MateMatiCa in azienda

MateMatiCa in aZienDa

“La PotenZa dell’iMMaGinaRio”

PRoGetto

LauRee SCientifiChe

Polo di Bassano

PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE

Polo di Bassano

MATEMATICA in AZIENDA

“La potenza dell’immaginario”

Un percorso dai Naturali ai Complessi per gustare la

concretezza dell’astrazione

a cura di

Roberta Carminati, Graziano Gheno, Matteo Mattarolo

PRESENTAZIONE

Il presente volume raccoglie il progetto elaborato dal Polo di Bassano del Grappa composto:

- Prof. Paolo Malesani, docente del Dipartimento di matematica dell’Università di Padova - Proff. Roberta Carminati, Graziano Gheno, Matteo Mattarolo, docenti del L.S.S.

“J. Da Ponte” di Bassano del Grappa - alunni :

Giovanni Beraldin, Filippo Bonamigo, Giacomo Caneva, Alberto Caron, Federico Cavalli, Nicholas Dalla Palma, Stefano Ferraro, Andrea Grandesso, Andrea Grego, Selene Magalini, Tullia Parolin, Alessandro Passuello, Alessio Piazza, Giacomo Pigatto, Erica Stropparo, Alberto Tiziani, Carlotta Zaborra, Michele Zanetti

- Ing. M. Busa e D. Zamberlan dell’azienda Calearo Group

Il progetto si riferisce, a partire dallo studio degli insiemi numerici, dai Naturali ai Complessi, all’esame dell’applicabilità dei Complessi nella risoluzione di problemi relativi a funzioni alternate, e quindi allo studio di antenne.

• Studio e analisi degli insiemi numerici effettuati dal Prof. P. Malesani dell’Università di Padova

• Studio e analisi di problemi in regime di funzioni alternate effettuati dai Prof. R.Carminati, G.Gheno, M.Mattarolo del Liceo “J. Da Ponte”

• Studio di antenne effettuato dagli Ing. M. Busa e D. Zamberlan

La potenza dell’immaginario

RINGRAZIAMENTI

Desideriamo vivamente ringraziare:

-- il Prof. Alberto Zanardo del Dipartimento di Matematica di Padova, responsabile regionale del P.L.S., per averci dato ancora l’opportunità di partecipare al progetto

-- il Prof. Benedetto Scimemi per averci trasmesso desiderio di proseguire il progetto -- il Prof. Paolo Malesani per la preziosa collaborazione

-- gli Ing. M. Busa e D. Zamberlan per la partecipazione al progetto

-- gli alunni: Giovanni Beraldin, Filippo Bonamigo, Giacomo Caneva, Alberto Caron, Federico Cavalli, Nicholas Dalla Palma, Stefano Ferraro, Andrea Grandesso, Andrea Grego, Selene Magalini, D. S. del Liceo “J. da Ponte” per il suo contagioso entusiasmo nel sostenere il progetto Tullia Parolin, Alessandro Passuello, Alessio Piazza, Giacomo Pigatto, Erica Stropparo, Alberto Tiziani, Carlotta Zaborra, Michele Zanetti che sono stati “l’anima “del progetto

-- il Prof. Gaetano Sicilia

Un ringraziamento particolare a:

Banca Popolare di Marostica Banca di Romano e Santa Caterina Calearo Group

che hanno finanziato la pubblicazione del presente volume

Il presente lavoro è disponibile nei siti: www.liceodaponte.it www.mathesis.irio.net

Ci scusiamo anticipatamente con i nostri lettori per inesattezze e imprecisioni che inevitabilmente costelleranno questo lavoro.

SOMMARIO

Introduzione

1) Il valore della scienza pag. 7

2) Una scienza utile pag. 9

3) Una collaborazione che continua a consolidarsi pag. 11

Abstract pag. 13

Relazioni

1) Relazioni binarie pag. 17

2) Funzioni numeriche pag. 24

Strutture

1) Operazione pag. 29

2) Strutture pag. 34

Insiemi numerici

1) Numeri Naturali pag. 43

2) Numeri Interi pag. 50

3) Numeri Razionali pag. 61

4) Numeri Reali pag. 67

5) L’operazione potenza pag. 70

6) Numeri Complessi pag. 89

Applicazione dei Complessi

1) Funzione periodica pag. 109

2) Forma esponenziale dei numeri complessi: la formula di Eulero pag. 112

3) La legge sinusoidale e fasori pag. 114

4) Moto circolare uniforme pag. 119

5) Moto armonico pag. 121

6) Sistemi oscillanti pag. 124

7) Metodo dei fasori per l’analisi del moto armonico pag. 128

8) Metodo dei fasori per l’analisi dei circuiti elettrici pag. 131

Onde elettromagnetiche

1) Cenni sulle onde elettromagnetiche pag. 151

2) Calearo Group: le antenne in azienda pag. 155

Il valore della scienza

Gli studenti spesso rilevano che la matematica è difficile e mostrano una certa insofferenza per il suo linguaggio non sempre apprezzato.

Nel nostro liceo la pratica di studio e di insegnamento della matematica non si basa però su un apparato di sole formule per risolvere problemi che già altri hanno risolto, ma si basa su di una scoperta ed un approfondimento di domande sempre nuove: come queste che si sono poste in questi anni:

- curve mirabili;

- matematica in azienda;

- il dado o montecarlo;

- la potenza dell’immaginario.

I nostri studenti hanno osservato e visto nelle “cose” legami significativi per poi tradurli in osservazioni e rappresentazioni.

Immagini evocative insomma per porsi domande e pensare. Non più acquisizioni dunque di insieme di “istruzioni per l’uso” ma studio per decifrare legami e relazioni che fanno della realtà non uno scuro labirinto, ma una traccia per dare spazio alla curiosità.

Un pensiero grato per tutto questo lavoro va ai miei cari docenti proff. Gheno, Carminati, Mattarolo, che con la solita passione hanno riaffermato il valore della scienza che non sarà mai separata dal gusto o dalla emozione.

Il Dirigente Scolastico Dott. Prof. Gaetano Sicilia

Una scienza “utile”

La potenza dell’immaginario. Un numero inventato - “i” - per risolvere determinate equazioni, molto semplice da definire, tuttavia estremamente efficace per risolvere problematiche relative ai circuiti elettrici. Con l’immaginario si amplia l’insieme dei numeri reali.

Il percorso seguito ripercorre l’assiomatizzazione dei numeri, introducendo i numeri complessi (i numeri immaginari) e trova un aggancio con la Fisica per i circuiti oscillanti, nonché un’applicazione nello studio delle antenne. Due scienze dure che si compensano vicendevolmente.

Questa, secondo gli autori della ricerca, la sintesi del lavoro qui presentato, cui ha dato vigore e significato l’azienda Calearo, di Isola Vicentina, che ha in particolare curato la parte applicativa del progetto.

