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dove ˆf (Q) = cf1(Q) + (1 − c)f2(Q).

Sostituendo la (3.17) nell’espressione per la sezione d’urto anelastica troviamo facilmente

2σ

∂Ω∂ω ∝ ( ˆf )

2S

ρρ(Q, ω) + (f1− f2)2Scc(Q, ω) + 2 ˆf (f1− f2) Sρc(Q, ω) (3.18)

dove i fattori di struttura dinamici della miscela binaria, nelle variabili densit`a e concentrazione sono

Sρρ(Q, ω) = (1/2πN )

R

dte−iωt(Q, 0)ρ(Q, t)i

Scc(Q, ω) = (1/2πN )

R

dte−iωthc(Q, 0)c(Q, t)i

2Sρc(Q, ω) = (1/2πN )

R

dte−iωt[hρ(Q, 0)c(Q, t)i + hc(Q, 0)ρ(Q, t)i]

(3.19)

Il primo fattore di struttura dinamico (3.19) della miscela `e per definizione identico al fattore di struttura dinamico dei liquidi puri, mentre il secondo `e legato alle fluttuazioni nella variabile concentrazione, e il terzo evidentemente alle correlazione miste densit`a-concentrazione.

3.1.3

IXS e INS nei sistemi disordinati

La dipendenza da Z della sezione d’urto differenziale di Thompson che abbiamo ricavato nel paragrafo precedente `e contenuta unicamente nel fattore di forma atomica, e va pertanto come Z2 se ci si restringe a considerare il limite idrodi-

namico. In ogni caso sembra essere facilitato lo studio dei sistemi con Z grande. Questo purtroppo `e un panorama ottimistico della situazione che non tiene con- to dell’assorbimento della radiazione elettromagnetica che avviene nel campione principalmente a causa dell’effetto fotoelettrico.

In condizioni di scattering in avanti il contriburo al segnale diffuso in un es- perimento IXS da parte di uno spessore infinitesimo di campione dx che si trovi in x (1 < x < L) all’interno uno spessore totale L , posto ortogonalmente al vettore d’onda incidente ki, `e dato dalla (3.1) moltiplicata per un fattore dovuto

all’assorbimento

dNs = N0

2σ

∂Ω∂E∆Ω ∆E ρe

essendo N0 il flusso dei fotoni incidenti, Ns il flusso dei fotoni diffusi nell’intervallo

di energia ∆E e nell’angolo solido ∆Ω, ρ `e la densit`a media dei centri di diffusione e µ il coefficiente di assorbimento totale. Nel caso di una geometria di scattering in avanti (θ piccoli), per un campione di spessore finito L si ottiene

Ns = N0

Z L

0

e−µx

2σ

∂Ω∂E∆Ω ∆E ρe

−µ(L−x)dx =

= N0

2σ

∂Ω∂E∆Ω ∆E ρLe

−µL (3.21)

La (3.21) come funzione di L presenta un massimo per L = µ−1, che pertanto

rappresenta lo spessore ottimale del campione, nel qual caso Ns assume un val-

ore proporzionale a µ−1. Per energie del fascio incidente dell’ordine delle decine

di KeV e per Z > 3 il valore di µ `e dovuto quasi esclusivamente all’effetto fo- toelettrico, nel qual caso µ ∼ Z4, mentre come abbiamo visto il contributo del

fattore di forma aumenta nelle ipotesi pi`u favorevoli come Z2, e la situazione che

ne risulta pu`o essere rappresentata riportando in grafico (fig. 3.1) la quantit`a σc

σt

ove σc = (raZ2) scala con Z come la sezione d’urto di Thompson e σt= ρ−1µ `e la

sezione d’urto totale di raggi X misurata per l’atomo in questione, su un campione con spessore L = µ−1 e per una energia dei fotoni incidenti pari a 22 KeV .

Figura 3.1: Rapporto tra la sezione d’urto Thompson a Q = 0 e la sezione d’urto totale per atomo in un campione di lunghezza µ−1riportato in funzione del numero

atomico Z per fotoni incidenti di energia ∼ 22KeV .

