pervenendo quindi alla medesima conclusione.
b) Supposto che y(t) sia soluzione, si ha z0(t) = y0(−t) = 1
y2(−t) + (−t)2 =
1
z2(t) + t2 = f (t, z(t)),
quindi z(t) `e soluzione dell’equazione differenziale. Non possono esistere soluzioni dispari. Infatti, per definizione il dominio di una soluzione `e un intervallo; affinch´e y(t) sia dispari, deve necessariamente essere y(0) = 0, assurdo perch´e il punto (0, 0) non appartiene al dominio Ω.
c) Sia y(t) soluzione massimale con y(t0) = y0, t0 > 0. Si ha banalmente
|f(t, y)| ≤ 1 t2,
per ogni (t, y)∈ ]0, +∞[×R. Applicando il Teorema 4.12 alla restrizione di f all’aperto J × R = ]0, +∞[×R, con `(t) = 0, m(t) = 1/t2, si ottiene che
ESEMPI ED ESERCIZI 85
tutte le soluzioni massimali con t0 > 0 sono definite (almeno) in ]0, +∞[.
Alternativamente si pu`o utilizzare anche il Teorema 4.17; anzitutto si osserva che non si pu`o applicarlo su tutto ]0, +∞[×R perch´e f `e ivi non limitata. Fissato K intervallo compatto contenente t0 e tale che K ⊂ ]0, +∞[. Sia
tK = min K > 0. Per ogni (t, y) ∈ K × R si ha |f(t, y)| ≤ 1/t2K. Si pu`o
quindi applicare il Teorema 4.17 con J = ]0, +∞[, `K = 0, mK = 1/t2K
per cui y(t) `e globalmente definita in J = ]0, +∞[. Se ora y(t) `e soluzione massimale con y(t0) = y0, t0< 0, per il punto b) la funzione z(t) =−y(−t)
`e ancora soluzione tale che z(−t0) =−y0. Per quanto appena visto z(t) `e
definita (almeno) in ]0, +∞[ dunque y(t) `e definita (almeno) in ] − ∞, 0[. d) Sia ¯y(t) soluzione massimale con ¯y(0) = y0, y0 6= 0. Per il Teorema di
Cauchy-Lipschitz ¯y(t) `e definita almeno in un intervallo del tipo [−δ, δ]. Ma ¯
y(t) `e anche soluzione dei problemi di Cauchy con dati y(δ) = ¯y(δ) oppure y(−δ) = ¯y(−δ). Per il punto precedente, le soluzioni dei due problemi di Cauchy sono definite, rispettivamente, in ]0, +∞[ e ] − ∞, 0[ e in definitiva ¯
y `e definita inR. L’analisi dell’equazione verr`a ripresa nell’Esempio 6.17. Esercizio 4.19 Data l’equazione differenziale
y0 = (y + 2t− 1)
2− 3
y + 2t + 1 nell’aperto Ω :=(t, y) ∈ R2: y + 2t + 1 > 0 ,
a) verificare che si hanno esistenza e unicit`a locale per le soluzioni dei problemi di Cauchy associati, ma che non valgono le ipotesi dei teoremi di esistenza globale;
b) trovare c∈ R affinch´e la funzione ¯y(t) = ct sia soluzione;
c) estendendo opportunamente il criterio di sublinearit`a o di globale lip- schitzianit`a dimostrare che le soluzioni dei problemi di Cauchy con dati iniziali y(t0) = y0> ¯y(t0) sono globalmente definite.
Soluzione. a) Il campo vettoriale f (t, y) = (y+2t−1)
2−3
y+2t+1 `e definito e di
classe C∞ in Ω, dunque localmente lipschitziano, perci`o per il Teorema di Cauchy-Lipschitz si hanno esistenza e unicit`a locale per i problemi di Cauchy associati. Non `e possibile applicare i teoremi di esistenza globale perch´e Ω non `e (e non `e estendibile a un dominio) della forma J× R. Si noti che in ogni caso si ha
lim
(t,y)→(t0,−2t0−1)
86 CAPITOLO 4. ALCUNI CRITERI DI ESISTENZA GLOBALE
perci`o f non pu`o essere sublineare n´e globalmente lipschitziano nel dominio. b) Essendo ¯y0(t) = c, la funzione ¯y `e soluzione se e solo se per ogni t vale c = (ct + 2t− 1)
2− 3
ct + 2t + 1 ⇐⇒ (c + 2) (c + 2)t
2− (c + 2)t − 1 = 0,
il che `e vero se e solo se c =−2 dunque ¯y(t) = −2t.
