Elaborazione dei risultati mediante MATLAB

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𝛺 997 rpm Velocità di rotazione

dell’albero/anello interno

𝜓 0 deg

Angolo di posizione del difetto sull’anello esterno, riferito alla verticale

𝛼 12.5 deg Angolo di contatto del difetto

(posto sull’anello esterno)

𝐷 2 mm Diametro del difetto

𝐻 0.5 mm Profondità del difetto

𝑡 1.5 s Durata della simulazione

Si evidenzia come tali condizioni coincidano con quelli adottati per il calcolo delle forzanti forniti al termine del capitolo 3.

Figura 4.27, andamento delle accelerazioni simulate dall’analisi FEM per effetto delle forzanti impulsive

È interessante osservare come sia presente un “gap” iniziale all’interno della rappresentazione, legato ai tempi di transitorio che sono stati scartati. Per questo motivo, i risultati vengono presentati solamente a partire da, circa, 0.05s, lasciando uno spazio bianco negli istanti precedenti. Si anticipa, inoltre, la presenza di un problema significativo, ovvero, il fatto che le accelerazioni simulate siano molto grandi, indicativamente, maggiori di due ordini di grandezza rispetto ai casi sperimentali.

Questa è una problematica importante e si rende necessario precisarlo già ora per quanto si andrà ad osservare in Figura 4.28.

Ad ogni modo, come si può notare dall’immagine precedente, i valori di accelerazione espressi in relazione al sono poco rappresentativi in sé e, pertanto, il codice prosegue con l’implementazione dei calcoli utili alla valutazione delle accelerazioni d’interesse nel campo delle frequenze. Quest’ultima,

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è stata valutata, innanzitutto, mediante l’utilizzo delle trasformate di Fourier. Per prima cosa, è stato definito un vettore di frequenze crescenti a passo costante, con valore minimo 0Hz e massimo la metà della frequenza di campionamento. Tali valori saranno utilizzati per la discretizzazione dell’asse delle ascisse nella rappresentazione delle funzioni di risposta in frequenza. Pertanto, per poter disporre di risultati rappresentativi, si rende necessario adottare come passo d’incremento del vettore di frequenze, la frequenza di campionamento del “acceleration probe” stesso, rapportata al numero totale di istanti valutati.

𝛥𝑓 = 𝑓 _,

𝑛 _,

Una volta definito il vettore delle ascisse, è stato valutato il contenuto di quello delle ordinate, mediante l’utilizzo della funzione “fft” (Fast Fourier Transform) presente in MATLAB. Tale funzione riceve in input l’andamento delle accelerazioni e ne restituisce la funzione di risposta in frequenza.

L’analisi dell’ampiezza dello spettro in frequenza viene completata applicando per ogni valore stimato dalla “fft” le seguenti formule correttive.

𝑌 = 𝑓𝑓𝑡(𝑎𝑐𝑐 )

𝑃 = 𝑌

𝑛 _,

Dove 𝑎𝑐𝑐 è il vettore delle accelerazioni simulate, privato dei valori di transitorio, mentre 𝑛 _, rappresenta il numero di campionamenti effettuati, anch’esso ridotto della quota scartata per il transitorio e coincidente, pertanto, con l’estensione totale del vettore precedente. Si definisce, successivamente, una secondo vettore 𝑃 contenente i valori compresi nella sola prima metà di 𝑃 (valutata per eccesso).

Infine, scartando il primo e l’ultimo termine delle colonne del vettore 𝑃 , appena descritto, e raddoppiando l’entità delle variabili rimanenti, si ottiene il vettore di accelerazioni finali d’interesse, rappresentante l’ampiezza delle accelerazioni percepite in funzione del vettore di frequenze crescenti precedentemente definito.

Si riporta di seguito un estratto del codice utilizzato per il calcolo delle ampiezze di accelerazione, per maggiore chiarezza sui passaggi appena descritti (schema di calcolo fornito direttamente dal sito del software MATLAB).

N = lenght(acc_sim);

Y = fft(acc_sim);

P2 = abs(Y/N);

P1 = P2(1:N/2+1);

P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

Acc_sim_FFT = P1;

Conseguentemente, si ottiene il valore dello spettro di risposta in frequenza del vettore di accelerazioni in forma discreta, come evidenziato all’interno della Figura 4.28. Si specifica, peraltro, che l’andamento descritto è stato ottenuto facendo riferimento alla simulazione realizzata con le condizioni di input viste in Tabella 4.2.

