Def.:
Una funzione numerica è una relazione
f: A → B ( A,B ⊆ ℜ ) a → b / ∀ a∈A ∃ ! b = f(a)∈B
Dalla definizione di funzione, relativamente al tipo di “legami” esistenti tra gli elementi dell’insieme A e quelli dell’insieme B, consegue che:
ogni elemento di A ha una e una sola immagine!
nessuna condizione viene posta per quanto ‘succede’ nel secondo insieme.
In particolare, quindi, nel secondo insieme ci possono essere:
- elementi che non sono immagine
- elementi che sono immagine di un solo elemento - elementi che sono immagine di più di un elemento Terminologia
x: variabile indipendente
y = f(x) variabile dipendente o elemento immagine
Insieme di definizione (I.D.): è l’insieme A ⊆ ℜ / f è funzione.
Insieme immagine (I.I.): è l’insieme
{
y∈ℜ/y = f(x)}
= f(A) ⊆ B Classificazione di funzioni•
Una funzione f: A→ Bx →f(x) = y è:
iniettiva: se ∀ x1, x2 ∈ A, con x1≠ x2, ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
suriettiva: se ∀ y ∈ B, ∃ almeno un x ∈ A / f(x) = y oppure
f(A)=B
•
SegnoUna funzione
f: A→ B x →f(x) = y è
positiva se ∀ x∈A ⇒ f(x) > 0
negativa se ∀ x∈A ⇒ f(x) < 0
non negativa se ∀ x∈A ⇒ f(x) ≥ 0
non positiva se ∀ x∈A ⇒ f(x) ≤ 0
•
Funzione pari – dispari Una funzionef: A→ B x →f(x) = y è
pari se ∀ x∈A ⇒ f(x) = f(-x)
dispari se ∀ x∈A ⇒ f(x) = -f(-x)
•
Funzione crescente – decrescente Una funzionef: A→ B
x →f(x) = y è
costante se ∀ (x1≠ x2)∈A ⇒ f(x1) = f(x2)
crescente se ∀ (x1 < x2)∈A ⇒ f(x1) < f(x2)
crescente
in senso lato se ∀ (x1 < x2)∈A⇒ f(x1) ≤ f(x2)
decrescente se ∀ (x1 < x2 )∈A ⇒ f(x1) > f(x2)
decrescente
in senso lato se ∀ (x1 < x2 )∈A ⇒ f(x1) > f(x2)
•
Grafico di una funzioneE’ la riproduzione in un piano cartesiano delle coppie ordinate (x, f(x))
STRUTTURE
L’astrazione è esattamente quello che dà alle strutture
matematiche la loro traferibilità. Esse possono infatti essere trasportate da una disciplina all’altra e da un ambiente concettuale ad un altro
M. Livio
Premessa
Nel nostro subconscio matematico c’è l’idea che calcolare voglia dire eseguire operazioni su numeri, con le quattro “usuali” operazioni matematiche.
Prima di passare allo studio degli insiemi numerici, oggetto di questo lavoro, usciamo da questi schemi mentali lavorando in generale anche su insiemi non numerici, in cui sono previsti calcoli senza numeri, in modo tale da rinvigorire la pianta dell’astrazione matematica la quale ha la funzione di
“unificante formale di diversi”.
Pertanto il percorso che proporremo in questa prima parte è quello dall’astratto assiomatico all’astratto determinato, e viceversa, in modo che sia evidente che un concetto astratto non è un ente vuoto (come normalmente si intende quando si parla di astrazione), ma al contrario un ente che consiste (unifica) di una moltitudine di concreti che si
“assomigliano”
tutti per una particolare caratteristica.
E’ lo stesso processo mentale che si fa abitualmente anche nelle altre discipline.
Ad esempio con la parola “albero” si unificano elementi diversi ma analoghi per struttura.
Non si fa riferimento a nessun albero in particolare ma si fissano solo quelle proprietà che caratterizzano gli elementi come alberi.
