Effetti del secondo ordine

Gli effetti del second’ordine giocano un ruolo molto importante nella progettazione delle strutture intelaiate a causa della loro elevata flessibilità. L’Eurocodice 8 parte 1 al §4.4.2.2 specifica che non è necessario tenere in conto gli effetti del secondo ordine (chiamati anche effetti 𝑃 − Δ ) se la seguente condizione è soddisfatta in ogni piano [ 1 ]:

𝜃 =𝑃_𝑉𝑡𝑜𝑡⋅ 𝑑𝑟

𝑡𝑜𝑡⋅ ℎ ≤ 0.10 ( 3.1)

dove:

𝜃 È il coefficiente di sensibilità rispetto al movimento relativo tra i piani;

𝑃𝑡𝑜𝑡 È il carico gravitazionale totale al livello e sopra il piano considerato nella situazione sismica di progetto;

𝑑𝑟 È il valore di progetto del movimento relativo tra i piani, valutato come differenza degli spostamenti laterali medi 𝑑_𝑠 in sommità e alla base del piano che si sta considerando e calcolato in accordo al punto 4.3.4 dell’EC8 parte 1;

𝑉𝑡𝑜t È l’azione di taglio totale di un piano;

ℎ È la distanza tra due impalcati.

Le norme specificano che se 0.1 < 𝜃 ≤ 0.2, gli effetti del second’ordine possono essere tenuti in conto in via approssimata moltiplicando i relativi effetti dell’azione sismica di un coefficiente pari a: 1 (1 − 𝜃)⁄ . Il valore del coefficiente di sensibilità non può comunque superare il valore di 0.3.

Nella presente tesi, essendo le strutture inteliate particolarmente soggette a tali effetti, abbiamo usato il fattore 𝜃 come un parametro di progetto, nel senso che più ci avviciniamo con 𝜃 al limite superiore di 0.2 e più otteniamo una struttura di peso ridotto. Ovviamente abbiamo amplificato poi l’azione sismica tramite il fattore 1 (1 − 𝜃)⁄ .

EFFETTI DEL SECONDO ORDINE – TELAI A 4 PIANI

Per una più chiara comprensione dei risultati, riportiamo gli effetti del secondo ordine in forma grafica, dove, per ogni azione sismica considerata nella progettazione (bassa, media e alta), mettiamo in ascissa coefficiente di sensibilità 𝜃 ed in ordinata i piani di ciascuna struttura.

Figura 3.8: Coefficiente di sensibilità 𝜃 Telai 4S ag = 0.1g

Figura 3.9: Coefficiente di sensibilità 𝜃 Telai 4S ag = 0.2g

livello di azione sismica considerato. I coefficienti di sensibilità, tuttavia, decrescono all’aumentare dell’azione sismica, questo è dovuto, come si può vedere in Tabella 3.28, al fatto che diventa predominante la verifica al danneggiamento, che porta ad un conseguente irrigidimento della struttura. Dai grafici infine, si evince, che gli effetti del secondo ordine risultano importanti in corrispondenza del secondo livello di ciascun telaio. In Tabella 3.16 riportiamo, i valori dei coefficienti sensibilità, impiegati per fare i grafici.

Tabella 3.16: Coefficiente di sensibilità 𝜃 per i telai a 4 piani

EFFETTI DEL SECONDO ORDINE - TELAI A 8 PIANI

Per i telai di 8 piani progettati in bassa sismicità (𝑎_𝑔 = 0.1 ⋅ 𝑔) non si riscontrano particolari differenze negli effetti del secondo ordine tra i vari fattori di struttura impiegati (vedi Figura 3.11).In questo caso, l’azione sismica di progetto è molto bassa e la, progettazione è fortemente influenzata dalla verifica del 𝜃. Per tale motivo, oltre ai carichi verticali, si è cercato di avvicinarsi il più possibile al limite superiore ammesso che è 0.2, ottenendo così una struttura più economica a livello di peso. Il fattore di sensibilità condiziona la progettazione in altezza nei piani intermedi della struttura, principalmente dal secondo al quinto livello.

COEFFICIENTE DI SENSIBLITÀ - TELAI A 4 PIANI

LEVEL ag = 0,10g ag = 0,20g ag = 0,30g q = 2 q = 4 q = 6 q = 2 q = 4 q = 6 q = 2 q = 4 q = 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,074 0,148 0,108 0,055 0,110 0,142 0,027 0,054 0,081 2 0,093 0,186 0,144 0,069 0,138 0,187 0,036 0,071 0,107 3 0,063 0,125 0,118 0,052 0,105 0,150 0,029 0,057 0,086 4 0,029 0,058 0,074 0,028 0,055 0,081 0,017 0,034 0,051

Figura 3.11: Coefficiente di sensibilità 𝜃 Telai 8S ag = 0.1g

Per le strutture di 8 piani progettate in media sismicità (𝑎_𝑔 = 0.2 ⋅ 𝑔) progettate con bassi valori del fattore di struttura (𝑞 = 2) la progettazione è condizionata dalla verifica allo stato limite di esercizio, per cui il fattore di sensibilità non è condizionante (vedi Figura 3.12). Quando adottiamo fattori di struttura più elevati (𝑞 = 2 & 4) risulta difficile contenere gli effetti del secondo ordine, questo ci ha portato, per rispettare il 𝜃, ad un irrigidimento della struttura, con conseguente incremento del peso. Irrigidendo per entrambi i telai progettati con fattore di struttura 4 e 6, le verifiche che condizionano la progettazione risultano in egual misura, sia gli effetti del secondo ordine che la verifica del drift di piano allo stato limite di esercizio.

