I numeri complessi (C)

Come abbiamo già osservato, nell’insieme dei numeri reali non tutte le equazioni ammettono soluzione.

Ad esempio,

l’equazione

x² + 1 = 0

non ammette soluzioni in R.

Affinché anche questo tipo di equazione abbia soluzione si amplia l’insieme di lavoro come del resto si è sempre fatto fino ad ora quando se ne è presentato la necessità.

Si definisce pertanto un nuovo insieme numerico, si indica con la lettera C, insieme dei numeri complessi

che si configura come un ampliamento dei numeri reali.

Tale insieme viene costruito introducendo solo un nuovo simbolo, detto unità immaginaria, indicato con la lettera i, tale che

−1= i → i² = -1

Con i diagrammi di Eulero-Venn le successive estensioni degli insiemi numerici studiati si presentano nel seguente modo:

N N Z N Z Q N Z Q R N Z Q R C Def:

Un numero complesso è un binomio del tipo

a + ib con a, b ∈ R . Si dice che:

-- a è la parte reale,

-- ib è la parte immaginaria,

-- b è il coefficiente della parte immaginaria, -- i è l’unità immaginaria.

La potenza dell’immaginario

Nota

C’è corrispondenza biunivoca tra:

-- numero complesso e una coppia ordinata di numeri reali

-- coppia ordinata di numeri reali e punto del piano cartesiano ortogonale,detto piano di Argand-Gauss

-- punto del piano vettore In modo formale:

(a + ib) ↔↔↔↔ (a, b) ↔↔↔↔ P(a, b) ↔↔↔ OP ↔ Def.:

Due numeri complessi a + ib e c + id sono uguali

se e solo se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria.

In modo formale:

a + ib = c + d ⇔ a = c ∧ b = d Def.:

Due numeri complessi si dicono

coniugati

se hanno la stessa parte reale e opposti i coefficienti dell’unità immaginaria.

In modo formale:

Il vettore v = a + ib è il coniugato di v = a - ib e viceversa In grafico: i due vettori sono simmetrici rispetto all’asse delle ascisse y

v

O x v

Def.:

-- L’ opposto del numero complesso

z = a+ib è il numero complesso − z = − a – ib

-- Il modulo di un complesso z = a + ib è z ₌ a +² b²

•

Operazioni in C

Essendo C un ampliamento di R, le quattro operazioni sui numeri complessi sono definite in modo da conservare le proprietà delle analoghe operazioni definite sui numeri reali.

•

^Addizione

Def.:

+: (C x C) → C

(z , v) → z + v = w con z, v, w ∈ C Posto:

z = a + ib; v = c + id → w = (a + c) + i(b + d) In modo non formale:

la somma è quel numero complesso che ha per:

-- parte reale la somma delle parti reali e

-- parte immaginaria la somma delle parti immaginarie.

In grafico la addizione di due numeri complessi è rappresentata dal vettore addizione due vettori (legge del parallelogramma)

y

w

v z

O x

Proprietà dell’addizione

Valgono tutte le proprietà già evidenziate in R.

In particolare.

-- l’elemento neutro è il numero complesso u = (0 + i0) -- l’inverso di z = a + ib è − z = −a – ib

Ne consegue che (C, +) è un gruppo abeliano.

La potenza dell’immaginario

•

Sottrazione

La sottrazione è definita come l’operazione inversa dell’addizione Def.:

−: (C x C) → C

(z , v) → z − v = w con z, v, w ∈ C Posto:

z = a + ib; v = c + id → w = (a − c) + i( b − d) Proprietà della sottrazione

Sono le stesse già evidenziate in R In grafico

Differenza di due numeri complessi è rappresentata dal vettore differenza tra due vettori.

y

w

v z

O x

Nota

Il vettore w = v – z, differenza tra due vettori dati, è un vettore orientato da z verso v.

