Feed Forward Equalizer e compensazione Polarization Mode Dispersion

Consideriamo la matrice di trasferimento della fibra ( ) che tiene conto degli effetti di distorsione (PMD), tale matrice (matrice perchè si considera una multiplazione in polarizzazione) essendo rappresentativa di sole distorsioni di fase è una matrice unitaria sempre invertibile ed è quindi sempre possibile trovare un filtro con una matrice di trasferimento tale da compensare questi effetti della fibra ( ( ) _{( ) ), consideriamo}

inoltre la funzione di trasferimento ( ) del front-end opto-elettronico che tenga conto

degli elementi compresi fra la fibra ed l‟FFE (filtro ottico in ricezione, photodetector, ADC), infine consideriamo la risposta in frequenza del filtro di trasmissione ( ) .

La matrice di trasferimento del 2D-FFE (2D perchè in uscita avremo un elemento del vettore bidimensionale per la polarizzazione orizzontale ed uno per la polarizzazione verticale) dovra essere determinata da questa relazione:

Eq. 2-21

( )

( ) ( )

( )

In modo tale che la risposta complessiva del sistema risulti essere ( ) ( ) che corrisponde ad un sistema con canale equalizzato ed filtro adattato in ricezione [24].

La valutazione della Eq. 2-21 richiede una attenta caratterizzazione del trasmettitore e del front-end del ricevitore, nonche una accurata stima adattiva della matrice di trasferimento della fibra.

Tuttavia sarebbe estremamente efficiente ricavare un algoritmo che configuri automaticamente le prese dell‟FFE in modo tale che esso presenti la matrice di trasferimento formulata nella Eq. 2-21 (o equivalentemente che il sistema di trasmissione presenti una matrice di trasferimento ( ) ) senza dover stimare singolarmente ( ) , ( ) e

( ) .

A tal proposito l‟algoritmo del gradiente stocastico [25] rappresenta una buona soluzione per configurare adattivamente l‟FFE ed contemporaneamente stimare i coefficienti di canale (comprensivo di filtro di trasmissione, canale fisico (fibra) e filtro adattato in ricezione). Illustriamo brevemente due casi tipici di utilizzo dell‟ algoritmo del gradiente stocastico atti a stimare i coefficienti di un filtro equalizzatore lineare ed i coefficienti di canale, ovvero i

campioni della risposta impulsiva del canale di trasmissione. Da questi verrà poi desunto l‟algoritmo impiegato nell FFE utile ai nostri scopi.

Un criterio per la stima dei coefficienti di un equalizzatore lineare che consente una trattazione matematica poco complessa e contemporaneamente tiene conto della presenza di ISI e del rumore termico è quello della minimizzazione dell‟ errore quadratico medio(EQM) fra il segnale all‟ ingresso del decisore e la sequenza di simboli di informazione , cioè

Eq. 2-22 * +

Consideriamo infatti il sistema illustrato in Fig. 2-13

Fig. 2-13. Schema di un equalizzatore adattivo che impiega l’errore fra le sue uscite e le stime dei simboli trasmessi per il calcolo delle sue prese [25]

dove ( ), ( ), (

) sono rispettivamente simboli di ingresso, i

coefficienti di canale e i coefficienti del filtro ( ) ∑

, sono le uscite del canale ed ingressi al filtro

adattivo e Eq. 2-23 ( ) ∑

Sono le uscite del filtro,

intuitivamente si evince che ricercando i coefficienti che minimizzano l‟EQM fra le uscite del filtro ed i simboli trasmessi , verrando individuati i coefficienti per cui

Eq. 2-24

( ) ( )

dove ( ) è la funzione di trasferimento del canale e ( ) è la funzione di trasferimento del filtro inverso che deve compensare l‟effetto del canale, infatti solo in questo modo (ammettendo l‟effetto del rumore trascurabile) i campioni assumeranno distanza minima dai simboli trasmessi .

Eq. 2-25 ( ) * + * +

* + * + { * +}

* + { * +} * +

Avendo posto * +, * +

L‟errore quadratico medio ( ) è una funzione reale di variabile complessa ed essendo una funzione quadratica ammette un unico minimo ,tale minimo puo essere ricavato annullando il gradiente di ( )

( ) ( * +) da cui

Eq. 2-26 ( ( )) ( ) ⇒

Questo presuppone una stima di e quindi di tutto il canale.

Un alternativa valida è rappresentata dall‟algoritmo del gradiente stocastico per cui Eq. 2-27

( ( ))| ( ) ( * + * +)

Un semplice stimatore non polarizzato del gradiente si ottiene eliminando l‟operazione di aspettazione per cui

Eq. 2-28

( )

Dove la quantità ( ) è proprio l‟errore il cui valore quadratico medio volevamo minimizzare.

Lo stesso procedimento può essere eseguito per identificare i coefficienti di canale ed effettuarne cosi una stima.

Per maggiore chiarezza osserviamo lo schema in Fig. 2-14, si intuisce che minimizzando l‟errore quadratico medio fra l‟uscita del canale da stimare e l‟uscita di un filtro identificatore (che simula un canale di coefficienti ) riusciremo ad identificare i coefficienti

tali che

Eq. 2-29 ( ) ( )

Avremo cosi ottenuto una stima del canale ( ) inizialmente incognito

L‟ algoritmo del gradiente stocastico diventa Eq. 2-30 ( ) * + * + * + { * +} * + { * +} * + con * + e * + Eq. 2-31 ( ( ))| ( ) ( * + * +) ( * ( )+) Da cui Eq. 2-32 ( )

I casi appena trattati rappresentano due applicazioni classiche per l‟algoritmo a gradiente stocastico, la prima applicazione per la ricerca dei coefficienti ottimi per l'equalizzatore, ottenuti ottenuta minizzando la distanza tra il segnale equalizzato e il simbolo deciso, la seconda applicazione invece per la stima dei coefficienti di isi del canale ottenuta minimizzando la distanza tra il segnale ricevuto e i simboli decisi moltiplicati per l'isi stimata, in modo che l'isi stimata converga a quella vera.

L‟algoritmo utile nella nostra applicazione dovrebbe essere in grado di dare all‟FFE dei coefficienti tali che la sua risposta in frequenza sia quella presentata nell‟ Eq. 2-21 e che quindi il canale comprensivo di front-end ed FFE stesso abbia una matrice di trasferimento ( ) cioe come se fosse già comprensiva di filtro adattato al suo interno.

Per fare questo l‟errore che va minimizzato è quello che intercorre fra l‟uscita dell‟equalizzatore e l‟uscita che dovrebbe avere un filtro adattato.

Eq. 2-33 ∑ ̂ con ∑ ̂

A sua volta tale uscita del filtro adattato è ottenuta applicando ai simboli decisi ̂ (o ai trasmessi durante il training iniziale) i coefficienti di canale ̂ ottenuti stimando un canale che è già comprensivo di filtro adattato .

L‟ algoritmo si concretizza in due espressioni per l‟aggiornamento delle stime dei coefficienti dell‟ FFE e dei coefficienti di canale :

Eq. 2-34 Eq. 2-35