La prospettiva è sicuramente stimolante, tale da suscitare curiosità nei giovani allievi, animati da volontà di ricerca, al pari dei docenti che da anni lavorano all’incentivazione delle lauree scientifiche. La modalità: partire da un problema reale, in connessione con un’azienda del territorio, fatto che permette di cogliere subito due obiettivi. Il primo: far comprendere agli studenti che la matematica non è solo “astrazione”, ma è scienza “utile” che vale la pena studiare e studiare a fondo. Il secondo: entrare nel vivo di una laboratorialità non fittizia, artificiosamente costruita dentro all’aula, ma promossa piuttosto da persone che quotidianamente cooperano allo sviluppo di soluzioni autentiche.

Per gli studenti, un mettersi alla prova, ma anche la possibilità di uscire da una modalità di apprendere tradizionalmente ancorata alla spiegazione alla lavagna e al successivo esercizio, per sperimentare una metodologia attiva che fa perno sul cooperative learning. Per i docenti: una possibilità di conferire concretezza a ciò che si va progettando in termini di promozione delle competenze.

Splendido e concreto esempio di ciò che si può fare quando si lavora al di fuori della retorica e delle dispute, talora polemiche, che accompagnano questa stagione di riforme.

È pur vero che l’ampio dibattito nato attorno al tema delle competenze - peraltro cruciale negli ultimi anni per molti sistemi scolastici europei e non solo - aiuta la scuola ad uscire dalla propria autoreferenzialità e ad impegnarsi sul fronte della ricerca sia disciplinare che didattica.

Senza tale impegno la riforma sulla quale si sta tanto arduamente lavorando si svuoterebbe di senso:

se non cambia la modalità dell'insegnamento-apprendimento, a poco serve aver modificato il curricolo.

Si tratta allora, come in questo caso, di sperimentare un approccio alla conoscenza che non si traduca in mero nozionismo, ma diventi appunto sapere autentico, capace di generare altro sapere e altre abilità, dando spazio a padronanze che consentano agli studenti di intus legere la realtà e di affrontare positivamente i problemi.

La potenza dell’immaginario

Non è tempo di ideologie, ma di serio impegno di lavoro, ognuno per il proprio campo.

Gli insegnanti devono poter partire da qui: dall’analisi disciplinare, onde trovare quali aspetti, quali concetti siano precipuamente “formativi” all’interno di ciascun contesto di studio e di ciascun curricolo, perché diventino dei “pilastri” su cui costruire conoscenza. Ancora: per poter proporre esperienze, connesse a tali nodi strutturali, tali da generare capacità di accostare altre conoscenze e di promuovere capacità operative e padronanze.

Costruire l’ambiente di apprendimento dentro e fuori dell'aula diviene allora possibile.

La leva? la capacità degli insegnanti di accendere, nei discenti, la curiosità intellettuale e la voglia di imparare e di fare, di affrontare la sfida del confronto con se stessi, partendo dall’autostima e dall'entusiasmo nei confronti della scoperta, che è al contempo, scoperta degli ambiti di studio e scoperta di se stessi.

In una parola, occorre chiamare in campo la parte più profondamente “vitale” dell’essere umano.

Il compito non è certo da poco. Ma è di tale importanza che non possiamo lasciarlo cadere.

Gianna Miola

Dirigente USR per il Veneto

Una collaborazione che continua a consolidarsi

L’ impegno didattico, finalizzato al progetto Lauree Scientifiche, coinvolge noi docenti da più anni (questo è il quarto anno consecutivo). Con grande soddisfazione, in questa nostra attività , nulla appare ripetitivo o monotono: diversità e attualità degli argomenti, maggiore efficacia e sintonia nella collaborazione, sempre vive energie e diversificate curiosità degli allievi, eccellenti professionalità legate ad originali attività applicative di ricercatori e progettisti d’azienda, rendono particolarmente stimolante ed interessante il nostro lavoro.

Il Dipartimento di Matematica dell’Università di Padova, in particolar modo tramite il docente professor Paolo Malesani, le cui amicizia, disponibilità e competenza puntualmente sono state confermate, ha guidato e rafforzato qualitativamente quanto didatticamente prodotto.

E’doveroso sottolineare il positivo e continuo impegno che ha contraddistinto tutti gli allievi partecipanti. I ragazzi con vivo interesse, molta attenzione e tanta collaborazione hanno facilitato in modo significativo la realizzazione del progetto. Parimenti è da elogiare la loro disponibilità:

impegnarsi intensamente alla settima od ottava ora di lezione nel medesimo giorno e in orario nel quale la curva di attenzione statisticamente presenta un minimo, risulta di estrema positività.

Per noi docenti ciò si traduce in grande soddisfazione producendo ottimismo e fiducia nei confronti di giovani che continuano ad esprimere le loro qualità migliori in un contesto di attualità sociale che certo non sempre li capisce e li aiuta.

Questi studenti del triennio hanno anche mostrato molta duttilità, trasferendo il loro interesse e il loro impegno dalla teoricità delle lezioni di matematica pura alla applicabilità e sperimentabilità della fisica, fino alla progettazione, realizzazione e produzione aziendale.

Questa molteplicità di situazioni sicuramente favorisce un allargamento di orizzonti cognitivi di questi ragazzi, potenzia il loro metodo di studio, promuovendo una più chiara e convinta scelta dei loro futuri impegni universitari.

Con riconoscenza valutiamo la collaborazione con la ditta “Calearo” che tramite il dott. L.Danieli e gli ing.^ri Busa e Zamberlan è riuscita a creare un proficuo ponte tra scuola e mondo del lavoro.

Questo collegamento, poco frequente nella didattica italiana, va sicuramente continuato e rafforzato per vari motivi. Ne consegue un sentito grazie alle maestranze di questa azienda, che ha mostrato interesse, sensibilità e disponibilità nei confronti della scuola.

Cogliere l’attenzione degli allievi per il mondo produttivo, osservare l’interesse dei medesimi per l’attività di ricerca e progettazione sono elementi di grande soddisfazione. Gli studenti inoltre hanno capito che ogni azienda deve comportarsi dinamicamente, in quanto continuamente deve confrontarsi con la concorrenza.

In particolare nel caso della ditta “Calearo” è emersa la necessità di attivare più laboratori di sperimentazione all’interno dell’azienda stessa, dimostrando così che anche nella produzione non bisogna mai pensare di aver raggiunto il massimo, ponendosi nelle condizioni di poter migliorare continuamente.

Positivo per il progetto Lauree Scientifiche è l’aver conosciuto la ditta “Calearo”: è auspicabile che questa esperienza favorisca l’utilizzo di efficaci “antenne” da parte degli allievi in modo da facilitare la comunicazione e la individuazione di interessanti campi di studio e di ricerca per un futuro impegno di lavoro innovativo e fortemente coinvolgente.

ABSTRACT

Il progetto Lauree Scientifiche-Matematica Polo di Bassano si articola nelle seguenti fasi:

- Studio e analisi degli insiemi numerici effettuati dal Prof. P. Malesani dell’Università di Padova

- Studio e analisi di problemi in regime di funzioni alternate effettuati dai Proff. R.Carminati, G.Gheno, M.Mattarolo del Liceo “J. Da Ponte”

- Studio di antenne effettuato dagli Ing. M. Busa e D. Zamberlan

RELAZIONI

I buoni matematici riescono a vedere le analogie.

