Empirical CDF

Per vedere il problema anche da un punto di vista statistico, si riportano di seguito le funzioni di ripartizione empirica cumulative (ECDF Empirical Cumulative Distribution

Function) del drift di piano, per entrambe le strutture, in corrispondenza dal fattore di scala

relativo allo stato limite di danno (𝑆. 𝐹 . 8 → 𝑆𝐹 = 0.278) e in quello relativo allo stato limite di salvaguardia della vita (𝑆. 𝐹. 4 → 𝑆𝐹 = 0.583).

In statistica, una funzione di distribuzione empirica è la funzione di distribuzione associata alla misura empirica di un campione. Questa funzione di distribuzione cumulativa è una funzione di passo che salta di 1/𝑛 in ciascuno dei 𝑛 dati. Il suo valore a qualsiasi valore specificato della variabile misurata è la funzione delle osservazioni della variabile misurata che sono minori o uguali al valore specificato, essa calcola la funzione di distribuzione cumulativa dei punti di un campione e converge con la probabilità 1 secondo il teorema di Glivenko-Cantelli.

Riportiamo di seguito le curve ECDF relative al drift massimo primo livello. In Figura 5.19 si può notare come il drift limite allo SLD del 0.5% sia rispettato per il 100% dei dati. Nella stessa figura si può notare che sia allo SLV e allo SLD la struttura più performante è la struttura B in quanto le curve stanno alla sinistra delle curve relative alla struttura A.

Figura 5.19: Empirical CDF del drift di piano massimo relativo al Livello 1 per le due struttture, per S.F. 8 e 4.

In Figura 5.20 sono riportate invece le curve ECDF del drift massimo in corrispondenza del sesto livello. In tale figura si può notare che il drift limite allo SLD, per la struttura A è rispettato soltanto nel 40% dei casi. Mentre nella struttura B tale limite viene rispettato per l’80% dei casi. La stessa cosa succede in corrispondenza del quarto fattore di scala, dove la curva relativa alla struttura B sta sempre alla sinistra di quella relativa alla struttura A.

In Figura 5.21 sono riportate invece le curve ECDF del drift massimo in corrispondenza dell’ultimo livello. In questo caso le curve della struttura A stanno alla sinistra di quelle della struttura B, ma in questo caso non abbiamo problemi di drift.

Figura 5.20: Empirical CDF del drift di piano massimo relativo al Livello 6 per le due struttture, per S.F. 8 e 4.

Figura 5.21: Empirical CDF del drift di piano massimo relativo al Livello 12 per le due struttture, per S.F. 8 e 4.

Per concludere si può dire che in generale dal punto di vista statistico la struttura B è più performante della struttura A per la maggior parte dei piani.

CONCLUSIONI

Il presente lavoro ha avuto come obiettivo la valutazione dell’influenza del fattore di struttura nelle strutture intelaiate in acciaio. La prima parte del lavoro è stata finalizzata alla progettazione sismica di diversi telai piani secondo le prescrizioni delle vigenti normative per edifici in zona sismica (CEN 2004a, D.M. 14/01/08) basate sulla rigorosa applicazione dei principi del capacity design. I telai sono stati progettati considerando 3 diverse intensità dell’azione sismica, bassa sismicità (𝑎𝑔= 0.1𝑔), moderata sismicità (𝑎𝑔= 0.2𝑔) ed elevata sismicità (𝑎_𝑔= 0.3𝑔) adottando nella progettazione diversi fattori di struttura. La progettazione dei vari telai è stata eseguita usando il “criterio economico”, cioè quello di rendere la struttura la più leggera possibile sempre rispettando tutte le verifiche prescritte.

Dalla progettazione dei vari telai è emerso quanto segue:

Per i telai a quattro piani, progettati in bassa sismicità, con fattore di struttura

𝑞 = 2, la progettazione viene comandata dai carichi verticali. La stessa struttura

soddisfa le verifiche anche se progettata con un fattore di struttura più alto (𝑞 =

4), ma in questo caso la verifica più gravosa risulta essere la limitazione del

fattore di sensibilità 𝜃. Se si adottasse un fattore di struttura q = 6 la struttura dovrebbe essere irrigidita incrementando così il peso della struttura. In conclusione, per le strutture a quattro piani situate in zone a bassa sismicità, la progettazione è comandata dai carichi verticali per cui non c’è convenienza economica nell’incrementare il fattore di struttura in quanto si otterrebbe solo un incremento del peso;