Ricordando come è stata definito il modulo di un vettore si ha che:

Def.:

Il modulo della differenza di due numeri complessi è

la distanza tra i punti che sul piano di Gauss corrispondono ai due numeri dati.

•

Moltiplicazione Def.:

*: (C x C) → C

(z , v) → z * v = w con z, v, w ∈ C Posto:

z = a + ib; v = c + id → w = (ac – bd) + i(adb + bc) Infatti:

dati z = a + ib; v = c + id → w = z* v → = (a + ib) * (c + id) → = ac + iad+ ibc + i²bd → = (ac – bd ) + i(ad + bc)

Proprietà della moltiplicazione

Valgono tutte le proprietà già evidenziate in R.

In particolare:

-- l’elemento neutro è: u = 1 + 0i

-- l’elemento inverso di z = a +ib è : z^-1 = a/(a²+ b²) – i/ ( (a²+ b²) Infatti,

il reciproco di (a + ib) è (x + iy) tale che

(a + ib) * (y + ix) = (1 + 0i) Dovrà quindi essere

ax –by= 1 a -b

con = a² + b² ≠ 0 da cui ay +bx = 0 b a

1 -b 0 a

x = = a / (a² + b²) a² + b²

a 1 b 0

y = = − b / (a² + b²) a² + b²

Ne consegue che (C0, *) è un gruppo abeliano.

Inoltre vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

Si può quindi concludere che (C, +, *) è un campo.

La potenza dell’immaginario

•

^Divisione

La divisione è definita come l’operazione inversa della moltiplicazione.

Def.:

÷: (C x C0) → C

(z , v) → z ÷ v = w con z, w ∈ C , v ∈ C0

Posto:

z = a + ib; v = c + id → w = (ac + bd) /(c² + d²) + i(bc −ad)/ (a² +d²) Infatti

Posto:

z = a + ib; v = c + id → z ÷ v = x + iy tale che (x + iy) * (c + id) = (a + ib).

Svolgendo (xc − yd) + i(xd + yc) = (a + ib) → xc – yd = a c -d

con = c² + d² ≠ 0 → xd + yc = b d c

a -d b c

x = =(ac + bd) / (c² + d²) c² + d²

c a d b

y = = (bc – ad) / (c² + d²) c² + d²

Nota

Il quoziente tra due complessi z1 e z2 si può ottenere anche moltiplicando z1 per l’inverso di z2

Proprietà della divisione

Valgono tutte le proprietà già evidenziate in R.

In particolare continua a non essere definita la divisione per zero.

•

Forma trigonometrica dei numeri complessi Abbiamo visto che un numero complesso:

-- ammette forma algebrica del tipo a + i b -- è rappresentato da un vettore z = (a, b) del piano Ricordiamo ora che, dato nel piano cartesiano ortogonale un punto P(x,y),

P O α

se si indica

-- con ρ la distanza tra P e l’origine O degli assi e

-- con α l’angolo formato tra il segmento OP e la direzione positiva dell’asse delle ascisse le coordinate di P(x, y) si esprimono:

x = ρ cos α y = ρ sen α Si dà quindi la

Def.:

Il numero complesso

z = a + ib

può essere scritto come

z = ρ(cosα + i senα) dove ρ = a +² b² detta forma trigonometrica del numero complesso z.

-- ρρρρ è detto “modulo” del numero complesso

-- α è l’argomento del numero e chiamata “anomalia”

Nota

Mentre ρ è univocamente determinato, l’anomalia θ è determinata a meno di un multiplo intero di 2π.

Ne consegue quindi che:

-- due numeri complessi, espressi in forma trigonometrica, sono uguali se e solo se hanno argomenti uguali a meno di un multiplo intero qualsiasi di 2π e modulo uguale.

-- numeri complessi con ugual modulo stanno sulla stessa circonferenza con centro nell’origine O del piano di Argand-Gauss

-- numeri complessi con argomento uguale (a meno di multipli interi di 2π) stanno sulla stessa semiretta avente origine in O.