I grandi matematici riescono a vedere le analogie tra le analogie.

S. Banach.

1) Relazioni binarie

Def.:

Dati due insiemi non vuoti A, B l’insieme

A x B =

{

}

è detto prodotto cartesiano e le coppie (a, b) sono coppie ordinate.

Dati due insiemi non vuoti A e B (A detto “primo” insieme e B “secondo” insieme) un predicato p(a, b)

in due variabili con a∈ A ∧ b ∈ B esprime un legame di natura qualsiasi tra elementi di A ed elementi di B.

In forma simbolica

‘ p’: A →→→→ B

a →→→→ b e si scrive a ‘p’ b con a ∈ A ∧ b ∈ B

Dato un predicato ‘p’ ∀ a ∈ A e ∀ b ∈ B, si verificherà una e una sola delle seguenti situazioni relativamente alla proposizione a ‘p’ b:

1) a ‘p’ b è vera 2) a ‘p’ b è falsa

Ogni qualvolta a ‘p’ b è vera resta individuata la coppia ordinata (a, b) e si leggerà “a è in relazione con b”

Quindi

un predicato ‘p’: A → B permette di individuare un sottoinsieme di A x B Def.:

Una relazione binaria R tra elementi di un insieme A ed elementi di un insieme B è un sottoinsieme S di A x B

Viceversa,

un S ⊆ A x B individua una relazione R Pertanto si ha una corrispondenza biunivoca S ↔ R Nota

Una relazione R di A in B è sempre individuata da un predicato ‘p’, non necessariamente unico.

Dato una relazione ‘p’ si danno le Def.:

Se a ‘p’ b è vera allora:

-- a ha come immagine b -- b è l’immagine di a Dominio =

{

}

Codominio =

{

}

La potenza dell’immaginario

•

Esempio.

Dati gli insiemi A = { le note musicali }, B = { province della Veneto}.

Si consideri la relazione ‘ p’ : A → B

a → b dove a ’p’ b se “la nota a è contenuta nella provincia b”.

 mediante un grafo

re Belluno mi Rovigo fa Treviso sol Padova la Vicenza si Verona do Venezia

 in un sistema di assi ortogonali: ad ogni coppia ordinata un ‘nodo’

Belluno Rovigo

Treviso • •

Padova • Vicenza

Verona • Venezia

re mi fa sol la si do

 per elencazione:

(re, Verona); (re, Treviso); (si, Treviso); (do, Padova)

Def.:

La relazione inversa R^-1 di una relazione R è il sottoinsieme R^-1 del prodotto cartesiano B x A tale che:

^R−1=

{

}

Nota

La relazione R^-1 individua le coppie ordinate (b, a)∈B x A che si ottengono scambiando l’ordine delle coppie (a, b)∈ A x B.

•

Particolare interesse rivestono le relazioni individuate da un predicato ‘p’, che in seguito indicheremo con ‘~’, se gli elementi in relazione fra loro appartengono ad uno stesso insieme A.

Si avrà quindi

‘~’ : A →→→→ A

a →→→→ b ovvero a ~ b con a, b ∈ A

•

∀ a ∈ A ⇒ a ~ a è vera -- simmetrica:

se a ~ b è vera ⇒ b ~ a è vera -- antisimmetrica:

se a ~ b è vera ∧∧ b b ~ aa èè vveerraa ⇒⇒ aa == bb -- transitiva:

se a ~ b è vera ∧ b ~ c è vera ⇒ a ~ c è vera Esempio

Nell’insieme dei triangoli T di un piano la relazione ‘~’ : “il triangolo a è simile al triangolo b” gode delle proprietà:

 riflessiva:

∀ a ∈ T a ~ a. Cioè, ogni triangolo è simile a se stesso

 simmetrica:

se a ~ b è vera → la / lb = k con k∈R0, dove con lx indica la misura del triangolo x nel rapporto di similitudine.

Ne segue che b ~ a è vera in quanto lb / la = 1/k

 non antisimmetrica:

se a ~ b ∧∧ b ~ a non necessariamente a = b

 transitiva:

se (a ~ b → la / lb = k) ∧∧ (b ~ c → lb/ lc = h) → (a ~ c → la/ lc = k* h)

La potenza dell’immaginario

• Classi di equivalenza

Def.:

Si dice relazione di equivalenza una relazione in un insieme che gode contemporaneamente delle proprietà:

-- riflessiva -- simmetrica -- transitiva Nota

In una rappresentazione mediante un sistema di assi ortogonali le tre proprietà evidenziano particolari caratteristiche grafico-geometriche.

La relazione gode della proprietà:

-- riflessiva se sulla bisettrice del I° quadrante si trovano solo ‘nodi’

-- simmetrica se i ‘nodi’ sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I° quadrante -- transitiva se i ‘nodi’ sono disposti a “triangolo rettangolo”

Def.:

Sia ‘~’ una relazione di equivalenza definita in A.

Una classe di equivalenza Ca, individuata da un elemento a ∈ A, è l’insieme di tutti gli elementi di A che sono in relazione con a.

In modo formale:

Ca ={x∈A/ x ~ a è vera}

Nota

L’elemento a

-- è rappresentante della classe Ca.

-- individua la classe Ca.

-- appartiene a Ca (a ~ a per la proprietà riflessiva)

Teorema

Se b ≠ a ∈ Ca, la classe Cb individuata da b coincide con Ca . Dim.:

Se b ∈ Ca → b ~ a → a ~ b.

Se c ∈ Cb → c~ b; poiché b ~ a → c ~ a → c ∈ Ca

Se d ∈ Ca → d ~ a; poiché a ~ b → d ~ a → d ∈ Cb

Quindi le due classi coincidono.

Introdotta in un insieme A una relazione ‘~’ di equivalenza, l’insieme A può essere suddiviso in classi di equivalenza che godono delle seguenti tre proprietà:

1) sono non vuote,

2) sono a due a due disgiunte,

3) la loro unione riproduce l’insieme di partenza.

Dim.:

1) Nessuna classe Ca è vuota.

Per la proprietà riflessiva, contiene almeno l’elemento a.

2) Se due classi Ca e Cb non coincidono sono disgiunte.

Se, per assurdo, Ca e Cb avessero un elemento x in comune, per il teorema precedente, la classe Cx coinciderebbe sia con Ca che con Cb.

3) L’unione di tutte le classi di equivalenza coincide con l’insieme A.

Se, per assurdo così non fosse, ci sarebbe un elemento x ∈ A che non sarebbe in relazione con alcun elemento di A.

Ciò è assurdo perché vale la proprietà riflessiva e quindi ci sarebbe certamente la classe Cx .

c.v.d.

Le classi di equivalenza costituiscono una partizione dell'insieme dato.

L’insieme A sarà rappresentato graficamente nel seguente modo:

Teorema

Ad ogni partizione di A è associata una relazione ‘~’ di equivalenza in A individuata dal predicato a ~ b : “b appartiene a Ca”

Dim.:

Occorre dimostrare che la relazione ‘~’ gode delle proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva.