Per i telai a quattro piani, progettati in media sismicità (𝑎_𝑔= 0.2 ⋅ 𝑔 ), la progettazione viene comandata per i primi due fattori di struttura (2 e 4) dalla verifica di stabilità presso-flesso-torsionale delle colonne e dal limite di deformabilità allo stato limite di danno. Invece per la struttura progettata con

𝑞 = 6, la verifica più gravosa è dettata dal coefficiente di sensibilità 𝜃;

Per i telai a quattro piani, progettati in alta sismicità, la verifica più restrittiva risulta essere la limitazione della deformabilità allo stato limite di danno. Per cui la stessa struttura risulta essere verificata sia se progettata con q =2, 4 o 6;

Per le strutture di 8 piani emerge che, in bassa sismicità, la progettazione è ancora strettamente dipendente dal coefficiente di sensibilità 𝜃 . Tale condizionamento è percepibile già per bassi valori del fattore di struttura, di conseguenza, l’incremento del fattore di struttura richiede un irrigidimento della stessa provocando un aumento di peso. In media sismicità, a condizionare la

progettazione per bassi valori del fattore di struttura sono le verifiche di deformabilità allo stato limite di danno, quando si incrementa il fattore di struttura, da 2 a 4 e poi a 6, diventano importanti gli effetti del second’ordine che portano a dover aumentare la rigidezza della struttura.

Per le strutture di 8 piani progettate invece in alta sismicità, con bassi fattori di struttura la progettazione è condizionata in primo luogo dalla deformabilità allo stato limite di danno. Aumentando il fattore di struttura entrano in gioco gli effetti del second’ordine e un conseguente irrigidimento della struttura. La cosa interessante che si può notare, è che, nonostante si irrigidisca la struttura per la limitazione del coefficiente di sensibilità, la verifica condizionante continua a rimanere limitazione del drift di piano allo SLE. Questo succede perché irrigidendo, si abbassa il periodo fondamentale 𝑇1 della struttura, ma comunque esso rimane più grande di 𝑇𝐶 tendendo a richiamare più azione sismica; Per i telai da 12 piani, in bassa e media sismicità, a comandare la progettazione è il fattore di sensibilità 𝜃. In alta sisimicità (𝑎_𝑔= 0.3 ⋅ 𝑔) per il telaio progettato con 𝑞 = 2 , sono condizionanti, quasi in equal misura, il coefficiente di sensibilità, il drift di piano allo SLE, le verifiche di stabilità presso-flesso- torsionale delle colonne e le verifiche di resistenza simiche a flessione delle travi. Per la struttura progettata con 𝑞 = 4 a condizionare principalmente le verifiche di sicurezza è il fattore di sensibilità 𝜃.

Dalle considerazioni sopra elencate, quello che emerge è che, nella maggior parte dei telai studiati, non c’è mai convenienza a progettare con valori elevati del fattore di struttura 𝑞. Questo principalmente perché, aumentando il fattore di struttura siamo costretti a limitare gli effetti del second’ordine, tramite il controllo del coefficiente di sensibilità 𝜃. Questo porta sempre ad un incremento delle sezioni delle membrature e quindi all’aumento del peso complessivo della struttura.

Nel capitolo IV è stata effettuata l’analisi di vulnerabilità sismica dei vari telai mediante analisi statica non lineare effettuata per mezzo del metodo N2. Per fare questo le strutture sono state modellate mediante il programma agli elementi finiti OpenSees, grazie al quale è stato possibile tenere in considerazione le non linearità di tipo geometrico e quelle dovute al materiale (per le colonne, è stata utilizzata una suddivisione in fibre ed assegnato un legame tensione- deformazione non lineare ad ogni fibra in modo da tenere in conto anche l’influenza dello sforzo normale, mentre per le travi, è stato definito un legame momento-curvatura non lineare, dove non abbiamo considerato l’influenza dello sforzo normale data la presenza dei solaio rigidi).

Attraverso le analisi pushover è stato possibile controllare la sequenza delle formazioni delle cerniere plastiche verificando l’effettivo meccanismo a plasticità diffusa previsto dal

capacity design nella maggior parte dei casi. Nei telai di 8 e 12 piani, progettati con fattore di

struttura q = 2, la pushover termina prima, in quanto si arriva alla rotazione ultima di una delle sezioni della trave, senza permettere la diffusione completa delle cerniere plastiche.