La potenza dell’immaginario

•

Operazioni con i numeri complessi in forma trigonometrica

Tralasciamo di trattare l’addizione e la sottrazione per prendere in esame le altre operazioni perché suscettibili di una rappresentazione grafica significativa.

•

Moltiplicazione tra due complessi scritti in forma trigonometrica Teorema

Il prodotto tra due complessi scritti in forma trigonometrica è un complesso che ha

-- per modulo il prodotto dei moduli e -- per anomalia la somma delle due anomalie.

Dim:

Siano dati

z1 = ρ1 (cosα1 + i senα1 ) e z2 = ρ2 (cosα2 + i senα2 ) Allora

z1* z2 = ρ1(cosα1 + i senα1)* ρ2 (cosα2 + i senα2) → = ρ1ρ₂ (cosα1 + i senα1) (cosα2 + i senα2) → = ρ1ρ₂ [(cosα1 cosα2 - senα1 senα2 )+i(senα1 cosα2 + senα2 cosα1)] → = ρρρρ1ρρρρ2 [[[[cos (αααα1 + αααα2) + i(sen (αααα1 + αααα2 )]]]]

c.v.d.

L’operazione così definita permette un’immediata interpretazione grafica del prodotto tra due vettori…

y

z1 z2 z1 z2

O x

Nota

Moltiplicare un complesso z per l’unità immaginaria equivale ad una rotazione di z di π/2 Infatti si ha

w = z * i = ρ[cos (α1 + π/2) + i(sen (α1 + π/2)]

w

i z

•

Divisione tra due complessi scritti in forma trigonometrica Teorema

Il quoziente tra due complessi scritti in forma trigonometrica è un complesso che ha

-- per modulo il quoziente dei moduli,

-- per anomalia la differenza delle due anomalie.

Dim:

Siano dati

z1 = ρ1 (cosα1 + i senα1) e z2 = ρ2 (cosα2 + i senα2) con z2 ≠ 0 Allora

z1 / z2 = ρ1 (cosα1 + i senα1) / ρ2 (cosα2 + i senα2) →

= ρ1/ρ2 (cosα1 + i senα1 ) / (cosα2 + i senα2) → = ρ1/ρ2 [(cosα1+isenα1 )/(cosα2+isenα2 )]* [ (cosα2− isenα2 ) / (cosα2−isenα2 )] → = ρ1/ρ2 [(cosα1 cosα2 + senα1 senα2 )+i(senα1 cosα2 - senα2 cosα1)] → = ρρρρ1/ρρρρ₂ [[[[cos (αααα₁ - αααα₂ ) + i(sen (αααα₁ - αααα₂)]]]]

c.v.d.

L’operazione così definite permette un’immediata interpretazione grafica del quoziente tra due vettori.

y

z2 z1

O x z1 / z2

La potenza dell’immaginario

•

Potenza n-esima di un complesso scritto in forma trigonometrica Teorema

La potenza n-sima di un complesso, con n∈ N0, scritto in forma trigonometrica è un complesso che ha per

-- modulo la potenza n-sima del modulo -- anomalia il prodotto dell’anomalia data per n Dim:.

Siano dati

z = ρ(cosα + i senα) e un numero n∈N0

allora:

zⁿ = [ρ(cosα + i senα)]ⁿ = ρⁿ [cos(nα) + i sen(nα)] (1) La dimostrazione la conduciamo per induzione.

1. Per n = 1 la (1) è vera.

Infatti, z¹ = ρ (cosα + i senα)

2. Si supponga che valga z^n-1 = ρ^n-1[cos(n-1) α) + i sen(n-1)α )] per un (n-1) qualsiasi 3. Si deve dimostrare ch vale

zⁿ = ρⁿ[cos(nα) + i sen(nα)]

Infatti,

zⁿ = [ρ (cosα +i senα)]n →

= [ρ (cosα +i senα)]^n-1ρ (cosα +i senα) →

= ρⁿ [cos(n-1) α) + i sen(n-1)α )] (cosα +i senα) → = ρⁿ [cos(n α) + i sen(nα)]

c.v.d.