1. riflessiva: ∀ a ∈ A → a ~ a, cioè a ∈ Ca

2. simmetrica: se a ~ b allora b∈ Ca. Ma b∈ Cb; quindi Ca e Cb coincidono.

Di conseguenza b, a ∈ Cb; quindi b ~ a 3. se a ~ b ∧ b ~ c → b ∈ Ca ∧ c ∈ Cb.

Ma se a ~ b → Ca e Cb coincidono; quindi c ∈Ca

La potenza dell’immaginario

Teorema

Relazioni diverse che individuano la stessa partizione sono da ritenersi la stessa relazione Dim.:

Si consideri ora una nuova relazione di equivalenza ‘ ~1’ che, tramite il predicato a ~1 b, dà luogo alla stessa partizione A.

Le relazioni ‘~1’ e ‘~’ sono la stessa relazione.

Infatti se ‘~1’ fosse diversa da ‘~’ esisterebbe almeno una coppia ordinata di elementi (a, b) che rendono vero a ~1 b ma non a ~ b, dunque appartenenti a due sottoinsiemi di A differenti. Impossibile.

c.v.d.

•

Sia dato un insieme A non vuoto , e una relazione ‘~’ di equivalenza in A.

L’ insieme quoziente A / ‘~’

è l’insieme i cui elementi sono le classi di equivalenza individuate da ‘~’.

Nota

Ne consegue che ogni classe di equivalenza può essere individuata sia da uno qualsiasi dei suoi elementi, che viene preso come suo rappresentante, sia da una ‘ caratteristica ‘ che accomuna tutti gli elementi della classe medesima.

Si usa indicare la classe di equivalenza individuata da un elemento a con [a]

Esempio

Sia A = { x / x è alunno del Liceo ‘J. Da Ponte’}

~: A x A → A

(a , b) → a ~ b tale che “a ha la stessa residenza di b”

Si verifica che la relazione:

-- è di equivalenza in quanto gode delle tre proprietà

-- suddivide l’insieme dato in classi di equivalenza.

Una qualsiasi classe è costituita da tutti gli alunni che provengono da uno stesso comune.

-- permette di costruire una partizione dell’insieme dato.

Tutti gli alunni vengono divisi per comuni di residenza e si avrà che, preso un alunno qualsiasi, questo si troverà inserito in una e una sola classe di equivalenza.

-- permette di determinare l’insieme quoziente.

Se indichiamo ogni classe di equivalenza con il nome del comune che rappresenta,

•

Def.:

‘~’ è una relazione d’ordine se gode delle proprietà:

-- antisimmetrica, ovvero solo alcuni elementi dell’insieme sono confrontabili

-- transitiva

•

‘~’ è una relazione d’ordine totale se gode delle proprietà:

-- antisimmetrica per ogni coppia di elementi dell’insieme, ovvero tutti gli elementi dell’insieme sono tra loro confrontabili.

-- transitiva Nota

-- Sia nella relazione d’ordine come nella relazione d’ordine totale non è richiesta la proprietà riflessiva

-- Un insieme totalmente ordinato viene rappresentato su di una retta orientata Esempi:

Nell’insieme delle persone di una determinata popolazione si consideri la relazione a ~ b se “a è discendente di b”.

Tale relazione gode delle proprietà antisimmetrica e transitiva.

E’ pertanto una relazione d’ordine o più semplicemente un ordinamento.

Nell’insieme dei numeri naturali si consideri la relazione a ~ b se “a ≥ b”.

Tale relazione gode delle proprietà antisimmetrica per ogni coppia di numeri naturali, e transitiva.

E’ pertanto una relazione d’ordine totale o un ordinamento totale.

Una delle rappresentazione più ‘seguite’ per un insieme semplicemente ordinato è la rappresentazione tramite un diagramma ad ‘albero’.

Nel grafo sottostante è rappresentato l’albero genealogico di una famiglia.

padre

figli

nipoti

pronipoti

La potenza dell’immaginario

2) Funzioni numeriche

Def.:

Una funzione numerica è una relazione

f: A → B ( A,B ⊆ ℜ ) a → b / ∀ a∈A ∃ ! b = f(a)∈B

Dalla definizione di funzione, relativamente al tipo di “legami” esistenti tra gli elementi dell’insieme A e quelli dell’insieme B, consegue che:

 ogni elemento di A ha una e una sola immagine!

 nessuna condizione viene posta per quanto ‘succede’ nel secondo insieme.

In particolare, quindi, nel secondo insieme ci possono essere:

- elementi che non sono immagine

- elementi che sono immagine di un solo elemento - elementi che sono immagine di più di un elemento Terminologia

y = f(x) variabile dipendente o elemento immagine

Insieme di definizione (I.D.): è l’insieme A ⊆ ℜ / f è funzione.

Insieme immagine (I.I.): è l’insieme

{

}

•

x →f(x) = y è:

iniettiva: se ∀ x1, x2 ∈ A, con x1≠ x2, ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

suriettiva: se ∀ y ∈ B, ∃ almeno un x ∈ A / f(x) = y oppure

f(A)=B

•

Una funzione

f: A→ B x →f(x) = y è

positiva se ∀ x∈A ⇒ f(x) > 0

negativa se ∀ x∈A ⇒ f(x) < 0

non negativa se ∀ x∈A ⇒ f(x) ≥ 0

non positiva se ∀ x∈A ⇒ f(x) ≤ 0

•

f: A→ B x →f(x) = y è

pari se ∀ x∈A ⇒ f(x) = f(-x)

dispari se ∀ x∈A ⇒ f(x) = -f(-x)

•

f: A→ B

x →f(x) = y è

costante se ∀ (x1≠ _{x2)∈A ⇒ f(x1) = f(x2)}

crescente se ∀ (x1 < x2)∈A ⇒ f(x1) < f(x2)

crescente

in senso lato se ∀ (x1 < x2)∈A⇒ f(x1) ≤ f(x2)

decrescente se ∀ (x1 < x2 )∈A ⇒ f(x1) > f(x2)

decrescente

in senso lato se ∀ (x1 < x2 )∈A ⇒ f(x1) > f(x2)

•

E’ la riproduzione in un piano cartesiano delle coppie ordinate (x, f(x))

STRUTTURE

L’astrazione è esattamente quello che dà alle strutture

matematiche la loro traferibilità. Esse possono infatti essere trasportate da una disciplina all’altra e da un ambiente concettuale ad un altro

M. Livio

Premessa

Nel nostro subconscio matematico c’è l’idea che calcolare voglia dire eseguire operazioni su numeri, con le quattro “usuali” operazioni matematiche.

Prima di passare allo studio degli insiemi numerici, oggetto di questo lavoro, usciamo da questi schemi mentali lavorando in generale anche su insiemi non numerici, in cui sono previsti calcoli senza numeri, in modo tale da rinvigorire la pianta dell’astrazione matematica la quale ha la funzione di

“unificante formale di diversi”.

