Numeri naturali (N)

G. Peano nel 1889 propose l’assiomatizzazione dei numeri naturali.

Essa si basa su:

-- tre concetti primitivi

C1): zero C2): numero

C3): essere successivo di

-- cinque postulati

P1): zero è un numero naturale

P2): se a è un numero naturale, il suo successivo è un numero naturale P3): zero non è il successivo di nessun numero

P4): due numeri aventi il successivo uguale sono uguali

P5): se un insieme S contiene lo zero e il successivo di ogni numero, allora S coincide con l’insieme dei numeri naturali

•

Operazioni in Ν

• Addizione:

L’operazione in N viene definita ricorrendo al concetto di ‘successivo’che, per la proprietà P2, esiste∀ a Ν∈ .

Def.:

+: (N x N) → N

(a , b) → a + b = c con a, b, c Ν∈

In particolare,

0 + a = a dove a è il ‘successivo’ di zero ripetuto a-volte a + b = c dove c è il ‘successivo’ di a ripetuto b-volte

La potenza dell’immaginario

Proprietà dell’addizione 1) è interna in N:

∀ a, b Ν∈ ⇒ a + b = c Ν∈ Dim.: per l’assioma P2.

2) è commutativa:

∀ a, b Ν∈ ⇒ a + b = b + a Dim.:

per la P4: partendo da zero in entrambi i casi si esegue l’operazione di successivo (a + b )-volte.

3) è associativa:

∀ a, b, c Ν∈ ⇒ ( a + b ) + c = a + ( b + c ) Dim.:

per la P4: partendo da zero in entrambi i casi si esegue l’operazione di successivo (a + b + c)-volte.

4) ammette come elemento neutro lo zero:

∀ a Ν∈ ⇒ 0 + a = a + 0 = a Dim.: per la P3.

5) non ammette elemento inverso:

∀ a Ν∈ ⇒ esiste b Ν∈ tale che a + b = b + a = 0 solo se b = a = 0 Dim.

L’operazione di addizione prevede solo il passaggio al successivo.

6) Vale la legge di cancellazione della somma

a + b = c + b ∀ a, b, c Ν∈ ⇔ a = c Dim.: per la P3.e la P5

Nota

La struttura (N, +) non è un gruppo.

Quindi,

in N l’equazione a + x = b con a, b, x Ν∈ non sempre ha soluzione.

• Sottrazione:

Viene definita come l’operazione inversa dell’addizione ricorrendo al concetto di

‘precedente’ che, per la proprietà P3, esiste solo ∀ a Ν∈ ₀ Def.:

−: (N x N) → N

( a , b ) → a – b = c con a, b, c Ν∈

In particolare

-- 0 − a = 0 solo se a = 0

-- c = a – b è il precedente di a eseguito per b-volte.

E’ quindi definito solo se b ≤ a.

Proprietà della sottrazione

1) non è interna in N

∀ a, b Ν∈ ⇒ a − b = c Ν∈ solo se a ≥ b Dim.: per l’assioma P3.

• Moltiplicazione:

Viene definita come una ‘addizione ripetuta’ , ricorrendo quindi al concetto di ‘successivo nell’addizione’ che in N è sempre definito.

Def.:

*: (N x N) → N

(a , b) → a * b = c con a, b, c Ν∈ In particolare,

-- 0 * a = 0 dove 0 è il ‘successivo nell’addizione’ di 0 ripetuto a-volte -- a * b = c dove c è il ‘successivo nell’addizione’ di a ripetuto b-volte

Proprietà della moltiplicazione:

1) è interna in N

∀ a, b Ν∈ ⇒ a * b = c Ν∈ Dim.:

in quanto l’addizione è interna in N 2) è commutativa :

∀ a, b, c Ν∈ ⇒ a * b = b * a = c Dim.:

per le proprietà dell’addizione. Il numero c è multiplo sia di a sia di b 3) è associativa :

∀ a, b, c Ν∈ ⇒ (a * b) * c = a * ( b * c ) Dim.:

per le proprietà dell’addizione 4) ammette elemento neutro: il numero 1

∀ a Ν∈ ⇒ a * 1 = 1 * a = a Dim.:

per definizione

La potenza dell’immaginario

5) non ammette elemento inverso.

∀ a Ν∈ ⇒ esiste b Ν∈ tale che a * b = b * a = 1 solo se a = b = 1 Dim.:

l’operazione di moltiplicazione prevede solo il passaggio ‘successivo nell’addizione’.

6) ammette elemento assorbente: lo zero

∀ a Ν∈ ⇒ 0 * a = a * 0 = 0 Dim.:

per definizione e per la commutatività della moltiplicazione 7) proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione:

∀ a, b, c Ν∈ ⇒ a * ( b + c) = ( a * b ) + ( a * c ) Dim.:

per definizione

8) Vale la legge di cancellazione del prodotto.