L’astrazione consente di non precisare la natura degli oggetti su cui si sta lavorando, le operazioni eseguibili in esso e così via, ma questi vanno visti come classi che godono di determinate proprietà.
In definitiva l’astrazione non è la negazione del concreto ma è la sua moltiplicazione.
• Operazione binaria
Def.:
dati tre insiemi qualsiasi X, Y, Z non vuoti si dice che è definita una operazione binaria
se alla coppia ordinata (x,y), ∀ x ∈ X e ∀ y ∈ Y, mediante una legge di natura qualsiasi, resta associato uno e uno solo elemento di Z
In modo formale:
°: (X x Y) → Z (x , y) → x ° y
L’elemento z = x ° y ∈ Z si chiama il composto di (x, y) mediante la legge “°”
La potenza dell’immaginario
•
Operazione binaria interna Def.:dato un insieme A non vuoto si dice che è definita una operazione binaria interna in A
se alla coppia ordinata (a, b), ∀ a, b ∈ A, mediante una legge di natura qualsiasi, resta associato uno e uno solo elemento di A.
In modo formale:
°: (A x A) → A (a , b) → a ° b
Una operazione in modo grafico può essere rappresentata nel modo seguente mediante la cosidetta macchina operatrice:
a
c
° b
•
Proprietà delle operazioni binarie Sia data un’operazione °: A x A → A( a, b ) → a ° b
Diremo che l’operazione “°” gode della proprietà:
♦ associativa se ∀ a,b,c ∈ A → ( a ° b ) ° c = a ° ( b ° c ) a
o d
b e °
c
a
e b ° o f
c
a b
o c o c b a
♦ esistenza dell’elemento neutro u ∈ A se ∀ a∈ A→ a ° u = u ° a = a a u
o a o a u a
♦ esistenza dell’inverso inverso se ∀ a ∈ A ∃ un a-1∈A / a ° a-1 = a-1 ° a = u con u elemento neutro di A.
a a-1
o u o u
a-1 a
Teorema
Se una operazione ammette elemento neutro questo è unico.
Dim.:
Infatti,
se ne esistessero due, per es. u1 e u2, allora si avrebbe:
♦ u1° u2 = u2° u1 = u2 (considerando u1 elemento neutro)
♦ u1° u2 = u2° u1 = u1 (considerando u2 elemento neutro) da cui si deduce che u1 = u2.
c.v.d.
Si può dimostrare che:
L’inverso dell’inverso di un elemento è l’elemento stesso.
L’inverso dell’elemento neutro u è u stesso.
La potenza dell’immaginario
Teorema
Sia data in un’insieme A un’operazione “°” associativa e dotata di elemento neutro u.
Se a ∈ A ammette inverso allora questo è unico.
Dim.:
Per assurdo si supponga che un elemento a ∈ A ammetta due inversi a1-1 e a2-1
Si avrà
a1-1 ° (a ° a2-1 ) = a1-1° u = a1-1 e
(a1-1 ° a) ° a2-1 = u ° a2-1
= a2-1 → a1-1 = a2-1
c.v.d.
•
Operazioni e tavola pitagoricaUn’operazione binaria definita su insiemi finiti normalmente viene rappresentata in modo compatto mediante una tavola pitagorica.
In tale rappresentazione le precedenti proprietà evidenziano interessanti situazioni geometriche.
Esempio 1
1. In R4 = {r0, r1, r2 ,r3} insieme delle rotazioni di ampiezza multipla di 90° attorno ad un centro prefissato sia
°: A x A → A
( a, b ) → a ° b dove “°” è la composizione delle rotazioni . La tavola pitagorica è:
° r0 r1 r2 r3 r0 r0 r1 r2 r3 r1 r1 r2 r3 r0 r2 r2 r3 r0 r1
r3 r3 r0 r1 r2
L’operazione è
commutativa → tabella simmetrica rispetto diagonale principale
ammette elemento neutro r0 → sia la riga che la colonna che si incrociano in r0 corrispondono alla riga e colonna esterna
ammette inverso → in ogni riga e colonna compare l’elemento neutro
Si considerino tutte le trasformazioni geometriche che mandano un triangolo equilatero ABC in se stesso. Esse sono :
- tre simmetrie assiali che indichiamo con sA, sB, sC
- tre rotazioni di centro O e ampiezza r1 =120°, r 2=240°, r0 =360°
Si ha dunque l’insieme S = {sA, sB, sC, r1, r2, r0 }.