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Figura 4.28, andamento dello spettro in frequenza delle accelerazioni simulate dall’analisi FEM per effetto delle forzanti impulsive

La rappresentazione appena fornita è molto interessante, dal momento che, anch’essa, risulta assai differente da quanto visto all’interno delle prove sperimentali. Infatti, oltre a presentare ampiezze molto elevate, come già visto nel caso delle rappresentazioni in funzione del tempo, il sistema ha restituito numerosi picchi di accelerazione a frequenze molto elevate. Questo aspetto è insolito, dal momento che vibrazioni realizzate a tali frequenze dovrebbero, generalmente, dissolversi per effetto degli smorzamenti. Tuttavia, ciò non avviene, come conseguenza delle elevate ampiezze delle accelerazioni sviluppate che si oppongono allo smorzamento anche ad alte frequenze. È altrettanto, presumibile, tuttavia, che lo smorzamento realizzato all’interno delle simulazioni non sia modellato con sufficiente efficacia. Ad ogni modo, si intuisce la necessità di correggere la formulazione delle forzanti ricavate mediante MATLAB, dal momento che queste risultano chiaramente, troppo gravose.

Questa problematica deriva, fondamentalmente, dal fatto che, attraverso l’implementazione della formula descrivente il parametro di rigidezza offerto da Khanam [29], si effettua una sovrastima dei carichi esercitati per effetto della differenza delle geometrie valutate dall’autore e quelle effettivamente presenti nella tesi in esame. Questo fenomeno trova conferma all’interno di tutte le simulazioni eseguite, dove le accelerazioni valutavate superano quelle sperimentali con andamento proporzionale alle forze trasmesse per effetto del corpo volvente, rimarcandone la dipendenza diretta.

Conseguentemente, il codice di calcolo delle forzanti è stato corretto, introducendo un fattore di riduzione della massima escursione delle forze d’impatto trasmesse dal rullo pari ad 1/10 dei valori originariamente stimati. Questa correzione, come anticipato, ha permesso di ottenere risultati coerenti con le prove sperimentali ed ha, di fatto, attualizzato le formule adottate da Khanam [29] al caso dei cuscinetti oggetto di studio.

Si riportano, di seguito, le rappresentazioni degli andamenti nel tempo (Figura 4.29) ed in frequenza (Figura 4.30) valutate ripetendo le prove precedenti, ma, avendo inserito il parametro correttivo di forza.

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Figura 4.29, andamento delle accelerazioni simulate corrette restituite dall’analisi FEM

Figura 4.30, andamento dello spettro in frequenza delle accelerazioni simulate corrette restituite dall’analisi FEM

È possibile osservare, dalle due rappresentazioni precedenti come l’applicazione del fattore correttivo abbia restituito andamenti maggiormente sensati con picchi di accelerazione più prossimi a quelli sperimentali, nonché, la riduzione delle vibrazioni ad alte frequenze per effetto dello smorzamento.

Appare altrettanto evidente che l’entità delle accelerazioni è, ancora, relativamente alta rispetto ai valori sperimentali, tuttavia, le escursioni non sono eccessive. Ciò evidenzia la necessità di affinare il fattore correttivo adottato all’interno di sviluppi futuri, tuttavia, non ne pregiudica la validità.

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Infine, è stato valutato lo spettro d’inviluppo del vettore di accelerazioni, mediante l’utilizzo della funzione “envspectrum” presente nel database MATLAB. Tale funzione riceve in input i dati relativi al vettore di accelerazioni ed alla frequenza di campionamento con cui era stato discretizzato il nuovo vettore di tempi equi-spaziati. In output, invece, vengono restituiti il valore dello spettro d’inviluppo, le rispettive frequenze, il segnale d’inviluppo ed il tempo a cui questo viene computato. Si anticipa, tuttavia, che gli ultimi due parametri non saranno valutati in quanto poco rappresentativi.

Ancora una volta, vengono riportati i risultati relativi la simulazione contente i dati in input presentati nella Tabella 4.2 relativi alla valutazione dello spettro d’inviluppo. Si evidenziano, inoltre, mediante linee rosse tratteggiate, anche le frequenze caratteristiche del 𝐵𝑃𝐹𝑂 e dei suoi primi quattro multipli, in quanto per frequenze maggiori l’influenza dal fenomeno si riduce notevolmente.