Da a * b = c * b, ∀ a, b, c Ν∈ ∧ b≠0 , ⇔ a = c Dim.:

per l’analoga proprietà dell’addizione

Nota

La struttura (N ,*) non è un gruppo.

Quindi,

in N l’equazione a * x = b con a, b, x Ν∈ non sempre ha soluzione.

•

Divisione:

Viene definita come l’operazione inversa della moltiplicazione, ricorrendo quindi al concetto di “precedente nell’addizione” che in N non è sempre definito.

Def.

÷: (N x N0) → N

(a , b) → a ÷ b = c ⇔ b * c = a con a, b, c Ν∈ ∧ b ≠ 0

In particolare,

0 ÷ a = 0 ∀ a ∈N0

a ÷ b = c tale che c * b = a) è definito solo se a è multiplo di b.

Proprietà della divisione:

1) non è interna in N

∀ a, b N ⇒ a ÷ b = c Ν∈ solo se a è multiplo di b Dim.:

per definizione

2) la divisione a ÷ b è definita solo se b ≠ 0 Dim.:

lo zero è l’elemento assorbente nella moltiplicazione. Quindi la divisione per zero non sarà mai definita qualunque sia l’insieme numerico.

3) teorema di divisibilità:

∀ a, b N0 esistono unici q, r Ν∈ (q detto il quoziente ed r il resto della divisione di a per b)

tali che

a = b * q + r con 0 ≤ r < b Dim.:

fissato a, si considerino i successivi multipli di b.

Si possono verificare due situazioni:

-- a è multiplo di b e quindi r =0

-- a non è multiplo di b. Di conseguenza, a cade tra due multipli successivi di b e 0 < r < b

c.v.d.

•

Alcune proprietà dell’insieme dei numeri naturali Def.:

un insieme S si dice infinito se gli elementi di un suo sottoinsieme proprio S’

possono essere messi in corrispondenza biunivoca con gli elementi di S.

L’insieme N è infinito.

Dim.:

Infatti, preso l’insieme N0⊂ N, tra N e N0 si consideri la seguente corrispondenza N ↔ N0

n ↔ n+1 con n N∈ Tale corrispondenza è palesemente biunivoca.

c.v.d.

Si dice anche che l’insieme N ha la cardinalità del numerabile.

La potenza dell’immaginario

Questa proprietà permette di disporre l’insieme dei numeri N su di una retta orientata.

Tale retta è detta retta naturale

• Numeri primi

All’interno dell’insieme dei naturali rivestono un’importanza primaria i numeri primi.

Def.:

Primo è quel numero naturale che ammette come unici divisori l’unità e se stesso.

Proponiamo alcune questioni relative ai numeri primi:

Teorema fondamentale dell’aritmetica (Euclide - III sec. a. C.):

“ogni numero naturale prevede un’unica fattorizzazione in primi”.

Costruzione dei numeri primi (crivello di Eratostene - II sec. a. C.)

I numeri primi sono infiniti (Euclide)

Formule per la costruzione di numeri primi:

-- formula di Fermat; F(n)=2^{2 n}+1 (risultato vero fino a n…)

-- formula di Gauss: F(n)= n²− n+41 (vera fino a n…) -- formula di Mersenne F(p)=2^p−1 con p primo.

Due congetture non risolte sui numeri primi:

-- ogni pari si può considerare come somma di due numeri primi -- molti numeri primi si presentano in coppia del tipo (n, n+2),

come 3-5, 11-13, 29-31,….;

Tali coppie sono infinite?

•

Il principio di induzione

Il principio di induzione è un potente strumento di dimostrazione, al quale si ricorre ogni volta che si debba dimostrare una proprietà “agganciata” ai numeri naturali in un numero infinito di casi.

Conseguenza del quinto assioma di Peano permette di dimostrare se una certa proposizione P(n) che dipende dai numeri naturali è vera.

Principio di induzione

Data una proposizione P(n). Se

P(n) si dimostra essere vera per un valore iniziale n0

• supposta vera P(n) per un n qualsiasi, si dimostra essere vera P(n+1) allora

P(n) è vera per qualsiasi n ≥ n0

Si supponga per assurdo che P(n) sia falsa.

Si individuerà un h tale P(h) sia falso. Ma allora anche P(h-1) sarà falso perché in caso contrario P(h) sarebbe vera.

Andando a ritroso anche P(h-2) sarà falsa e così continuando sarà falsa anche P(n0) contro le ipotesi fatte.

La potenza dell’immaginario

Nel documento MateMatiCa in azienda (pagine 45-52)