c) I criteri di sublinearit`a/globale lipschitzianit`a per l’esistenza globale sono stati dimostrati solamente per equazioni del tipo y0 = f (t, y) con campo vettoriale f : J×Rn→ Rndefinito su insiemi della forma J×Rncon J inter-
vallo, caso nel quale non ricade l’equazione in considerazione. Ripercorrendo le varie dimostrazioni dei teoremi e corollari che portano al criterio di subli- nearit`a, si nota che la propriet`a fondamentale che l’equazione deve possedere `e l’esplosione in norma delle soluzioni non globalmente definite; pi`u precisa- mente si basa sul fatto che se una soluzione massimale y : ]α, β[→ Rn non `e
globalmente definita in futuro allora|y(t)| → +∞ per t → β−(analogamente in passato, per t→ α+). Perci`o in tali teoremi `e possibile sostituire l’ipotesi
sulla forma del dominio di definizione con l’ipotesi di esplosione in norma per le soluzioni non globalmente definite. Tale propriet`a `e in effetti verificata per le soluzioni massimali dei problemi di Cauchy dell’equazione in oggetto, con dati iniziali in Ω0 :=(t, y) ∈ R2 : y > ¯y(t) = (t, y) ∈ R2 : y + 2t > 0 .
Essenzialmente ci`o accade grazie all’unicit`a delle soluzioni e al fatto che la funzione ¯y `e una soluzione; di conseguenza le soluzioni massimali con dati in Ω0 non possono uscire dal bordo di Ω0 individuato proprio da y = ¯y(t),
cio`e y + 2t = 0, dunque, se non globalmente definite, devono esplodere in norma. Per verificarlo, supponiamo che y = y(t) sia una soluzione massi- male con dati iniziali y(t0) = y0, (t0, y0) ∈ Ω0, non globalmente definita
in futuro. Sia dunque ]α, β[ con β < +∞ l’intervallo massimale d’esisten- za. Utilizziamo il Teorema della fuga dai compatti scegliendo il compatto KM := (t, y) : t0 ≤ t ≤ β, −2t ≤ y ≤ M al variare di M ≥ y0. Per
t→ β− la soluzione deve uscire definitivamente da KM, ma non pu`o farlo
dal lato t = β perch´e non `e definita in β e non pu`o nemmeno farlo dal basso perch´e altrimenti intersecherebbe il grafico di ¯y. Di conseguenza non pu`o che esistere tM tale che y(t) > M per ogni tM < t < β. Dall’arbitrariet`a
di M si ha dunque limt→β−y(t) = +∞. Analogamente si dimostra che se
α >−∞ allora limt→α+y(t) = +∞. A questo punto, una volta provato che
f `e sublineare in Ω0 (si veda sotto), si possono applicare le estensioni (sopra
suggerite) del teorema di esistenza globale, da cui discender`a che tutte le soluzioni massimali dell’equazione con dati in Ω0 sono globalmente definite.
Alternativamente, per dimostrare che le soluzioni massimali con dati ini- ziali in Ω0 sono globalmente definite, si poteva utilizzare il seguente strata-
ESEMPI ED ESERCIZI 87
gemma, che consiste nell’estendere opportunamente f a un campo vettoriale sublineare ˜f definito inR × R. Definiamo ˜f :R × R → R nel seguente modo
˜
f (t, y) := (
f (t, y) se y + 2t≥ 0 −2 se y + 2t < 0.
Osservando che f (t,−2t) = −2 per ogni t, segue che ˜f `e continua su tutto R×R. `E inoltre sublineare; infatti se y+2t ≤ 0 si ha banalmente | ˜f (t, y)| = 2, mentre se y + 2t > 0 (cio`e (t, y)∈ Ω0) si ha | ˜f (t, y)| = |f(t, y)| ≤ (y + 2t− 1) 2+ 3 y + 2t + 1 = y + 2t− 3 + 7 y + 2t + 1 ≤ |y| + |2t| + 4,
dunque in definitiva | ˜f (t, y)| ≤ |y| + |2t| + 4 per ogni (t, y) ∈ R × R. `E anche globalmente lipschitziano: lo `e in y + 2t < 0 essendo costante. Sia ora y + 2t≥ 0. Osserviamo che ˜f (t, y) = f (t, y) = g(y + 2t) dove g : [0, +∞[→ R `e definita da g(z) = (z−1)z+12−3 = z− 3 + 1 z+1. Essendo g0(z) = 1−(z+1)1 2 si ha ∂yf (t, y)˜ = g0(y + 2t) = 1− 1 (y + 2t + 1)2 ≤ 1 per y + 2t ≥ 0, da cui segue che
˜f (t, y2)− ˜f (t, y1)
≤ |y2− y1|
per ogni (t, y1), (t, y2) con y1, y2 ≥ −2t. Di conseguenza ˜f `e globalmente
lipschitziano rispetto alla variabile y nella chiusura di Ω0. Da ci`o discende