Figura 3.12: Coefficiente di sensibilità 𝜃 Telai 8S ag = 0.2g

Infine, per i telai di 8 piani progettati in alta sismicità (𝑎𝑔 = 0.3 ⋅ 𝑔), il coefficiente di sensibilità diventa importante all’aumentare del fattore di struttura impiegato, tuttavia non è mai la verifica condizionante, in quanto, la progettazione viene comandata sempre dalla verifica del

drift di piano allo stato limite di esercizio (vedi Tabella 3.29).

Figura 3.13: Coefficiente di sensibilità 𝜃 Telai 8S ag = 0.3g

Riportiamo nella tabella sottostante, i valori numerici del fattore di sensibilità 𝜃 per tutti i telai di 8 piani. Come si può notare, come per i telai di 4 piani, il fattore di sensibilità massimo

si concentra in corrispondenza del secondo livello, tende, tuttavia a rimanere elevato fino al sesto livello.

Tabella 3.17: Coefficiente di sensibilità 𝜃 per i telai a 8 piani

EFFETTI DEL SECONDO ORDINE - TELAI A 12 PIANI

Infine esponiamo gli effetti del secondo ordine per i telai di 12 piani. I telai da 12 piani sono stati progettati solo per due fattori di struttura 2 e 4, in quanto con 𝑞 = 6 risultava quasi impossibile far verificare la struttura, con i profili standard impiegati (serie IPE, HEA, HEB, HEM). È risultato impossibile trovare un profilo HEM, che fosse più resistente dell’HEM650, in classe 1 e che soddisfacesse le verifiche a presso flessione delle colonne ai primi livelli.

Per questi telai, la verifica degli effetti del secondo ordine gioca un ruolo importante, essa risulta sempre condizionante, sia in bassa, media e alta sismicità. Cosa interessante da notare risulta invece l’estensione in altezza di questa condizione, come si evince dalla Figura 3.14, in bassa sismicità riusciamo a spingerci con 𝜃 verso il suo limite superiore per un maggior numeri di piani della struttura. Questa estensione in altezza di influenza degli effetti del secondo ordine si riduce all’aumentare dell’azione sismica, vedi Figura 3.14 e Figura 3.15. Questo fatto è collegato, come si vedrà in seguiti a molteplici fattori che condizionano i livelli medi della struttura, quali, verifica del drift di interpiano allo SLE e verifica di resistenza a flessione delle travi. Principalmente all’aumentare dell’azione sismica, per le strutture progettate con 𝑞 = 2 la resistenza a flessione condiziona le travi ai piani medi in ugual misura agli effetti del secondo ordine. Passando poi alle strutture con 𝑞 = 4 risulta difficile rispettare 𝜃, questo ci porta ad irrigidire la struttura che allo stesso tempo porta ad incrementare ulteriormente l’azione sismica con la conseguenza che anche le verifiche del drift risultano condizionanti (vedi Tabella 3.30).

COEFFICIENTE DI SENSIBLITÀ - TELAI A 8 PIANI

LEVEL ag = 0,10g ag = 0,20g ag = 0,30g q = 2 q = 4 q = 6 q = 2 q = 4 q = 6 q = 2 q = 4 q = 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,102 0,104 0,114 0,083 0,128 0,104 0,043 0,094 0,113 2 0,179 0,169 0,176 0,129 0,190 0,166 0,067 0,144 0,171 3 0,182 0,180 0,190 0,131 0,179 0,182 0,068 0,138 0,165 4 0,167 0,186 0,190 0,122 0,165 0,189 0,061 0,126 0,159 5 0,125 0,172 0,159 0,102 0,142 0,162 0,051 0,110 0,161 6 0,086 0,146 0,167 0,079 0,120 0,146 0,046 0,090 0,136 7 0,053 0,109 0,133 0,055 0,104 0,138 0,033 0,070 0,107 8 0,022 0,048 0,073 0,024 0,050 0,072 0,019 0,039 0,060

Figura 3.14: Coefficiente di sensibilità 𝜃 Telai 12S ag = 0.1g

Figura 3.16: Coefficiente di sensibilità 𝜃 Telai 12S ag = 0.3g

In Tabella 3.18 sono raccolti i valori numerici di tutti i coefficienti di sensibilità, per tutti i telai di 12 piani.

Tabella 3.18: Coefficiente di sensibilità 𝜃 per i Telai a 12 piani

COEFFICIENTE DI SENSIBLITÀ - TELAI A 12 PIANI

LEVEL ag = 0,10g ag = 0,20g ag = 0,30g q = 2 q = 4 q = 2 q = 4 q = 2 q = 4 0 0 0 0 0 0 0 1 0,091 0,105 0,079 0,089 0,079 0,090 2 0,161 0,173 0,158 0,155 0,159 0,156 3 0,173 0,179 0,186 0,167 0,187 0,168 4 0,167 0,185 0,188 0,175 0,189 0,175 5 0,151 0,179 0,174 0,176 0,174 0,171 6 0,149 0,167 0,158 0,179 0,159 0,160 7 0,156 0,161 0,143 0,183 0,142 0,149 8 0,132 0,141 0,117 0,165 0,117 0,125 9 0,102 0,141 0,089 0,151 0,089 0,103 10 0,078 0,168 0,062 0,133 0,061 0,083 11 0,044 0,109 0,035 0,087 0,035 0,053 12 0,019 0,050 0,017 0,047 0,018 0,031