L’operazione potenza

Come abbiamo detto i problemi che hanno richiesto l’ampliamento di Q sono legati alla scoperta della incommensurabilità tra grandezze.

In particolare, per quanto concerne la determinazione della misura dell’ipotenusa di un quadrato di lato unitario si tratta di determinare un numero reale x tale che x² = 2.

L’espressione x² si chiama potenza a base reale x ed esponente naturale 2.

Per studiare l’operazione “potenza” ripartiamo dall’insieme dei numeri naturali.

• Potenza a base naturale ed esponente naturale non nullo

In N l’operazione di potenza viene definita come una “moltiplicazione ripetuta”, ricorrendo quindi al concetto di “successivo nella moltiplicazione” che in N è sempre definito.

Def.

↑: (N x N0) → N

( a , n ) → a ↑ n = aⁿ = c con a, c∈N, n ∈N0

Il numero c è detto potenza di base a ed esponente n In particolare,

a⁰ non rientra in questa definizione di potenza ∀ a∈N

0ⁿ = 0 dove 0 è il “successivo nella moltiplicazione” di 0 ripetuto n-volte aⁿ = c dove c è’il “successivo nella moltiplicazione” di a ripetuto n-volte 0⁰ non ha significato in nessun insieme numerico.

Proprietà della operazione potenza:

1) è interna in N

∀ a∈N, ∀ b∈N0 ⇒ a^b= c Ν∈ Infatti

la moltiplicazione è interna in N 2) non è commutativa:

∀ a∈N, ∀ b∈N0 ⇒ a^b ≠ b^a Infatti

contro-esempio: 2³ ≠ 3² 3) non è associativa:

∀ a∈N, ∀ b, c∈N0 ⇒ (a^b)^c ≠a^(b)c basta un contro-esempio

∀ a∈N ⇒ a¹= a per definizione

5) non ammette elemento inverso

∀ a∈N ⇒ esiste b∈N0 tale che

a^b= 1 solo se a =1 per definizione

6) ammette elemento assorbente sinistro: lo zero

∀ a∈N0 ⇒ 0 = 0 ^a per definizione

7) inoltre per le potenze vengono definite le seguenti proprietà specifiche:

a) ∀ a∈N, ∀ n, m∈N0 ⇒ aⁿ* a^m = a^n+m b) ∀ a, b ∈N, ∀ n∈N0 ⇒ aⁿ* bⁿ = (a * b)ⁿ c) ∀ a, n , m∈N0 con n > m ⇒ aⁿ ÷a^m =a^n−m d) ∀ a∈N e b, n ∈N0 con a multiplo di b ⇒ aⁿ ÷bⁿ =( ÷a b)ⁿ e) ∀ a∈N e n, m ∈N0 ⇒ (aⁿ)^m = a^n*m

Le cinque proprietà vengono dimostrate ricorrendo alla definizione di potenza Nota

Tramite la proprietà c) assume significato la potenza di base non nulla ed esponente nullo.

Infatti,

se a, n∈N0 si ha aⁿ÷ aⁿ = a^n-n ma aⁿ÷ aⁿ = 1 quindi a⁰ = 1

• Potenza a base intera ed esponente naturale Def.

↑: (Z x N0) → Z

( a , b ) → a ↑b = a^b = c con a, c ∈Z ∧ b∈N0

In particolare: a⁰ = 1 con a ∈Z0

Nota

Il segno della potenza si determina in base alla regola dei segni della moltiplicazione

La potenza dell’immaginario

•

Potenza a base razionale ed esponente naturale Def.

↑: (Q x N0) → Q

( a , n ) → a ↑ b = aⁿ = c In particolare

^a0 = +1 con a∈Q0

Restano inalterate le proprietà viste nell’insieme precedente, ma assume sempre significato pure la proprietà d) delle potenze:

∀ a∈Q, b∈ Q0 ∧ n ∈N ⇒ aⁿ ÷bⁿ =( ÷a b)ⁿ

• Potenza a base reale ed esponente naturale

Def.

↑: (R x N0) → R

( a , n ) → a ↑n = aⁿ = c In particolare

a⁰ = +1 con a∈R0

Restano inalterate le proprietà viste nell’insieme precedente.

•

Digressione: la funzione potenza con base reale ed esponente naturale Def.

Una funzione

f: R → R

x → xⁿ con n∈N0 è detta funzione potenza

Funzione potenza ad esponente pari f: R → R Sia

x → xⁿ con n = 2k e k ∈N0 Studio della funzione:

-- I.D.:

dal momento che la potenza in R è sempre definita, l’ I.D. è R -- I.I.:

Risolviamo l’equazione y = xⁿ con y parametro reale.