Pertanto il percorso che proporremo in questa prima parte è quello dall’astratto assiomatico all’astratto determinato, e viceversa, in modo che sia evidente che un concetto astratto non è un ente vuoto (come normalmente si intende quando si parla di astrazione), ma al contrario un ente che consiste (unifica) di una moltitudine di concreti che si

“assomigliano”

tutti per una particolare caratteristica.

E’ lo stesso processo mentale che si fa abitualmente anche nelle altre discipline.

Ad esempio con la parola “albero” si unificano elementi diversi ma analoghi per struttura.

Non si fa riferimento a nessun albero in particolare ma si fissano solo quelle proprietà che caratterizzano gli elementi come alberi.

L’astrazione consente di non precisare la natura degli oggetti su cui si sta lavorando, le operazioni eseguibili in esso e così via, ma questi vanno visti come classi che godono di determinate proprietà.

In definitiva l’astrazione non è la negazione del concreto ma è la sua moltiplicazione.

• Operazione binaria

Def.:

dati tre insiemi qualsiasi X, Y, Z non vuoti si dice che è definita una operazione binaria

se alla coppia ordinata (x,y), ∀ x ∈ X e ∀ y ∈ Y, mediante una legge di natura qualsiasi, resta associato uno e uno solo elemento di Z

In modo formale:

°: (X x Y) → Z (x , y) → x ° y

L’elemento z = x ° y ∈ Z si chiama il composto di (x, y) mediante la legge “°”

La potenza dell’immaginario

•

dato un insieme A non vuoto si dice che è definita una operazione binaria interna in A

se alla coppia ordinata (a, b), ∀ a, b ∈ A, mediante una legge di natura qualsiasi, resta associato uno e uno solo elemento di A.

In modo formale:

°: (A x A) → A (a , b) → a ° b

Una operazione in modo grafico può essere rappresentata nel modo seguente mediante la cosidetta macchina operatrice:

a

c

° b

•

( a, b ) → a ° b

Diremo che l’operazione “°” gode della proprietà:

♦ associativa se ∀ a,b,c ∈ A → ( a ° b ) ° c = a ° ( b ° c ) a

o d

b e °

c

a

e b ° o f

c

a b

o c o c b a

♦ esistenza dell’elemento neutro u ∈ A se ∀ a∈ A→ a ° u = u ° a = a a u

o a o a u a

♦ esistenza dell’inverso inverso se ∀ a ∈ A ∃ un a^-1∈A / a ° a^-1 = a^-1 ° a = u con u elemento neutro di A.

a a^-1

o u o u

a^-1 a

Teorema

Se una operazione ammette elemento neutro questo è unico.

Dim.:

Infatti,

se ne esistessero due, per es. u1 e u2, allora si avrebbe:

♦ u1° u2 = u2° u1 = u2 (considerando u1 elemento neutro)

♦ u1° u2 = u2° u1 = u1 (considerando u2 elemento neutro) da cui si deduce che u1 = u2.

c.v.d.

Si può dimostrare che:

L’inverso dell’inverso di un elemento è l’elemento stesso.

L’inverso dell’elemento neutro u è u stesso.

La potenza dell’immaginario

Teorema

Sia data in un’insieme A un’operazione “°” associativa e dotata di elemento neutro u.

Se a ∈ A ammette inverso allora questo è unico.

Dim.:

Per assurdo si supponga che un elemento a ∈ A ammetta due inversi a1-1 e a2-1

Si avrà

a1-1 ° (a ° a2-1 ) = a1-1° u = a1-1 e

(a1-1 ° a) ° a2-1 = u ° a2-1

= a2-1 → a1-1 = a2-1

c.v.d.

•

Un’operazione binaria definita su insiemi finiti normalmente viene rappresentata in modo compatto mediante una tavola pitagorica.

In tale rappresentazione le precedenti proprietà evidenziano interessanti situazioni geometriche.

Esempio 1

1. In R4 = {r0, r1, r2 ,r3} insieme delle rotazioni di ampiezza multipla di 90° attorno ad un centro prefissato sia

°: A x A → A

( a, b ) → a ° b dove “°” è la composizione delle rotazioni . La tavola pitagorica è:

° r0 r1 r2 r3 r0 r0 r1 r2 r3 r1 r1 r2 r3 r0 r2 r2 r3 r0 r1

r3 r3 r0 r1 r2

L’operazione è

 commutativa → tabella simmetrica rispetto diagonale principale

 ammette elemento neutro r0 → sia la riga che la colonna che si incrociano in r0 corrispondono alla riga e colonna esterna

 ammette inverso → in ogni riga e colonna compare l’elemento neutro

Si considerino tutte le trasformazioni geometriche che mandano un triangolo equilatero ABC in se stesso. Esse sono :

- tre simmetrie assiali che indichiamo con sA, sB, sC

- tre rotazioni di centro O e ampiezza r1 =120°, r 2=240°, r0 =360°

Si ha dunque l’insieme S = {sA, sB, sC, r1, r2, r0 }.

Una schematizzazione delle sei trasformazioni si ottiene, per esempio, mediante le sei matrici:

A B C A B C A B C sA = sB = sC = A C B C B A B A C A B C A B C A B C r1 = r2 = r0 =

B C A C A B A B C In S sia

°: S x S → S

( a, b ) → a ° b dove “°” è la composizione di trasformazioni.

Ricordiamo che per calcolare, per esempio sC° r2 ,si applica prima la trasformazione r2 e sul risultato di questa si applica la trasformazione sC.

In termini di matrici, la trasformazione sC° r2 dà luogo alla trasformazione…..

A B C A B C A B C ° =

B A C C A B A C B La tavola pitagorica è:

° r0 r1 r2 sA SB SC

r0 r0 r1 r2 sA sB sC r1 r1 r2 r0 sC sA sB

r2 r2 r0 r1 sB sC sA

sA sA sB sC r0 r1 r2 sB sB sC sA r2 r0 r1

sC sC sA sB r1 r2 r0

L’operazione è :

 associativa ( perché è associativa la composizione di trasformazioni)

 non commutativa → non c’è simmetria rispetto alla diagonale principale

 ammette elemento neutro: r0 → sia la riga che la colonna che si incrociano in r0 corrispondono alla riga e colonna esterna

 ammette inverso → in ogni riga e colonna compare l’elemento neutro

La potenza dell’immaginario

2) Strutture

Def.:

Si dice struttura un qualunque insieme A nel quale siano definite una o più operazioni.

Dato l’insieme A e l’operazione “°” la struttura è indicata con (A, °)

Dato l’insieme A e le operazioni “*” e “°” la struttura è indicata con (A, *, °)

•

Def.:

Si chiama gruppo una struttura (A, °) tale che l’operazione “°”:

• sia interna

• sia associativa

• ammetta elemento neutro

• ammetta inverso Def:

Un gruppo si dice abeliano se la legge “°” gode anche della proprietà commutativa Esempio

1. Sia S ={p, d} l’insieme formato dai numeri pari e dispari.

La struttura ( S, ° ), dove “ ° “ è l’operazione definita dalla seguente tabella, è un gruppo abeliano.