Una schematizzazione delle sei trasformazioni si ottiene, per esempio, mediante le sei matrici:
A B C A B C A B C
Ricordiamo che per calcolare, per esempio sC° r2 ,si applica prima la trasformazione r2 e sul risultato di questa si applica la trasformazione sC.
In termini di matrici, la trasformazione sC° r2 dà luogo alla trasformazione…..
associativa ( perché è associativa la composizione di trasformazioni)
non commutativa → non c’è simmetria rispetto alla diagonale principale
ammette elemento neutro: r0 → sia la riga che la colonna che si incrociano in r0 corrispondono alla riga e colonna esterna
ammette inverso → in ogni riga e colonna compare l’elemento neutro
La potenza dell’immaginario
2) Strutture
Def.:
Si dice struttura un qualunque insieme A nel quale siano definite una o più operazioni.
Dato l’insieme A e l’operazione “°” la struttura è indicata con (A, °)
Dato l’insieme A e le operazioni “*” e “°” la struttura è indicata con (A, *, °)
•
GruppoDef.:
Si chiama gruppo una struttura (A, °) tale che l’operazione “°”:
• sia interna
• sia associativa
• ammetta elemento neutro
• ammetta inverso Def:
Un gruppo si dice abeliano se la legge “°” gode anche della proprietà commutativa Esempio
1. Sia S ={p, d} l’insieme formato dai numeri pari e dispari.
La struttura ( S, ° ), dove “ ° “ è l’operazione definita dalla seguente tabella, è un gruppo abeliano.
° p d p p d d d p Infatti l’operazione “°”:
è interna
è associativa:
( p ° d ) ° p = d ° p = d e p ° ( d ° p ) = p ° d = d
è commutativa:
p ° d = d e d ° p = d Inoltre
p è elemento neutro.
ogni elemento ammette inverso:
l’inverso di p è p e l'inverso di d è d
commutativa:
p ° d = d e d ° p = d
Teorema
La potenza dell’immaginario
1. Sia R4 l’insieme delle rotazioni di ampiezza multipla di 90° attorno al centro di un poligono regolare di 4 lati.
2. Sia Rn l’insieme delle rotazioni attorno al centro di un poligono regolare di n lati di ampiezza multipla di 360/n gradi. Sia “°” l’operazione di composizione di rotazioni definita in Rn.
( R , °) è un gruppo ciclico e il suo elemento generatore è la rotazione di 360/n gradi.
Def.: Sia ( G, ° ) un gruppo e sia S ⊆ G
La potenza dell’immaginario
• Isomorfismo tra gruppi Def:
Due gruppi (G1, *) e (G2, °) si dicono isomorfi se si può stabilire una corrispondenza biunivoca, detta isomorfismo, f: G1 ↔ G2 tale che:
f(a * b) = f(a) ° f(b) con ∀ a, b ∈ G1, e ∀ f(a), f(b) ∈ G2
Due strutture isomorfe si possono considerare essenzialmente uguali.
Ignorando le identità specifiche degli elementi le due strutture si possono identificare.
Esempi di strutture isomorfe.
1. Si considerino le tavole pitagoriche dei gruppi (G1, +) e (G2, x) + p d x 1 -1
p p d 1 1 -1 d d p -1 -1 1 Sia f: G1 ↔ G2
p ↔ 1 d ↔ -1 Si ha che:
f(a + b) = f(a) x f(b) con a, b ∈G1 e f(a), f(b) ∈G2
Di conseguenza i due gruppi sono isomorfi.
2. Si considerino le tavole pitagoriche dei gruppi (G1, °), (G2, x), (G3, +)
° r s x + - + 0 1 r r s + 1 -1 0 0 1 r s r - -1 1 1 1 0 Si verifica facilmente che i tre gruppi sono tra loro isomorfi.