•

Proprietà della potenza n-esima Dato il numero complesso:

z = ρ(cosα + i senα) e la sua potenza n-esima zⁿ = ρⁿ [cos(nα) + i sen(nα)]

ci sono esattamente altri (n-1) numeri complessi la cui potenza n-esima vale zⁿ . Essi sono:

z1 = ρ[cos(α+2π/n) + i sen(α + 2π/n)]

z2 = ρ[cos(α +4π/n) + i sen(α + 4π/n)]

z3 = ρ[cos(α +6π/n) + i sen(α + 6π/n)]

… = … …. … … …. …. …. … zn-1 = ρ[cos(α +(n-1)2π/n) + i sen(α + (n-1)2π/n)]

Essi si ottengono partendo dal complesso z, tenendo fisso il modulo e aumentando l’anomalia di tutti i multipli di 2ππππ/n minori dell’angolo giro. Tali multipli sono esattamente ( n-1 ). hanno tutti stesso modulo e le loro anomalie differiscono di 2π/5.

Pertanto le loro punte descrivono i vertici di un pentagono regolare.

La potenza dell’immaginario

Nota

Si osserva che le potenze successive dell’unità immaginaria i assumono ciclicamente i valori: +i, −1 , −i , +1…

Per risolvere l’equazione (1) ricordiamo che due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno moduli uguali e anomalie uguali a meno di un multiplo intero di 2π

Dunque dovrà essere

Dopo n passi si ottiene α/n + 2π e quindi si torna alla prima radice.

Nota

La potenza dell’immaginario

•

Digressione…

Nota

Per quanto abbiamo visto relativamente alle potenze, se -- z è un qualsiasi numero complesso e

-- n un naturale, allora

z ammette esattamente n radici n-esime.

Ciò equivale ad affermare che l’equazione

xⁿ = z in C

ammette esattamente n soluzioni

L’esistenza di esattamente n soluzioni dell’equazione xⁿ = z si generalizza nel seguente Teorema fondamentale dell’algebra

Ogni equazione algebrica

an xⁿ + an-1 x^n-1 + …. + a1 x + a0 = 0 con ai ∈ C et an ≠ 0 ha esattamente n soluzioni.

Nel caso in cui i coefficienti siano reali, in particolare vale il Teorema

Ogni equazione algebrica

an xⁿ + an-1 x^n-1 + …. + a1 x + a0 = 0 con ai ∈ R ∧ an ≠ 0 è tale che, se x è radice dell’equazione allora anche il suo coniugato lo è.

•

Forma esponenziale dei numeri complessi

Questo tipo di rappresentazione è una delle più interessanti dal punto di vista applicativo, come successivamente vedremo, ma non semplice da essere motivata in questo percorso.

Una motivazione formale verrà data successivamente.

Def.:

Un numero complesso di modulo unitario è tale che e^iα = cosα + i senα Quindi un numero complesso

z = ρ (cosα + isenα) espresso in forma esponenziale è

z = ρe^iα

Cerchiamo di dare, in questo contesto, una spiegazione del tutto intuitiva alla rappresentazione esponenziale di un numero complesso.

Siano ora z1 e z2 due numeri complessi di modulo unitario:

z1 = cosα + isenα z2 = cosβ + i senβ Dalla definizione di prodotto si ottiene il numero complesso

z1* z2 = cos(α + β) + i sen(α + β) In particolare per

β= −α → z1* z2 = 1

Questo comportamento è analogo a quello della funzione esponenziale reale.

Infatti

e^a e^b = e ^a+b e^a e^-a = 1

Questa analogia formale suggerisce di introdurre una rappresentazione del numero complesso di modulo 1 che faccia intervenire l'esponenziale del suo argomento.