° p d p p d d d p Infatti l’operazione “°”:

 è interna

 è associativa:

( p ° d ) ° p = d ° p = d e p ° ( d ° p ) = p ° d = d

 è commutativa:

p ° d = d e d ° p = d Inoltre

 p è elemento neutro.

 ogni elemento ammette inverso:

l’inverso di p è p e l'inverso di d è d

 commutativa:

p ° d = d e d ° p = d

Teorema

In un gruppo ( G, ° ) l’equazione a ° x = b ha una e una sola soluzione x = a^-1 ° b

Dim.:

la dimostrazione si articola in due momenti:

I) La soluzione è unica.

Se fossero due, per esempio h1 e h2 si avrebbe sostituendo alla x

a ° h1 = b e a ° h2 = b → a ° h1 = a ° h2 (componendo a sinistra con a^-1 ) → (a^-1 ° a) ° h1 = (a^-1 ° a) ° h2 → u ° h1 = u ° h2. → h1 = h2 .

II) a^-1 ° b è soluzione.

Infatti sostituendo:

a ° (a^-1 ° b) = b → (a ° a^-1) ° b = b → u ° b = b → b = b

c.v.d.

Legge di semplificazione

Se (G, °) è un gruppo allora

-- da a ° m = b ° m segue a = b

-- da m ° a = m ° b segue a = b con a, b, m∈G Dim.:

Sia

a ° m = b ° m; → a ° m ° m^-1 = b ° m ° m^-1 → a ° (m ° m^-1) = b ° (m °m^-1) → a ° u = b ° u → a = b

Sia

m ° a = m ° b → m^-1 ° m ° a = m^-1 ° m ° b → (m^-1° m) ° a = (m^-1 ° m) ° b → u ° a = u ° b → a = b.

c.v.d.

La potenza dell’immaginario

Teorema

Dato elemento composto (a ° b) il suo inverso (a ° b)^-1 = b^-1 ° a^-1. Dim.:

Basta dimostrare che componendo (a ° b) a sinistra e a destra con (b^-1 ° a^-1) si ottiene l’elemento neutro u.

Infatti,

(a ° b) ° ( b^-1 ° a^-1) → a ° ( b ° b^-1) ° a^-1 → a ° u ° a-1 → a ° a-1 → u

reciprocamente ( b^-1 ° a^-1) ° ( a ° b ) →

b^-1 ° ( a^-1 ° a ) ° b → b^-1 ° u ° b → b^-1 ° b → u

• Gruppo ciclico

Def.: Sia dato un gruppo ( G, ° ) e sia g∈G.

Se un qualsiasi elemento h∈G di si ottiene operando g con se stesso un certo numero di volte, tramite l’operazione “°”, allora ( G, ° ) si dice gruppo ciclico e il suo elemento g viene detto elemento generatore.

Esempi:

1. Sia R4 l’insieme delle rotazioni di ampiezza multipla di 90° attorno al centro di un poligono regolare di 4 lati.

R4 = { r1 r2 r3 r4 }

Sia ‘°’ l’operazione di composizione di rotazioni definita in R4. La tavola pitagorica è

° r1 r2 r3 r4 r1 r2 r3 r4 r1 r2 r3 r4 r1 r2 r3 r4 r1 r2 r3 r4 r1 r2 r3 r4

Il gruppo è ciclico con elemento generatore r1 .

2. Sia Rn l’insieme delle rotazioni attorno al centro di un poligono regolare di n lati di ampiezza multipla di 360/n gradi. Sia “°” l’operazione di composizione di rotazioni definita in Rn.

( R , °) è un gruppo ciclico e il suo elemento generatore è la rotazione di 360/n gradi.

Def.: Sia ( G, ° ) un gruppo e sia S ⊆ G

Se ( S, ° ) è un gruppo allora ( S, ° ) si dice sottogruppo di ( G, °).

Teorema

Il gruppo ( G, °) ammette sempre due sottogruppi (detti sottogruppi banali):

I) il sottogruppo unità che contiene il solo elemento neutro u di G.

II) lo stesso gruppo (G, °) Dim.:

I)

u ° u = u → la legge “°” è di composizione interna e u è l’elemento neutro u^-1 = u → la legge “°” ammette inverso.

II) Ovvio

c.v.d.

Teorema di Lagrange

Sia (G, °) un gruppo finito composto di n elementi.

Un sottogruppo ( S, °) di ( G, °) contiene un numero di elementi m che è un divisore di n.

Dim.:

Sia ( S, °) sottogruppo proprio di ( G, °), ossia ∃ g ∈ G tale che g ∉ S.

Ne consegue che ( g ° s )∉S, ∀ s∈S.

Infatti se

(g ° s)∈S → ( g ° s ) ° s^-1 ∈S → g ° ( s ° s^-1)∈S → g ° u∈S →

g ∈S falso per ipotesi.

In particolare gli elementi del tipo ( g ° s ) sono esattamente m.

Inoltre se

s1 = s2 allora g ° s1 = g ° s2. ∀ g∈G Infatti se

g ° s1 ≠ g ° s2 → (g^-1 ° g) ° s1 ≠ (g^-1 ° g) ° s2 → u ° s1 ≠ u ° s2 → s1 ≠ s2 falso per ipotesi

Quindi gli elementi s ∈ S, e sono in numero pari a m, sono tutti tra loro distinti.

A G appartengono intanto gli m elementi di S

Inoltre ∀ g1 ∈ G tale che g1 ∉ S a G appartengono pure m elementi del tipo (g1 ° s) come dimostrato sopra.

c.v.d.

La potenza dell’immaginario

• Isomorfismo tra gruppi Def:

Due gruppi (G1, *) e (G2, °) si dicono isomorfi se si può stabilire una corrispondenza biunivoca, detta isomorfismo, f: G1 ↔ G2 tale che:

f(a * b) = f(a) ° f(b) con ∀ a, b ∈ G1, e ∀ f(a), f(b) ∈ G2

Due strutture isomorfe si possono considerare essenzialmente uguali.

Ignorando le identità specifiche degli elementi le due strutture si possono identificare.

Esempi di strutture isomorfe.

1. Si considerino le tavole pitagoriche dei gruppi (G¹, +) e (G2, x) + p d x 1 -1

p p d 1 1 -1 d d p -1 -1 1 Sia f: G1 ↔ G2

p ↔ 1 d ↔ -1 Si ha che:

f(a + b) = f(a) x f(b) con a, b ∈G1 e f(a), f(b) ∈G2

Di conseguenza i due gruppi sono isomorfi.

2. Si considerino le tavole pitagoriche dei gruppi (G1, °), (G2, x), (G3, +)

° r s x + - + 0 1 r r s + 1 -1 0 0 1 r s r - -1 1 1 1 0 Si verifica facilmente che i tre gruppi sono tra loro isomorfi.

Note

Si dimostra che l’isomorfismo fra strutture algebriche è una relazione di equivalenza; si può quindi suddividere l’insieme di tutte le strutture in classi di equivalenza e quindi considerare l’insieme quoziente che è l’insieme di tutte le strutture algebriche astratte.