Si ha

xⁿ = y

x = ±ⁿ y (1) operazione possibile solo se y ≥ 0 Quindi l’I.I. è R⁺

Dalla (1) si ricava che la funzione non è iniettiva e quindi non invertibile Tuttavia con una restrizione dell’I.D si possono considerare altre due funzioni

f1: R⁻ → R⁺ e f2: R⁺ → R⁺

x → xⁿ x → xⁿ

entrambe biiettive e quindi invertibili -- pari - dispari:

f(x) è pari.

Infatti

se f(x) = xⁿ allora f(−x) = xⁿ. f(x) sarà quindi simmetrica rispetto all’asse y

-- segno:

f(x) = 0 per x =0 f(x) > 0 per ∀ x∈R0

-- crescente - decrescente

Studiamo la funzione per x ≥ 0;

per x < 0 si sfrutta la simmetria di asse y La funzione è strettamente crescente.

Infatti

∀ x1 < x2 ∈R⁺ ⇒ x1n < x2n : ciò è vero per proprietà aritmetiche Per x < 0 la funzione sarà strettamente decrescente.

-- Grafico di f(x) = xⁿ

Nota 1

per proprietà aritmetiche si dimostra che:

∀ 0 < x< 1 ⇒ xⁿ < x ∀ x > 1 ⇒ xⁿ > x.

In grafico, questo comporta che rispetto alla retta y = x -- ∀ 0 < x < 1 f(x) sta ‘sotto’ la retta y = x -- ∀ x > 1 f(x) sta ‘sopra’ la retta. y = x

La potenza dell’immaginario

Nota 2

∀ 0 < x< 1 ⇒ x > x² > x⁴ > x⁶ > (per proprietà aritmetiche) ∀ x > 1 ⇒ x < x² < x⁴ < x⁶ <

In base anche a queste ultime osservazioni siamo in grado di confrontare i grafici di f(x) = xⁿ con n = 2k al variare di k in N0

Funzione potenza ad esponente dispari

Sia f:

R → R

x → xⁿ con n = 2k+1 e k ∈N0

Studio della funzione:

-- I.D.:

dal momento che la potenza in R è sempre definita, l’ I.D. è R -- I.I.:

Risolviamo l’equazione y = xⁿ con y parametro reale Si ha

xⁿ = y

x = ⁿ y (1) operazione sempre possibile Quindi l’I.I. è R

-- Iniettiva:

Sempre dalla (1) si ricava che la funzione è iniettiva -- segno:

f(x) = 0 per x =0 f(x) > 0 per ∀ x > 0

-- pari - dispari:

f(x) è dispari.

Infatti

se f(x) = xⁿ allora f(-x) =- xⁿ. f(x) sarà quindi simmetrica rispetto all’origine.

-- crescente - decrescente

Studiamo la funzione per x ≥ 0;

per x < 0 si sfrutta la simmetria di centro l’origine Per x ≥ 0 la funzione è strettamente crescente.

Infatti

∀ x1 < x2 ∈ R⁺ ⇒ x1n < x2n per proprietà aritmetiche Per x < 0 la funzione sarà strettamente crescente.

--

Grafico di f(x) = xⁿ

Nota 1

per proprietà aritmetiche si dimostra che:

∀ 0 < x< 1 ⇒ xⁿ < x ∀ x > 1 ⇒ xⁿ > x.

In grafico,

questo comporta che rispetto alla retta y = x

-- ∀ 0 < x < 1 f(x) sta ‘sotto’ la retta y = x -- ∀ x > 1 f(x) sta ‘sopra’ la retta y = x

Nota 2

∀ 0 < x< 1 ⇒ x > x³ > x⁵ > x⁷ >… per proprietà aritmetiche.

∀ x > 1 ⇒ x < x³ < x⁵ < x⁷ <…

La potenza dell’immaginario

In base anche a tutte queste considerazioni siamo ora in grado di confrontare i grafici di

 f(x) = xⁿ con n = 2k + 1 con k∈ N0

 f(x) = xⁿ con n = 2k k ∈N0

• Potenza a base razionale ed esponente intero

Def.

↑: (Q0 x Z0) → Q

( a , b ) → a ↑b = a^b = c In particolare

a⁰ = +1 con a∈Q0

Restano inalterate le proprietà viste nell’insieme precedente, ma assume sempre significato pure la proprietà c) delle potenze:

∀a ∈Q₀ ∧ ∀ ,m n∈N ⇒ a^m:aⁿ =a^m−n Vale infatti la proprietà:

_{n n} a = a1)⁻

( con a ∈ Q0 In generale quindi,

la potenza a base razionale non nulla ed esponente intero negativo è uguale a una potenza con base reciproca ed esponente opposto.

• Potenza a base reale ed esponente intero

Def.

↑: (R0 x Z0) → R

( a , b ) → a ↑b = a^b = c In particolare

^a0 = +1 con a∈R0 Restano inalterate le proprietà viste nell’insieme precedente.

La potenza dell’immaginario

•

Digressione: la funzione potenza con base reale ed esponente intero negativo

Risolviamo l’equazione y = 1/xⁿ considerando y parametro reale qualsiasi.