anche la globale lipschitzianit`a, sempre rispetto alla variabile y, su tutto R × R. Infatti se y1<−2t < y2, essendo ˜f (t, y1) = ˜f (t,−2t) = −2 si ha ˜f (t, y2)− ˜f (t, y1) = ˜f (t, y2)− ˜f (t,−2t) ≤ |y2− (−2t)| ≤ |y2− y1|, da cui la globale lipschitzianit`a rispetto alla seconda variabile in R × R. Essendo ˜f definita in R × R si possono applicare i criteri di sublinearit`a oppure di globale lipschitzianit`a per cui le soluzioni massimali dell’equazione differenziale y0 = ˜f (t, y) sono globalmente definite in R. Si osservi che la funzione y = ¯y(t) `e soluzione anche di questa equazione. Se ora (t0, y0)∈ Ω0,
detta ˜y(t) la soluzione del problema di Cauchy relativo a y0 = ˜f (t, y) con dati iniziali y(t0) = y0, per l’unicit`a delle soluzioni dovr`a essere ˜y(t)≥ ¯y(t) per
ogni t, cio`e (t, ˜y(t))∈ Ω0 per ogni t. Su questo insieme si ha ˜f = f dunque
˜
y `e anche (la) soluzione di y0 = f (t, y) con y(t0) = y0 e risulta pertanto
88 CAPITOLO 4. ALCUNI CRITERI DI ESISTENZA GLOBALE
Esercizio 4.20 Data l’equazione differenziale y0 =p|y + t| a) studiare l’esistenza locale e globale delle soluzioni;
b) studiare l’unicit`a locale; in particolare determinare tutti e soli i dati iniziali (t0, y0) per i quali `e possibile applicare il Teorema di Cauchy-
Lipschitz;
c) dimostrare che il problema di Cauchy con dati iniziali y(0) = 0 ammet- te un’unica soluzione y(t) globalmente definita; trovare una formula chiusa per tale soluzione.
Soluzione. a) Il campo vettoriale f (t, y) =p|y + t| `e definito e continuo in tuttoR2 ma `e di classe C∞solamente inR2\ {y + t = 0}. Per il Teorema di Peano ogni problema di Cauchy ammette almeno una soluzione locale. Il campo vettoriale non `e globalmente lipschitziano (nemmeno lipschitziano, si veda il punto b)) ma `e sublineare, dunque per il Teorema 4.12 ogni soluzione `e globalmente definita in R. Infatti, se |y| ≤ 1 si ha
|f(t, y)| ≤p|y| + |t| ≤ p1 + |t|,
mentre, osservando che√a + b≤√a +√b per ogni a, b ≥ 0, se |y| ≥ 1 per cuip|y| ≤ |y|, si ha
|f(t, y)| ≤p|y| + |t| ≤ p|y| + p|t| ≤ |y| + p1 + |t|,
e in definitiva, per ogni y, t ∈ R vale |f(t, y)| ≤ |y| +p1 + |t|, cio`e f `e sublineare rispetto a y (in realt`a anche rispetto a t).
b) Si pu`o sicuramente applicare il Teorema di Cauchy-Lipschitz a tutti i problemi di Cauchy con dati (t0, y0) tali che y0+ t06= 0, in un intorno dei
quali f `e lipschitziana. Se y0+ t0= 0 il campo vettoriale non `e lipschitziano,
dunque il teorema non pu`o essere applicato. Infatti, se y0+ t0 = 0 si ha
lim y→y0 ∂f ∂y(t0, y) =ylim →−t0 sgn(y + t0) 2p|y + t0| = +∞,
dunque la funzione f non pu`o essere lipschitziana in un intorno di (t0, y0).
c) Operando la sostituzione z(t) = y(t) + t si ottiene l’equazione equiva- lente per z(t) della forma z0(t) = y0(t) + 1 =p|y(t) + t| + 1 = p|z(t)| + 1 cio`e z0 = p|z| + 1 (si veda anche il metodo di risoluzione per le equazio- ni della forma (8.15) nel Capitolo 8). Tale equazione ha campo vettoriale g(z) =p|z|+1 autonomo e non localmente lipschitziano. Tuttavia g(z) > 0, nota condizione che garantisce che tale equazione, dunque anche quella in
ESEMPI ED ESERCIZI 89
oggetto essendo a questa equivalente, ha unicit`a delle soluzioni per tutti i problemi di Cauchy (si veda ii) della Proposizione 8.1). In particolare ci`o `e vero per quello con dati iniziali z(0) = 0, corrispondente al problema y0 = p|y + t| con dati y(0) = 0, da cui l’unicit`a di y(t). Inoltre y(t) `e globalmente definita per il punto a). La formula richiesta si ottiene per se- parazione delle variabili. Poich´e tutte le soluzioni di entrambe le equazioni sono crescenti, essendo z(0) = 0 si avr`a z(t) > 0 per t > 0 (e z(t) < 0 per t < 0); per tali t e utilizzando la sostituzione w = x2 (con x ≥ 0) per cui dw = 2x dx, si avr`a Z z(t) z(0) 1 √ w + 1dw = Z t 0 ds ⇐⇒ Z √z(t) 0 2x x + 1dx = t. Essendo Z v 2x x + 1dx = 2v− 2 ln(1 + v), si ottiene infine 2pz(t) − 2 ln 1 + pz(t) = t.