Una qualunque struttura appartenente ad una classe di equivalenza è quindi un modello della struttura individuata da quella classe.

Si è visto l’operatività in un gruppo.

Pur tuttavia questa è riduttiva, in quanto, normalmente, nei vari insiemi sono definite due operazioni e quindi è opportuno introdurre nuove strutture.

La successiva struttura che si incontra è quella di anello.

Si consideri un insieme A non vuoto nel quale siano definite due operazioni, ° e ^, che definiscono la struttura (A, °,^)

Def.:

La struttura (A, ° , ^) si chiama anello se -- (A, °) è un gruppo commutativo

-- vale la proprietà distributiva di ‘^’ rispetto a ‘°’ ovvero (a ^ (b ° c)) = (a ^ b) ° (a ^ c) -- (A, ^) gode della proprietà associativa

In particolare se:

-- ( A, ^) è dotata di elemento neutro, allora l’anello si dice unitario;

-- in ( A, ^ ) vale la proprietà commutativa, allora l’anello si dice commutativo.

Nota

Nella definizione della struttura di anello non figura l’esistenza dell’inverso rispetto alla seconda operazione.

Questo fa si che non sempre è risolvibile un’equazione di primo grado del tipo a ^ x ° b = 0

Definizione

Sia (A, °, ^) un anello.

Un elemento non nullo a ∈A si dice divisore dello zero se esiste b ∈A con b ≠ 0, tale che: a ^ b = 0 oppure b ^ a = 0

Si esprime questo fatto dicendo che un anello può avere divisori dello zero.

Teorema

Se un anello non ha divisori dello zero allora valgono:

-- la legge di cancellazione: se a ^ b =a ^ c (con a ≠ o) allora b = c -- la legge di annullamento del prodotto : se a ^ b = 0 allora a v b = 0

La struttura (Zn +, *) con n non primo è un anello commutativo e unitario dotato di divisori dello zero.

La potenza dell’immaginario

Esempio

Si consideri la struttura (Z6,+,*) le cui tavole pitagoriche sono:

+ 0 1 2 3 4 5 * 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 0 1 0 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 1 2 2 0 2 4 0 2 4 3 3 4 5 0 1 2 3 0 3 0 3 0 3 4 4 5 0 1 2 3 4 0 4 2 0 4 2 5 5 0 1 2 3 4 5 0 5 4 3 2 1

La struttura (Z6, +, * ) è un anello commutativo e unitario dotato di divisori dello zero.

Infatti:

a. (Z6 , +) è un gruppo abeliano

b. Vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma c. (Z6, *) gode della proprietà associativa

d. (Z6, *) ammette elemento neutro

e. (Z6, *) gode della proprietà commutativa f. ammette divisori dello zero

Si può dimostrare che la struttura (Zn, *) con n primo è un anello commutativo e unitario privo di divisori dello zero.

• Campo

Sia C un insieme numerico.

Def.:

La struttura (C, + , *) è un campo se:

-- (C, +) è un gruppo commutativo (con lo 0 elemento neutro)

-- (C0, *) è un gruppo commutativo ( solo lo 0 non ha elemento neutro) -- in (C0 , *) vale la legge distributiva di “*” rispetto a “+” .

dove con “*” e “+” si sono indicate le operazioni di prodotto e addizione

La struttura di campo è estremamente importante perché :

o si può dimostrare che la legge di annullamento del prodotto è sempre valida (cioè un campo è privo di divisori dello zero)

o poiché (C,+) e (C0, *) sono gruppi si può concludere che in un campo sono sempre risolvibili e ammettono un' unica soluzione equazioni del tipo a * x + b = c con a≠₀

INSIEMI NUMERICI

“Iddio creò i numeri naturali, il resto è opera dell’uomo”

L. Kronecker

1) Numeri naturali (N)

G. Peano nel 1889 propose l’assiomatizzazione dei numeri naturali.

Essa si basa su:

-- tre concetti primitivi

C1): zero C2): numero

C3): essere successivo di

-- cinque postulati

P1): zero è un numero naturale

P2): se a è un numero naturale, il suo successivo è un numero naturale P3): zero non è il successivo di nessun numero

P4): due numeri aventi il successivo uguale sono uguali

P5): se un insieme S contiene lo zero e il successivo di ogni numero, allora S coincide con l’insieme dei numeri naturali

•

• Addizione:

L’operazione in N viene definita ricorrendo al concetto di ‘successivo’che, per la proprietà P2, esiste∀ a Ν∈ .

Def.:

+: (N x N) → N

(a , b) → a + b = c con a, b, c Ν∈

In particolare,

0 + a = a dove a è il ‘successivo’ di zero ripetuto a-volte a + b = c dove c è il ‘successivo’ di a ripetuto b-volte

La potenza dell’immaginario

Proprietà dell’addizione 1) è interna in N:

∀ a, b Ν∈ ⇒ a + b = c Ν∈ Dim.: per l’assioma P2.

2) è commutativa:

∀ a, b Ν∈ ⇒ a + b = b + a Dim.:

per la P4: partendo da zero in entrambi i casi si esegue l’operazione di successivo (a + b )-volte.

3) è associativa:

∀ a, b, c Ν∈ ⇒ ( a + b ) + c = a + ( b + c ) Dim.:

per la P4: partendo da zero in entrambi i casi si esegue l’operazione di successivo (a + b + c)-volte.

4) ammette come elemento neutro lo zero:

∀ a Ν∈ ⇒ 0 + a = a + 0 = a Dim.: per la P3.

5) non ammette elemento inverso:

∀ a Ν∈ ⇒ esiste b Ν∈ tale che a + b = b + a = 0 solo se b = a = 0 Dim.

L’operazione di addizione prevede solo il passaggio al successivo.

6) Vale la legge di cancellazione della somma

a + b = c + b ∀ a, b, c Ν∈ ⇔ a = c Dim.: per la P3.e la P5

Nota

La struttura (N, +) non è un gruppo.

Quindi,

in N l’equazione a + x = b con a, b, x Ν∈ non sempre ha soluzione.

• Sottrazione:

Viene definita come l’operazione inversa dell’addizione ricorrendo al concetto di

‘precedente’ che, per la proprietà P3, esiste solo ∀ a Ν∈ ₀ Def.:

−: (N x N) → N

( a , b ) → a – b = c con a, b, c Ν∈

In particolare

-- 0 − a = 0 solo se a = 0

-- c = a – b è il precedente di a eseguito per b-volte.

E’ quindi definito solo se b ≤ a.

Proprietà della sottrazione

1) non è interna in N

∀ a, b Ν∈ ⇒ a − b = c Ν∈ solo se a ≥ b Dim.: per l’assioma P3.

• Moltiplicazione:

Viene definita come una ‘addizione ripetuta’ , ricorrendo quindi al concetto di ‘successivo nell’addizione’ che in N è sempre definito.