Si ha:

-- segno:

se

-- n = 2k+1 con k ∈ N, f(x) > 0 ∀ x∈R0+

-- n = 2k con k ∈ N0, f(x) > 0 ∀ x∈R0 -- pari - dispari:

se

-- n = 2k+1 con k ∈N, f(x) è dispari;

f(x) sarà quindi simmetrica rispetto all’origine -- n = 2k con k ∈ N0, f(x) è pari;

f(x) sarà quindi simmetrica rispetto all’asse y -- crescente - decrescente:

se

-- n = 2k+1 con k ∈ N, f(x) è crescente per x < 0 e per x > 0 -- n = 2k con k ∈ N0, f(x) è crescente per x > 0,

decrescente per x < 0

--

Grafico di

f

(x) = xⁿ con n = 2k + 1

--

Grafico di

f

(x) = xⁿ con n = 2k

La potenza dell’immaginario

• Potenza a base reale positiva ed esponente razionale non nullo

Per definire la potenza a base reale positiva ed esponente razionale non nullo occorre ricordare -- la definizione di radice n-sima di un numero reale positivo o nullo

-- le proprietà dei radicali:

Def.:

ⁿ a = solo se x xⁿ = con a n ∈N₀, a,x∈ R⁺

Diamo quindi la definizione di potenza a base reale positiva ed esponente razionale non nullo.

Def.

•

Potenza a base reale positiva ed esponente reale

Def.:

Dati a, r∈R, se:

a > 1 e r > 0

a^r è l’elemento separatore di due classi contigue (A,B) La classe A composta dalle potenze a^h aventi

-- come base a

-- come esponente tutti i numeri razionali che approssimano r per difetto La classe B composta dalle potenze a^h aventi

-- come base a

-- come esponente tutti i numeri razionali che approssimano r per eccesso

Def.:

Dati a, r∈R, se:

0 < a < 1 e r > 0

a^r è l’elemento separatore di due classi contigue (A,B) La classe A composta dalle potenze a^h aventi

-- come base a

-- come esponente h tutti i numeri razionali che approssimano r per eccesso La classe B composta dalle potenze a^h aventi

-- come base a

-- come esponente h tutti i numeri razionali che approssimano r per difetto

Esempio --

2

3 1



 



 è l’elemento separatore delle seguenti classi contigue:

A composta da potenze aventi 1/3 come base e come esponente tutti i numeri razionali che approssimano 2 per eccesso,

B composta da potenze aventi 1/3 come base e come esponente tutti i numeri razionali che approssimano 2 per difetto

La potenza dell’immaginario

Quindi

2

3 1



 



 è individuato da

(1/3)² < (1/3)^√2 < (1/3)¹ (1/3)^1,5 < (1/3)^√2 < (1/3)^1,4

(1/3)^1,42 < (1/3)^√2 < (1/3)^1,41 (1/3)^1,415 < (1/3)^√2 < (1/3)^1,414 (1/3)^1,4143 < (1/3)^√2 < (1/3)^1,4142 ………… < (1/3)^√2 < …………

--

( )

3 ²è l’elemento separatore delle seguenti classi contigue:

A composta da potenze aventi 3 come base e come esponente tutti i numeri razionali che approssimano 2 per difetto

B composta da potenze aventi 3 come base e come esponente tutti i numeri razionali approssimano 2per eccesso.

Quindi

( )

3 ²è individuato da (3)¹ < (3)^√2 < (3)²

(3)^1,4 < (3)^√2 < (3)^1,5 (3)^1,41 < (3)^√2 < (3)^1,42 (3)^1,414 < (3)^√2 < (3)^1,415 (3)^1,4142 < (3)^√2 < (3)^1,4143 ………< (3)^√2 < …………

Definita quindi la potenza a base reale positiva ed esponente reale si verifica che questa potenza soddisfa le cinque proprietà delle potenze.

•

Digressione: funzione a base reale positiva ed esponente reale

La potenza dell’immaginario

Teorema

La potenza dell’immaginario

•

Funzione esponenziale con base compresa tra zero e uno Sia

f: R → R0+

x → a^x ed 0 < a < 1 reale.

Lo studio di questa funzione, considerando la proprietà ^{n n}

a =(a1)⁻

viene fatto tramite una simmetria di asse y della corrispondente funzione con base a > 1.

Le sue proprietà sono:

 I.D.: R

 I.I.: R0+

 Suriettiva, iniettiva, invertibile

 Positiva

 Strettamente decrescente.

In particolare

-- =+∞

−∞

→ y

xlim

-- ⁺

+∞

→ = 0

lim y

x la retta y = 0 è retta asintoto -- passa per il punto (0, 1)

La potenza dell’immaginario

Senza parole

Nel documento MateMatiCa in azienda (pagine 72-91)