La Figura 4.31 riporta l’andamento dello spettro d’inviluppo su un range di 1500 Hz e permette di verificare come i picchi di ampiezza vadano a collocarsi prevalentemente in corrispondenza del primo multiplo del 𝐵𝑃𝐹𝑂. Questo risultato è molto importante in quanto verifica l’efficacia del sistema nel riconoscere la presenza di frequenze caratteristiche indipendente dalla imprecisione nel valutare correttamente le ampiezze di accelerazione. Inoltre, si rilevano fenomeni di corrispondenza dei picchi anche sui multipli della frequenza caratteristica, sebbene tali fenomeni siano molto meno marcati e, comunque, nascosti dal rumore di fondo. Infine, si verifica come l’influenza delle accelerazioni ad alte frequenze vada a diminuire, con gli ultimi picchi intorno ai 1200 Hz che si ricordano essere frequenze di risonanza dell’assieme.

Figura 4.31, spettro d’inviluppo delle accelerazioni corrette simulate dall’analisi FEM ricavate mediante una simulazione di 1.5s

Tuttavia, l’andamento appena riportato è di difficile lettura visto il range elevato di frequenze considerate. Pertanto, si riporta un’immagine di dettaglio del precedente diagramma rappresentante lo spettro d’inviluppo per frequenze inferiori a 500 Hz (Figura 4.32). Si rilevano pertanto, in maniera più chiara, i primi 3 multipli del 𝐵𝑃𝐹𝑂. Ad ogni modo, la rappresentazione non fornisce particolari informazioni aggiuntive rispetto alla Figura 4.31, a parte il fatto di evidenziare come il picco caschi

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precisamente in corrispondenza della frequenza caratteristica, ma sarà utilizzata come riferimento per il confronto con gli andamenti sperimentali trattati nel prossimo capitolo (5°).

Figura 4.32, dettaglio dello spettro d’inviluppo delle accelerazioni corrette, simulate dall’analisi FEM, a frequenze inferiori a 500 Hz, e ricavate per mezzo di una simulazione di 1.5s

L’ultima immagine riportata all’interno di questo capitolo (Figura 4.33) evidenzia, sostanzialmente, lo stesso spettro d’inviluppo precedentemente visualizzato e valutato su un range di 500 Hz. Tuttavia, in questi casi, i dati sono stati ricavati a partire da una simulazione di soli 0.5 s di evento. Si osserva, quindi, come gli andamenti vengano comunque rilevati e le frequenze caratteristiche identificate, ma il livello di dettaglio con cui vengono definite le corrispondenze tra frequenze e picchi di ampiezza è assai minore. Conseguentemente, simulazioni della durata di 0.5s sono da ritenersi valide per una stima di massima degli andamenti, ma sconsigliate per uno studio approfondito dei fenomeni.

Figura 4.33, dettaglio dello spettro d’inviluppo delle accelerazioni corrette, simulate dall’analisi FEM, a frequenze inferiori a 500 Hz e ricavate per mezzo di una simulazione di 0.5s

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Capitolo 5

5 Verifica sperimentale

La convalida dei risultati ottenuti per mezzo delle simulazioni descritte nei capitoli precedenti è avvenuta tramite la raccolta di dati sperimentali relativi le vibrazioni generate dal danneggiamento dei cuscinetti tipologia SKF 22240 CCK/W33, su cui i modelli di studio erano stati basati. Come anticipato all’interno del capitolo introduttivo, la presenza di un banco prova sperimentale nei laboratori del Politecnico di Torino, appositamente progettato per la realizzazione di test su cuscinetti di grandi dimensioni, è stata decisiva nella scelta della tipologia di componenti da simulare. Infatti, tale sistema è stato utilizzato per valutare il comportamento di una coppia di cuscinetti appositamente danneggiati, rispettivamente, uno sulla pista dell’anello interno ed uno su quella dell’anello esterno.

È stato, inoltre fornito, successivamente, anche un cuscinetto recante due difetti sulla pista interna distanziati esattamente di 180° l’uno dall’altro, si ribadisce, tuttavia, che per la seguente tesi, solamente il caso del danneggiamento sull’anello esterno è stato valutato. I difetti in questione sono stati realizzati su esplicita richiesta direttamente dalla ditta produttrice (SKF), e sono sati posti in corrispondenza dei punti in cui i modelli SKF 22240 CCK/W33 avevano mostrato segni di cedimenti ed usura in applicazioni precedenti.

I cuscinetti presentanti difetto sono, quindi, stati inseriti all’interno del banco prova per essere monitorati ed i dati ottenuti, sono stati successivamente rielaborati per il confronto con i valori della simulazione. Pertanto, nelle seguenti pagine vengono descritte, brevemente, le caratteristiche del banco prova utilizzato e delle sue componenti, nonché i calcoli utili all’elaborazione dei dati empirici reperiti.