Le forze di interazione tra i veicoli

Gli elementi di collegamento tra i diversi veicoli di un convoglio ferroviario offrono proprietà sia elastiche che smorzanti. In Figura 3.6 sono riportati gli andamenti tipici delle due curve caratteristiche di respingenti e tirante; quest’ultimo è tipicamente caratterizzato da corse minori e forze maggiori (si veda par. 1.4.1.1 e 1.4.1.2 per maggiori informazioni).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 105 0 100 200 300 400 500 600 Corsa [mm] For z a [ k N ]

Curve Caratteristiche Respingenti -Tirante

Respingente Tirante

Figura 3.6 Tipiche curve caratteristiche elastiche di respingenti e tirante

Il comportamento non lineare dei respingenti e dei tiranti è dovuto alla non linearità della caratteristica elastica e al fatto che la curva caratteristica per un allontanamento relativo è diversa da quella per un avvicinamento relativo. La Figura 3.7 si riferisce ad un respingente e mostra tale effetto: la curva caratteristica in compressione è quella verde tratteggiata, mentre in caso di allontanamento relativo la forza scambiata diventa molto più bassa e segue la curva rossa a tratto- punto. Al fine di modellare matematicamente tale tipo di comportamento si utilizza uno smorzamento ad attrito per il quale la forza smorzante è proporzionale a quella elastica mentre il verso della forza smorzante è tale da opporsi al moto relativo.

In pratica, la forza applicata dai respingenti si determina sommando alla parte elastica F , _k univocamente determinata dall’avvicinamento relativo x , quella smorzante _R F , calcolata _D conoscendo la forza elastica e la velocità relativa nel seguente modo:

( )

sgn

( ) ( )

D R R k R

F v = ⋅D v ⋅F x , (3.17)

in cui D rappresenta il coefficiente di smorzamento.

In realtà, la (3.17), che presenta una discontinuità nell’origine, non trova applicazione a causa dei grandi problemi numerici che comporterebbe la sua implementazione durante l’integrazione.

0 20 40 60 80 100 105 0 100 200 300 400 500 600 700 Corsa [mm] Fo rz a [ k N ]

Caratteristica complessiva (elastica e smorzante) del respingente

Curva Elastica Ulteriore

avvicinamento

Allontanamento

Figura 3.7 Andamento tipico della forza complessiva (elastica più smorzante) sul respingente

Si usano, di fatto, leggi di variazione della forza smorzante più “addolcite”: una possibile legge di raccordo è quella polinomiale di terzo grado che porta notevoli benefici all’integrazione numerica. È chiaro che valgono considerazioni opposte per l’elemento di trazione: la forza smorzante si somma a quella elastica allorché i due veicoli si allontanano ulteriormente, mentre si sottrae nel caso in cui i due veicoli tendono ad avvicinarsi.

Respingenti Tirante Veicolo i Veicolo i+1 Rigidezza e Smorzamento

Figura 3.8 Tipica configurazione di montaggio degli accoppiamenti tra i veicoli

Il codice è in grado di considerare respingenti e tiranti contigui che presentano caratteristiche diverse. Nel caso tipico di un accoppiamento formato da due respingenti ed un tirante (Figura 3.8), per il calcolo delle forze d’interazione complessivamente agenti tra veicoli consecutivi si deve risolvere un semplice sistema non lineare. Le curve caratteristiche riportate in Figura 3.6 si riferiscono al singolo respingente o tirante; per ricavare la curva caratteristica dell’accoppiamento nel suo complesso, è necessario calcolare la serie delle rigidezze dei respingenti e dei tiranti, e, quindi, eseguire il parallelo delle rigidezze dei respingenti. Focalizzando l’attenzione sui respingenti, detti xR1 e xR2 i vettori delle corse e fR1 e fR2 i corrispondenti valori delle forze agenti

equivalente fReq dell’accoppiamento i, si determinano, punto per punto, risolvendo il seguente

sistema non lineare:

( )

1 2

( )

1 1 2 2 i i i Req R R i i R R R R c x x f x f x ⎧ = + ⎪ ⎨ = ⎪⎩ , (1.18)

nel quale, fissata la corsa equivalente i Req

c , è necessario stabilire le deformazioni dei due respingenti a contatto i₁

R

x e x_Ri₂ in corrispondenza delle quali le rispettive forze di reazione f_R1

( )

xi_R1 e

( )

2 2

i R R

f x sono tra loro uguali. Il valore della forza dell’elemento equivalente sarà poi, chiaramente,

( )

i

Req Req

f c = fR₁

( )

xiR₁ = 2

( )

2

i R R

f x . È ovvio che l’applicazione della metodologia descritta è strettamente necessaria solo nei casi in cui nel convoglio ferroviario i veicoli montano respingenti e tiranti diversi tra loro; altrimenti, la curva equivalente si ricava semplicemente considerando che le deformazioni dei due respingenti sono uguali i₁

R x = i₂ R x = i R x , per cui: i 2 i Req R c = ⋅x e

(

2 i

)

Req R f ⋅x =

( )

i R R

f x e la rigidezza equivalente risulta dimezzata rispetto a quella degli elementi originari. La trattazione, sviluppata sui respingenti, si estende immediatamente anche al calcolo della rigidezza equivalente per i tiranti.

Al fine di rendere efficace l’integrazione al passo delle equazioni del moto, una volta calcolate le caratteristiche equivalenti, è opportuno raccordarle: tale raccordo è effettuato in modo da assicurare continuità di tangenza nell’origine, vale a dire in condizioni di riposo (si veda Figura 3.9).

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x 10-3 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10 4 Avvicinamento relativo [m] F o rz a elas ti c a ac c oppiam e n to [ N ]

Forza elastica prima e dopo il raccordo

Respingente Tirante

Accoppiamento raccordato

Figura 3.9 Particolare delle caratteristiche elastiche di respingenti e tirante prima e dopo il raccordo.

Uno dei modi per raccordare la curva è quello di scegliere una porzione simmetrica attorno all’origine e quindi calcolare la rigidezza comune nell’origine (kzero) come media tra il doppio della

rigidezza nell’origine del respingente equivalente (si considera il caso tipico in cui ci sono due respingenti) e la rigidezza nell’origine del tirante equivalente. Calcolata tale rigidezza, basta determinare i coefficienti della polinomiale in modo da avere continuità di punto e di tangenza agli estremi dell’intervallo e rigidezza pari a kzero nell’origine.

Durante la percorrenza di una curva, il modello è in grado di calcolare il diverso contributo di rigidezza offerto dai respingenti interni rispetto a quelli esterni alla curva. L’angolo relativo tra due

veicoli successivi potrebbe infatti provocare lo scarico dei respingenti esterni (“ext”) ed un sovraccarico per la coppia di respingenti interni (“int”) come mostrato in Figura 3.10.

Figura 3.10 Disposizione dei respingenti in curva

A seconda del valore della distanza relativa assunto tra due veicoli successivi in corrispondenza dell’interno o dell’esterno curva, ogni coppia di molle in serie darà luogo ad un diverso contributo alla forza del respingente. Questa distanza relativa viene calcolata come la distanza longitudinale relativa tra due veicoli i

R

x , più un termine che dipenderà dall’angolo relativo formato θ per la distanza dei respingenti dal centro del carro Dlat:

Dlat θ ext i R R x =x + ⋅ (3.19) int i _{Dlat θ} R R x =x − ⋅ (3.20)

Nel documento Sviluppo di un codice di simulazione dinamica per lo studio di treni merci di futura generazione (pagine 88-91)