Se t < 0, dunque z(t) < 0, ponendo−w = x2 si ottiene analogamente
2p−z(t) − 2 ln 1 + p−z(t) = −t. -2,4 -2 -1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 -1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0,4 0,8 1,2 1,6 t y
Figura 4.2: Soluzione del problema di Cauchy y0=p|y + t|, y(0) = 0 In definitiva, tornando a y(t) si ottiene
(4.2)
2py(t) + t − 2 ln 1 + py(t) + t − t = 0 se t, y(t)≥ 0 2p−y(t) − t − 2 ln 1 + p−y(t) − t + t = 0 se t, y(t) < 0, che fornisce una formula chiusa (implicita) della soluzione cercata, rappre- sentata in blu in Figura 4.2 L’analisi della soluzione y(t) proseguir`a negli Esercizi 6.21 e 13.1.
90 CAPITOLO 4. ALCUNI CRITERI DI ESISTENZA GLOBALE
Esercizio 4.21 Data l’equazione differenziale y0 = y
2− 1
|ty| + 1,
a) studiare l’esistenza e unicit`a locale delle soluzioni;
b) dimostrare che il campo vettoriale non `e globalmente lipschitziano n´e sublineare sul dominio;
c) individuare gli equilibri e le sottoregioni del piano dove le soluzioni sono crescenti/decrescenti. Esistono orbite limitate non banali? d) Supposto che y(t) sia soluzione, dire quale eventualmente tra z(t) :=
y(−t) e w(t) := −y(−t) `e ancora soluzione dell’equazione;
e) dimostrare che le soluzioni dei problemi di Cauchy con dati iniziali y(t0) = y0 con t0 > 0 sono globalmente definite in futuro, mentre
quelle con t0 < 0 sono globalmente definite in passato;
f) provare che le soluzioni y(t) dei problemi di Cauchy con dati iniziali y(0) = y0 sono globalmente definite in futuro e passato.
(L’analisi dell’equazione continuer`a nell’Esercizio 13.4.)
Esercizio 4.22 Sia f : J× Rn → Rn globalmente L-lipschitziana rispetto
alle variabili y, con J = [a, b] intervallo compatto. Utilizzare la norma pesata di Bielecki e argomenti di punto fisso per dimostrare che tutte le soluzioni dell’equazione y0 = f (t, y) sono globalmente definite in J. Si pu`o applicare/adattare questa idea se J = ]a, b[ `e limitato ma non `e chiuso? E se non `e nemmeno limitato?
Esercizio 4.23 Siano f : J× Rn→ Rne L : J → R+ continue, tali che
kf(t, y1)− f(t, y2)k ≤ L(t)ky1− y2k,
per ogni t∈ J, y1, y2 ∈ Rn. Nel caso J = [a, b] intervallo compatto, ispirati
dall’idea di Bielecki, trovare un’opportuna norma equivalente alle norma infinito nella quale l’operatore integrale di Volterra sia una contrazione, e utilizzarla per dimostrare l’esistenza globale delle soluzioni di y0 = f (t, y). In seguito, ricondurre al precedente i casi J = ]a, b[, J = [a, +∞[ oppure J = ]a, +∞[. Quali ipotesi si possono fare su L(t) e f(t, y) affinch´e sia possibile applicare l’idea di Bielecki direttamente al caso J = ]a, b[ senza riportarsi al caso J = [a, b]?
ESEMPI ED ESERCIZI 91
Esercizio 4.24 Sia f : J × Rn → Rn globalmente L-lipschitziana, con J
intervallo. Adattare il metodo di Lindel¨of-Picard degli approfondimenti del Capitolo 2 per dimostrare che la serie a secondo membro di (2.17) converge uniformemente in ogni sottointervallo compatto di J. Riottenere la tesi del Teorema 4.13 cio`e che ogni soluzione massimale di y0 = f (t, y) `e globalmente definita in J.
Esercizio 4.25 Sia data f : J× R → R continua in J = ]a, b[, tale che |f(t, y)| ≤ `(t) |y ln |y|| + m(t),
con `, m : J → R+ funzioni continue (e dove la funzione y → y ln |y| si pensa estesa per continuit`a in y = 0). Dimostrare che le soluzioni massimali dell’equazione y0 = f (t, y) sono globalmente definite in futuro e passato. (Suggerimento: utilizzare convenientemente il criterio di limitatezza oppure il Teorema del confronto 6.3.)