3. Modellistica per la Gestione Ottimale dell’Energia Elettrica nelle Reti
3.6. Dispacciamento economico per una SG funzionante in parallelo alla rete, in
vincoli sulle potenze di generazione
La SG si ritiene funzionante in parallelo alla rete; la richiesta energetica dei carichi si suppone anelastica e fissata ad un valore pari a . La funzione obiettivo (4) diventa minimizzazione può essere formulato come di seguito:
( )
sottoposto a ∑
(29)
Anche in questo caso l’unico vincolo che appare nel problema di minimizzazione è un vincolo di uguaglianza; la funzione Lagrangiana è del tipo:
( ) ∑ ( )
sono la soluzione del problema di minimizzazione vincolato (19). Esplicitando la (31), risulta:
Si noti che in questa configurazione il valore ottimale del moltiplicatore di Lagrange è automaticamente determinato (si guardi la terza equazione nel sistema (32)), ed è proprio uguale alla tariffa oraria di acquisto dell’energia dalla rete .
3.6.1. Esempio 6.2
Si consideri una SG funzionante in parallelo alla rete, in cui sono in linea due unità di generazione i cui parametri sono riportati in Tab. I. Si supponga la potenza richiesta dai carichi fissata ad un valore pari a MW. Inoltre, per il dato intervallo di tempo, la tariffa oraria di acquisto di potenza dalla rete è pari a €/MWh. Si supponga di non avere vincoli sulle potenze minime né su quelle massime che possono essere immesse sulla SG né da parte delle unità di generazione né al PCC. Si calcolino i valori ottimali delle potenze prodotte dalle unità di generazione e della potenza acquistata dalla rete nell’ottica della minimizzazione dei costi di approvvigionamento.
La soluzione al problema è immediatamente ricavabile aggiungendo un nodo di generazione fittizio corrispondente al PCC, in cui evidentemente ( ) ,
( ) e ( ) , ed applicando lo stesso procedimento dell’Esempio 5.1.
La Tab. III riporta quindi i valori aggiornati dei parametri delle unità di generazione, compresa quella fittizia.
Tab. III. Parametri delle unità di generazione Unità
(€/h) (€/MWh) [€/(MW) 2h]
1 100 20 0.05
2 200 21 0.10
3(PCC) 0 25 0
Sotto tali premesse si ottengono i risultati riportati in Tab. IV.
Tab. IV. Soluzioni del problema di dispacciamento economico (MW) ripartire una considerevole parte della potenza richiesta dai carichi al PCC tramite un acquisto in rete, a causa della conveniente tariffa. Infatti il costo totale per l’approvvigionamento energetico risulta inferiore di circa 4000 €. Si noti inoltre che, come previsto, il valore del costo marginale di produzione è proprio pari alla tariffa
.
3.7. Dispacciamento economico per una SG funzionante in parallelo alla rete, in assenza di perdite, con domanda anelastica e con vincoli sulle potenze di generazione e sulla potenza contrattuale
Gli esempi finora qui riportati hanno valenza puramente didattica, in quanto sono soluzioni di problemi non reali. La potenza prodotta dalle unità di generazione, infatti, non può essere inferiore ad un certo valore di soglia tecnica, né essere superiore alle taglie delle stesse; inoltre, esistono vincoli contrattuali e fisici sulla potenza prelevata al PCC. In questa configurazione, la SG si ritiene ancora funzionante in parallelo alla rete
e la richiesta energetica dei carichi si suppone sempre anelastica e fissata ad un valore pari a . Sotto tali premesse, la funzione obiettivo ha la stessa forma della (28) ma stavolta, introducendo vincoli sulle potenze di generazione, il problema di minimizzazione deve essere formulato come di seguito:
( ) bilaterale. In questo caso, la funzione lagrangiana associata al problema diventa:
( ) ∑ ( ) associati ai vincoli sul valore minimo e massimo di potenza prelevata dalla rete al PCC.
Le condizioni necessarie del primo ordine (prima eq. delle (11)) diventano:
{
delle (11), dette anche complementarity slackness conditions) sui moltiplicatori relativi alle potenze di generazione:
e sui moltiplicatori relativi alla :
Avendo imposto limiti alle potenze prodotte, ed identificando sempre le funzioni
( ) come i costi marginali di produzione, la condizione di costi marginali uguali per ciascuna unità di produzione evidenziata in precedenza non sarà più valida, ma sarà sostituita dal criterio seguente, derivato dalla necessità di soddisfare le dimostrato in maniera simile al caso in cui non ci sono limiti.
Le condizioni espresse dalle equazioni (38) possono essere interpretate nel seguente modo. Le unità che operano all'interno dei loro limiti massimi e minimi funzionano con costi marginali uguali tra loro e pari a . Le unità che operano alla loro massima potenza hanno costi marginali minori o uguali a , dal momento che , mentre le unità che operano alla loro potenza minima hanno costi marginali maggiori o uguali a , dal momento che .
La soluzione del problema così posto si può ricavare in maniera iterativa andando a soddisfare le condizioni di KKT; ovviamente, all’aumentare della dimensione del problema, il calcolo diventa sempre più lungo ed oneroso. Pertanto l’uso di software di ottimizzazione avvantaggia notevolmente il solutore.
3.7.1. Esempio 7.1
Si consideri una SG funzionante in parallelo alla rete, in cui sono in linea due unità di generazione, i cui parametri sono riportati in Tab. V. La richiesta energetica per acquistata dalla rete nell’ottica della minimizzazione dei costi di approvvigionamento.
In questo caso chiaramente . Sotto tali premesse si ottengono i risultati riportati in Tab. VI.
Dal confronto tra i valori in Tab. VI e in Tab. IV si evidenzia che il costo totale è aumentato rispetto al caso precedente (Esempio 6.1), in quanto un vincolo di
disuguaglianza (in particolare, il limite superiore sulla ) ha forzato la soluzione ad un valore differente. Questo si evince anche dal valore di costo marginale ( ), che risulta ridotto rispetto al .
Tab. V. Parametri delle unità di generazione Unità
(€/h) (€/MWh) [€/(MW) 2h]
(MW)
1 100 20 0.05 80
2 200 21 0.10 60
Tab. VI. Soluzioni del problema di dispacciamento economico (MW)
Si consideri una SG funzionante in parallelo alla rete, in cui sono in linea due unità di generazione, i cui parametri sono riportati in Tab. V. La richiesta energetica per l’ora considerata è anelastica ed è pari a MW; inoltre, per il dato intervallo di tempo, la tariffa oraria di acquisto o vendita di potenza dalla rete di distribuzione è pari a €/MWh. Si supponga stavolta che sia consentita l’immissione di potenza sulla rete di distribuzione al PCC, con un limite contrattuale di 150 MW in immissione o in prelievo. Si calcolino i valori ottimali delle potenze prodotte dalle unità di generazione e della potenza acquistata o ceduta alla rete di distribuzione nell’ottica della minimizzazione dei costi di approvvigionamento.
In questo caso chiaramente MW e MW. Sotto tali premesse si ottengono i risultati riportati in Tab. VII.
Tab. VII. Soluzioni del problema di dispacciamento economico (MW) conveniente produrre più potenza tramite le due unità di generazione rispetto a quanta richiesta dai carichi, vendendo il surplus di potenza al PCC.