Filtro digitale

Come abbiamo già detto in precedenza una delle caratteristiche della conversione con oversampling è quella di filtrare digitalmente con un filtro passa-basso la bit- stream in uscita dal modulatore. Così facendo si filtra via tutto il rumore fuori dalla banda del segnale d’interesse, ottenendo l’aumento di risoluzione desiderato, e inoltre viene compiuta anche l’operazione di decimazione, ovvero si fa l’operazione inversa del sovracampionamento, non c’è infatti bisogno (secondo il Teorema di Nyquist-Shannon) che l’uscita venga aggiornata alla frequenza fs  2Bs per non

perdere informazione, quindi si scartano i dati in uscita in eccesso e questa verrà aggiornata alla frequenza minima dettata dal teorema.

Le caratteristiche che deve avere il filtro sono quelle di avere guadagno piatto (possibilmente unitario) nella banda del segnale (Bs), attenuare molto tra Bs e

fs/2, e infine la risposta deve scendere molto più velocemente di quanto sale la

NTF nell’intorno di Bs. Queste specifiche sono raggiungibili nel dominio digitale

con la cascata di filtri a media mobile. Generalmente un filtro a media mobile (e anche le caratteristiche sopra descritte necessarie per il nostro filtro digitale) ha una risposta in frequenza che ricalca quella di una funzione sinc(f ), e quindi la cascata di più elementi come questo viene chiamata filtro sincK, dove K è il numero di blocchi in cascata o anche l’ordine del filtro.

In molti casi (per risoluzioni molto elevate) il filtro viene suddiviso in due stadi, ovvero la decimazione viene eseguita in due volte, prima da fs a fD e poi da fD a

2Bs.

Figura 1.16: Schema a blocchi di un generico filtro digitale passa-basso

Per la nostra trattazione è sufficiente un filtro a singolo stadio che viene implemen- tato con l’architettura CIC (Cascadede-Integrator-Comb) introdotta da Hogenauer [10]. Il vantaggio di questa architettura (al contrario dei FIR e IIR per esempio)

Introduzione ai Convertitori delta-sigma 21 è quello di eseguire la reiezione del rumore di quantizzazione fuori dalla banda del segnale senza effettuare moltiplicazioni, cosa che riduce molto la complessità e i consumi di potenza e di area del circuito digitale. Si può dimostrare che l’ordine ottimale del filtro dipende dall’ordine del modulatore, e cioè è sempre di un’unità superiore all’ordine del modulatore delta-sigma. Quindi per un ADC ∆ − Σ del secondo ordine generalmente si usa un filtro CIC di ordine 3 (sinc3).

Figura 1.17: Schema a blocchi di un filtro CIC del terzo ordine

I filtri CIC sono composti da K accumulatori che formano lo stadio Intagrator e K differenziatori (ritardatori) che formano lo stadio Comb. Le uniche operazioni compiute sono l’addizione e la sottrazione che quindi introducono una complessità circuitale moderata. La decimazione è unica e quindi avviene in una volta sola fra lo stadio Integrator e lo stadio Comb.

Capitolo 2

Convertitori delta-sigma in DC

Per quanto riguarda la conversione di segnali sinusoidali e quella di segnali in continua si devono fare delle distinzioni, sia per i diversi problemi che affliggono le due categorie, sia per gli approcci che si seguono e i test che si effettuano. Inoltre alcune definizioni dei parametri che caratterizzano l’ADC (visti nel primo capitolo) vengono modificate da un caso all’altro e per quanto riguarda i segnali in continua si introducono altri parametri utili per la caratterizzazione.

In questo capitolo affronteremo la conversione di segnali sinusoidali e quella di segnali in continua, parleremo poi dei problemi che affliggono entrambe le conver- sioni ed introdurremo l’utilizzo di un tool software per la simulazione delle non idealità che affliggono il nostro sistema, in particolare quando in ingresso abbiamo un segnale in continua.