Note
Si dimostra che l’isomorfismo fra strutture algebriche è una relazione di equivalenza; si può quindi suddividere l’insieme di tutte le strutture in classi di equivalenza e quindi considerare l’insieme quoziente che è l’insieme di tutte le strutture algebriche astratte.
Una qualunque struttura appartenente ad una classe di equivalenza è quindi un modello della struttura individuata da quella classe.
Si è visto l’operatività in un gruppo.
Pur tuttavia questa è riduttiva, in quanto, normalmente, nei vari insiemi sono definite due operazioni e quindi è opportuno introdurre nuove strutture.
La successiva struttura che si incontra è quella di anello.
Si consideri un insieme A non vuoto nel quale siano definite due operazioni, ° e ^, che definiscono la struttura (A, °,^)
Def.:
La struttura (A, ° , ^) si chiama anello se -- (A, °) è un gruppo commutativo
-- vale la proprietà distributiva di ‘^’ rispetto a ‘°’ ovvero (a ^ (b ° c)) = (a ^ b) ° (a ^ c) -- (A, ^) gode della proprietà associativa
In particolare se:
-- ( A, ^) è dotata di elemento neutro, allora l’anello si dice unitario;
-- in ( A, ^ ) vale la proprietà commutativa, allora l’anello si dice commutativo.
Nota
Nella definizione della struttura di anello non figura l’esistenza dell’inverso rispetto alla seconda operazione.
Questo fa si che non sempre è risolvibile un’equazione di primo grado del tipo a ^ x ° b = 0
Definizione
Sia (A, °, ^) un anello.
Un elemento non nullo a ∈A si dice divisore dello zero se esiste b ∈A con b ≠ 0, tale che: a ^ b = 0 oppure b ^ a = 0
Si esprime questo fatto dicendo che un anello può avere divisori dello zero.
Teorema
Se un anello non ha divisori dello zero allora valgono:
-- la legge di cancellazione: se a ^ b =a ^ c (con a ≠ o) allora b = c -- la legge di annullamento del prodotto : se a ^ b = 0 allora a v b = 0
La struttura (Zn +, *) con n non primo è un anello commutativo e unitario dotato di divisori dello zero.
La potenza dell’immaginario
Esempio
Si consideri la struttura (Z6,+,*) le cui tavole pitagoriche sono:
+ 0 1 2 3 4 5 * 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 0 1 0 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 1 2 2 0 2 4 0 2 4 3 3 4 5 0 1 2 3 0 3 0 3 0 3 4 4 5 0 1 2 3 4 0 4 2 0 4 2 5 5 0 1 2 3 4 5 0 5 4 3 2 1
La struttura (Z6, +, * ) è un anello commutativo e unitario dotato di divisori dello zero.
Infatti:
a. (Z6 , +) è un gruppo abeliano
b. Vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma c. (Z6, *) gode della proprietà associativa
d. (Z6, *) ammette elemento neutro
e. (Z6, *) gode della proprietà commutativa f. ammette divisori dello zero
Si può dimostrare che la struttura (Zn, *) con n primo è un anello commutativo e unitario privo di divisori dello zero.
• Campo
Sia C un insieme numerico.
Def.:
La struttura (C, + , *) è un campo se:
-- (C, +) è un gruppo commutativo (con lo 0 elemento neutro)
-- (C0, *) è un gruppo commutativo ( solo lo 0 non ha elemento neutro) -- in (C0 , *) vale la legge distributiva di “*” rispetto a “+” .
dove con “*” e “+” si sono indicate le operazioni di prodotto e addizione
La struttura di campo è estremamente importante perché :
o si può dimostrare che la legge di annullamento del prodotto è sempre valida (cioè un campo è privo di divisori dello zero)
o poiché (C,+) e (C0, *) sono gruppi si può concludere che in un campo sono sempre risolvibili e ammettono un' unica soluzione equazioni del tipo a * x + b = c con a≠0