La forma esponenziale di un numero complesso permette di dimostrare facilmente alcune proprietà già viste precedentemente.

Infatti,

dati due numeri complessi z1 = ρ1e^iα , z2 = ρ2e^iβ, -- il loro prodotto è dato da

z1* z2 = ρ1* ρ2 e^i(α+β)

da cui si deduce immediatamente che il prodotto tra due complessi è un complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e per anomalia la somma delle due anomalie.

La potenza dell’immaginario

-- il loro quoziente è dato da

z1/ z2 = ρ1/ ρ2 e^i(α-β)

da cui si deduce immediatamente che il quoziente tra due complessi è un complesso che ha per modulo il quoziente dei moduli e per anomalia la differenza delle due anomalie;

Inoltre,

dato il numero complesso z1 = ρ1e^iα la sua potenza n-sima è data da z1n = (ρ1e^iα)ⁿ = ρ1n e^i(αn)

da cui si deduce immediatamente che la potenza n-sima di un numero complesso è un complesso che ha per modulo la potenza n-sima del modulo e per anomalia n volte l’anomalia.

•

Alcune proprietà dell’insieme dei numeri complessi

^Non è totalmente ordinato.

Dim.:

per assurdo supponiamo che lo sia.

Allora due elementi qualsiasi di C possono sempre essere confrontabili.

Vediamo allora se i numeri i e 0 lo sono.

Certamente sono tra loro diversi.

Ipotizziamo che:

 i > 0 da

−1 = i² → = i * i > 0 * i = 0

il che è assurdo.

 i < 0 da

−1 = i² → = (−i)² →

= (−i ) * (−i ) > 0 *(-i) = 0 il che è assurdo.

Si conclude che C non è totalmente ordinato

L’insieme C ha la stessa cardinalità di R Dimostriamo prima il

Teorema

Un segmento può essere messo in corrispondenza biunivoca con una retta.

Dim.:

Si consideri un segmento AB di centro O.

Si traccino una semicirconferenza di centro O e diametro AB e una retta r tangente alla semicirconferenza e parallela al segmento AB.

Preso un punto P qualsiasi della retta r si consideri la retta s passante per P e O.

Si indichi con P1 il punto di intersezione tra s e la semicirconferenza.

Da P1 si tracci la retta n perpendicolare ad AB che interseca AB nel punto P2.

P2

A O B

P1

P La funzione

f : r → AB P → P2

è biettiva tra la retta r e il segmento AB privato degli estremi A e B.

c.v.d.

Teorema

un quadrato può essere messa in corrispondenza biunivoca con un segmento.

Dim.:

In un piano cartesiano si consideri il quadrato:

Q = {(x,y)∈R x R / 0≤ x <1 ∧ 0≤ y <1}

Sia P(x, y) ∈Q

Le sue coordinate saranno del tipo:

x = 0,x1 x2 x3 x4 x5 … y = 0,y1 y2 y3 y4 y5 …

Al punto P associamo il punto P1 (x1 , 0) con 0 ≤ x1 < 1 tale che x1 = 0,x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4…

Viceversa,

dato P1 con un procedimento simmetrico ricaviamo le coordinate di P.

In questo modo si è stabilita una corrispondenza biunivoca tra i punti P del quadrato e i punti P1 del segmento.

c.v.d.

La potenza dell’immaginario

Teorema

L’insieme C ha stessa cardinalità di R.

Dim.:

Abbiamo dimostrato che segmento, retta, quadrato hanno tutti la cardinalità del continuo.

L’insieme C coincide con il piano di Argand-Gauss.

Dividendo il piano C in tanti quadrati di lato unitario e la retta asse delle ascisse in tanti segmenti unitari,

è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei quadrati e l’insieme dei segmenti.

c.v.d.

Nota

La corrispondenza biunivoca si stabilisce con le stesse modalità seguite per determinare la cardinalità di Q.

APPLICAZIONE

Nel documento MateMatiCa in azienda (pagine 91-109)