2.1

Conversione di un segnale sinusoidale

Quando si devono convertire segnali in AC il test che viene sempre adottato (anche per ricavare il rapporto segnale-rumore dato dalla (1.4)) consiste nell’applicare un segnale sinusoidale, anche detto "tono" o "tono puro", che sfrutta l’intera dina- mica di ingresso (ovvero [-VFS,VFS]), cioè ad ampiezza massima. In uscita dal

convertitore si calcola la trasformata discreta di Fourier (DFT) e la densità spet- trale di potenza, dalla quale è possibile ricavare la potenza del rumore estraendo le componenti spettrali del segnale utile [2]. Il rapporto segnale-rumore è dato proprio dal rapporto tra la potenza del segnale d’ingresso e quella appena ricava- ta, che dovrebbe essere quella che tiene conto del rumore. In un sistema lineare, con un segnale sinusoidale in ingresso, togliere le componenti spettrali relative al segnale utile vuol dire togliere le righe alle frequenze multiple della fondamentale del segnale sinusoidale stesso. Essendo però il convertitore un sistema non lineare (a causa delle operazioni di campionamento, quantizzazione e dei componenti elet- tronici che lo costituiscono) è più corretto andare a calcolare anche la distorsione presente alle frequenze multiple della fondamentale. Per questo motivo in un ADC

Convertitori delta-sigma in DC 23 si introduce il SINAD, dato dalla (1.8), che tiene conto anche del contributo do- vuto alle distorsioni dettate dalle non linearità oltre che al contributo del rumore. Quello che si fa poi è utilizzare la stessa formula dell’SNR per calcolare il numero di bit di risoluzione effettiva che si hanno in uscita al sistema, sostituendo però all’SNR il SINAD (1.9).

Spesso per esprimere i bit di risoluzione in uscita dal convertitore si usa il dynamic range, e dalla (1.10) si ottiene

N0 = log₂(DR) (2.1)

dove N0 sono i bit effettivi che si hanno in uscita (rispetto agli N voluti) tenen- do conto dei disturbi. Quando abbiamo definito il dynamic range abbiamo detto che è il rapporto fra l’escursione massima del segnale (VFS per un ADC unipo-

lare e 2VFS per uno bipolare) e la minima differenza tra due segnali in ingresso

distinguibili dal convertitore, la quale a sua volta può essere interpretata come la risoluzione (∆V ) o anche come il livello di rumore nel convertitore. Per livello di rumore intendiamo l’ampiezza dell’intervallo in cui non è possibile distinguere una variazione della grandezza in ingresso a causa del rumore del convertitore, ovvero il valore picco-picco del rumore stesso. Il rumore può essere modellizzato come una distribuzione Gaussiana. Dalla teoria si può affermare che la maggior parte dei valori (in questo caso del rumore) sta in un determinato intervallo finito, o me- glio una certa percentuale dei valori assunti dal rumore cade in un certo intervallo indicato da multipli della deviazione standard di esso (σn) intorno al valore ideale.

Figura 2.1: Probabilità di presentazione di valori di rumore all’interno di vari intervalli

Quello che ci dice la tabella in Figura 2.1 è che, ad esempio, il segnale totale (com- prensivo di segnale ideale e rumore) assumerà valori che stanno in un intervallo ampio 4σn (intorno al valore del segnale ideale) nel 95.4% dei casi. Secondo queste

considerazioni possiamo quindi scrivere DR = 2VF S

kσn , dove k rappresenta l’interval-

lo di precisione desiderato e abbiamo considerato che il convertitore sia bipolare. Se si considera solo il rumore di quantizzazione, la σn è la deviazione standard, la

quale è pari a σn = √∆V₁₂ e possiamo andare a scrivere l’aumento di risoluzione in

termini di bit come:

N0 = log₂ 2VF S kσn

!

Convertitori delta-sigma in DC 24 La massima escursione del sistema (2VF S), se in uscita vogliamo N bit, sarà

codificata su 2N _{livelli, e quindi la (2.2) diventa}

N0 = log₂ 2

N

kσn

!

= N − log₂(kσn) (2.3)

dove σn è adesso espresso in termini di LSB, ovvero la deviazione standard della

bit-stream in uscita dal sistema.

Il risultato dipenderà dalla precisione che ci interessa avere (e quindi la scelta del fattore k), generalmente scegliere k = 4 è una buona approssimazione di quello che si ottiene realmente.