Def.:

*: (N x N) → N

(a , b) → a * b = c con a, b, c Ν∈ In particolare,

-- 0 * a = 0 dove 0 è il ‘successivo nell’addizione’ di 0 ripetuto a-volte -- a * b = c dove c è il ‘successivo nell’addizione’ di a ripetuto b-volte

Proprietà della moltiplicazione:

1) è interna in N

∀ a, b Ν∈ ⇒ a * b = c Ν∈ Dim.:

in quanto l’addizione è interna in N 2) è commutativa :

∀ a, b, c Ν∈ ⇒ a * b = b * a = c Dim.:

per le proprietà dell’addizione. Il numero c è multiplo sia di a sia di b 3) è associativa :

∀ a, b, c Ν∈ ⇒ (a * b) * c = a * ( b * c ) Dim.:

per le proprietà dell’addizione 4) ammette elemento neutro: il numero 1

∀ a Ν∈ ⇒ a * 1 = 1 * a = a Dim.:

per definizione

La potenza dell’immaginario

5) non ammette elemento inverso.

∀ a Ν∈ ⇒ esiste b Ν∈ tale che a * b = b * a = 1 solo se a = b = 1 Dim.:

l’operazione di moltiplicazione prevede solo il passaggio ‘successivo nell’addizione’.

6) ammette elemento assorbente: lo zero

∀ a Ν∈ ⇒ 0 * a = a * 0 = 0 Dim.:

per definizione e per la commutatività della moltiplicazione 7) proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione:

∀ a, b, c Ν∈ ⇒ a * ( b + c) = ( a * b ) + ( a * c ) Dim.:

per definizione

8) Vale la legge di cancellazione del prodotto.

Da a * b = c * b, ∀ a, b, c Ν∈ ∧ b≠0 , ⇔ a = c Dim.:

per l’analoga proprietà dell’addizione

Nota

La struttura (N ,*) non è un gruppo.

Quindi,

in N l’equazione a * x = b con a, b, x Ν∈ non sempre ha soluzione.

•

Viene definita come l’operazione inversa della moltiplicazione, ricorrendo quindi al concetto di “precedente nell’addizione” che in N non è sempre definito.

Def.

÷: (N x N0) → N

(a , b) → a ÷ b = c ⇔ b * c = a con a, b, c Ν∈ ∧ b ≠ 0

In particolare,

0 ÷ a = 0 ∀ a ∈N0

a ÷ b = c tale che c * b = a) è definito solo se a è multiplo di b.

Proprietà della divisione:

1) non è interna in N

∀ a, b N ⇒ a ÷ b = c Ν∈ solo se a è multiplo di b Dim.:

per definizione

2) la divisione a ÷ b è definita solo se b ≠ 0 Dim.:

lo zero è l’elemento assorbente nella moltiplicazione. Quindi la divisione per zero non sarà mai definita qualunque sia l’insieme numerico.

3) teorema di divisibilità:

∀ a, b N0 esistono unici q, r Ν∈ (q detto il quoziente ed r il resto della divisione di a per b)

tali che

a = b * q + r con 0 ≤ r < b Dim.:

fissato a, si considerino i successivi multipli di b.

Si possono verificare due situazioni:

-- a è multiplo di b e quindi r =0

-- a non è multiplo di b. Di conseguenza, a cade tra due multipli successivi di b e 0 < r < b

c.v.d.

•

un insieme S si dice infinito se gli elementi di un suo sottoinsieme proprio S’

possono essere messi in corrispondenza biunivoca con gli elementi di S.

Dim.:

Infatti, preso l’insieme N0⊂ N, tra N e N0 si consideri la seguente corrispondenza N ↔ N0

n ↔ n+1 con n N∈ Tale corrispondenza è palesemente biunivoca.

c.v.d.

Si dice anche che l’insieme N ha la cardinalità del numerabile.

La potenza dell’immaginario

L ’insieme N è totalmente ordinato Dim.:

In N si consideri la relazione di predicato “essere minore o uguale di”

‘r’: N x N

(n , m) tale che n ‘r’ m ⇔ n ≤ m.

La relazione è di ordine totale.

Infatti è:

• riflessiva

∀ n∈N ⇒ n ‘r’ n , cioè n ≤ n

Certamente vera

• antisimmetrica

∀ n, m ∈N se (n ‘r’ m) ∧ (m ‘r’ n) ⇒ n = m Infatti,

n ≤ m implica m = n + h con h∈N

∧

m ≤ n implica n = m + k con k∈N → h + k = 0 → h = k = 0; → n = m.

• transitiva

se ( n ‘r’ m ) ∧ ( m ‘r’ f) ⇒ (n ‘r’ f) con n ,m, f∈N Infatti,

n ≤ m implica m = n + h con h∈N ∧ m ≤ f implica f = m + k con k∈N → f = n + (h + k) → n ≤ f.

Questa proprietà permette di disporre l’insieme dei numeri N su di una retta orientata.

Tale retta è detta retta naturale

Def.:

un insieme S totalmente ordinato si dice discreto se ∀s S , ∈∈ ∃t S tale tra s e t non ci sono altri elementi che appartengono all’insieme S.

Un insieme S finito è certamente discreto.

L’insieme N è discreto Dim.:

∀ n∈N tra n e il suo successivo n+1 non ci sono altri elementi di N.

• Numeri primi

All’interno dell’insieme dei naturali rivestono un’importanza primaria i numeri primi.

Def.:

Primo è quel numero naturale che ammette come unici divisori l’unità e se stesso.

Proponiamo alcune questioni relative ai numeri primi:

Teorema fondamentale dell’aritmetica (Euclide - III sec. a. C.):

“ogni numero naturale prevede un’unica fattorizzazione in primi”.

Costruzione dei numeri primi (crivello di Eratostene - II sec. a. C.)

I numeri primi sono infiniti (Euclide)

Formule per la costruzione di numeri primi:

-- formula di Fermat; F(n)=2^{2 n}+1 (risultato vero fino a n…)

-- formula di Gauss: F(n)= n²− n+41 (vera fino a n…) -- formula di Mersenne F(p)=2^p−1 con p primo.

Due congetture non risolte sui numeri primi:

-- ogni pari si può considerare come somma di due numeri primi -- molti numeri primi si presentano in coppia del tipo (n, n+2),

come 3-5, 11-13, 29-31,….;

Tali coppie sono infinite?

•

Il principio di induzione è un potente strumento di dimostrazione, al quale si ricorre ogni volta che si debba dimostrare una proprietà “agganciata” ai numeri naturali in un numero infinito di casi.

Conseguenza del quinto assioma di Peano permette di dimostrare se una certa proposizione P(n) che dipende dai numeri naturali è vera.

Principio di induzione

Data una proposizione P(n). Se

P(n) si dimostra essere vera per un valore iniziale n0

• supposta vera P(n) per un n qualsiasi, si dimostra essere vera P(n+1) allora

P(n) è vera per qualsiasi n ≥ n0

Si supponga per assurdo che P(n) sia falsa.

Si individuerà un h tale P(h) sia falso. Ma allora anche P(h-1) sarà falso perché in caso contrario P(h) sarebbe vera.

Andando a ritroso anche P(h-2) sarà falsa e così continuando sarà falsa anche P(n0) contro le ipotesi fatte.