Una volta ottenute le curve di capacità dei vari telai, abbiamo calcolato il fattore di struttura effettivo delle strutture, dove si è constatato che per i telai di 4 piani, all’aumentare del fattore di struttura di progetto non corrisponde un incremento effettivo della duttilità strutturale, quindi per questi telai non è importante prendere un 𝑞 di progetto elevato dato che la duttilità effettiva della struttura rimane invariata. Per i telai di 8 e 12 piani invece, all’aumentare del fattore di struttura di progetto, corrisponde poi effettivamente un incremento della duttilità della struttura. Tuttavia per il telaio da 8 piani, progettato con 𝑞 = 6, il fattore di struttura offerto risulta minore di tale valore (𝑞 = 5.43).

Con i risultati delle analisi non lineari, si è indagata la relazione che c’è tra la duttilità della struttura in spostamento 𝜇_𝑑 e la riduzione della richiesta di duttilità a livello sezionale. In particolare, come varia la duttilità della struttura in spostamento al diminuire della rotazione ultima richiesta. Questo ha fatto emergere una relazione circa lineare tra duttilità in spostamento e variazione della rotazione ultima richiesta. La pendenza di tale retta, incrementa, all’incremento del fattore di struttura utilizzato in fase di progettazione.

Tramite il metodo N2 si è calcolato il punto di prestazione dei vari telai, il quale è l’indice di prestazione sismica manifestata dalla struttura in corrispondenza del livello sismico considerato. Da tali analisi è emerso che le strutture rimangono sostanzialmente in campo elastico, e per il livello sismico di progetto difficilmente superano la fase elastica. Questo è dovuto al fatto che il periodo fondamentale di tali strutture è di molto superiore a 𝑇_𝐶.

Infine sempre nel capitolo IV si è controllato il valore del coefficiente di sensibilità 𝜃 delle strutture, il quale deve essere inferiore a 0.3. Tale verifica risulta soddisfatta per tutte le analisi eseguite. Da notare però la mancanza di concordanza, tra il calcolo in fase di verifica tramite analisi pushover e il calcolo eseguito in fase di progettazione. Mentre in fase di progettazione gli effetti del second’ordine aumentavano all’aumentare del fattore di struttura di progetto, in fase di verifica, con i risultati ottenuti dalle pushover, succede l’opposto, il coefficiente di sensibilità 𝜃 diminusce all’aumentare del fattore di struttura di progetto.

Nel capitolo V, data la non applicabilità delle analisi statiche non lineari alle strutture di 12 piani, in quanto il periodo fondamentale, non rispetta il requisito di essere minore di 2.0 secondi, si sono fatte delle valutazioni prestazionali alla struttura progettata con un fattore 𝑞 = 2 (struttura A), tramite analisi dinamiche incrementali (IDA). Inoltre, una volta visto che il

problema principale di tali strutture rimaneva il controllo del drift di interpiano allo stato limite di danno e la limitazione degli effetti del secondo ordine allo stato limite di salvaguardia della vita, si è qui proposto un metodo di progettazione alternativo, non contemplato nelle attuali normative. Tale metodo prevede l’applicazione di due differenti fattori di struttura per la stessa struttura. Sostanzialmente, si è progettata la parte inferiore del telaio con un fattore di struttura unitario, quindi una progettazione in campo elastico, mentre, la parte superiore è stata considerata dissipativa ed è stato applicato un fattore di struttura pari a 2. Nella nuova struttura abbiamo eseguito le stesse verifiche prescritte nell’EC8 parte 1. Una volta progettata la nuova struttura (struttura B), abbiamo fatto un confronto di tipo prestazionale con la struttura A, tramite le analisi IDA. Dai risultati delle analisi IDA, per le due strutture abbiamo costruito le curve IDA relative allo spostamento massimo del tetto e del taglio alla base. Si è potuto notare che la struttura progettata con i due valori di 𝑞 presenta spostamenti massimi al tetto ridotti di circa il 14% rispetto alla strutturaprogettata con 𝑞 = 2. Inoltre il taglio alla base, dovuto all’irrigidimento della struttura, subisce un incremento del 16%. Delle due strutture, poi ci siamo soffermati sul controllo del drift di interpiano. Dalle analisi risulta che in entrambe le strutture il drift si concentra ai piani alti. In generale, la struttura progettata con i due valori di 𝑞 presenta drift più contenuti ai piani medio bassi sia allo stato limite di danno che allo stato limite di salvaguardia della vita.

Infine, per vedere il problema anche da un punto di vista statistico, abbiamo costruito le funzioni di ripartizione empirica cumulative (ECDF) del drift, corrispondente al primo, al sesto ed all’ultimo livello, di entrambe le strutture. Per quanto riguarda il primo livello ed il sesto livello, la struttura progettata con i due valori di 𝑞 risulta più performante, mentre in corrispondenza dell’ultimo livello la struttura più performante rimane qella progettata con 𝑞 =

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