Si consideri ora un esperimento di diffusione di neutroni (INS) da effettuarsi sul sistema che stiamo indagando. Se miriamo a sondare distanze dell’ordine dell’ ˚A, la scelta cadr`a necessariamente sui neutroni termici con energie dell’ordine di Ei ∼ KB × 300 K ≈ 26 meV poich´e dalla relazione energia-impulso per una

particella massiva Ei = ~

2k2

i

sonda `e in questo caso praticamente confrontabile con le energie tipiche delle eccitazioni collettive nella materia condensata. Al confronto in una indagine IXS il potere risolutivo necessario per risolvere le medesime eccitazioni `e enormemente maggiore, R = E

∆E ∼ 107, e tale circostanza ha costituito un notevole ostacolo

allo sviluppo della diffusione anelastica di raggi X.

Scriviamo ora la sezione d’urto doppiamente differenziale per diffusione coer- ente di neutroni, la cui derivazione procede in modo simile a quanto visto nel caso di raggi X, a partre dall’espressione dello pseudopotenziale di Fermi, in termini della lunghezza di scattering b tipica del nucleo in esame:

µ 2σ ∂Ω∂Ecoh n = b2 coh kf ki NS(Q, ω) (3.22)

Un confronto diretto con la (3.13) mostra che, sebbene le lunghezze caratteris- tiche re e b siano confrontabili, tuttavia nella (3.22) manca il fattore di forma, che

date le dimensioni nucleari `e praticamente 1 nella regione di momenti accessibile. Inoltre i neutroni, accoppiandosi direttamente alla dinamica nucleare, non rendono necessaria l’ipotesi adiabatica, e come se non bastasse la loro interazione con la materia `e cos`ı debole che l’assorbimento in molti sistemi `e interamente causato dalla diffusione e le lunghezze di assorbimento sono dell’ordine delle decine di cen- timetri. Questa circostanza non `e di piccola rilevanza nell’approccio sperimentale a molti sistemi di nostro interesse, fra cui i metalli, che come avremo modo di vedere, hanno alle energie in gioco in un esperimento di IXS una lunghezza di as- sorbimento L = µ−1 pi`u piccola di 100 µm. Tale circostanza crea severi problemi

nella messa a punto del setup sperimentale, sopratutto se un tale sistema ha una alta temperatura di fusione, come `e il caso dei metalli di transizione.

Tuttavia c’`e da notare che proprio la grande lunghezza di assorbimento dei neutroni fa s`ı che processi di scattering multiplo non siano trascurabili, e deb- bano essere tenuti in conto nell’analisi dei dati sperimentali, com pure deve essere tenuto in conto l’andamento in Q del fattore kf

ki, che mentre nel caso dell’IXS `e

praticamente costante (kf ≈ ki), non lo `e nel caso dell’INS.

Le informazioni ricavabili da una indagine INS sono diverse da quelle ottenute nella indagine IXS sul medesimo sistema, infatti la sezione d’urto di diffusione di neutroni comprende anche una parte incoerente dovuta in sostanza alle flut- tuazioni della concentrazione di differenti specie isotopiche dell’elemento, o ai diversi stati di spin nucleare che interagiscono con i neutroni con diversi valori della lunghezza di scattering b:

µ 2σ ∂Ω∂Einc n = b2 inc kf ki NSs(Q, ω) (3.23)

dove Ss(Q, ω) `e il fattore di struttura dinamico di singola particella ed `e definito

della posizione di una sola unit`a fissata Ss(Q, ω) = 1 2πN Z dte−iωtX m ­ eiQ·[Rm(t)−Rm(0)]® (3.24)

Come si vede per ricondursi allo studio della sola dinamica collettiva, se pos- sibile si studier`a una sistema costituito da una sola specie isotopica, o in linea di principio si dovranno studiare diverse miscele isotopiche onde ricavare i contributi separati, coerente e incoerente, alla sezione d’urto totale. Ora vogliamo analizzare la questione della cinematica dei processi di diffusione, che ci fornir`a l’argomento definitivo per giustificare la scelta della tecnica IXS nello studio dei sistemi che abbiamo voluto indagare nel presente lavoro.

Scriviamo le leggi di conservazione di energia e impulso Q = ki− kf

E = Ei − Ef (3.25)

Q2 = k2

i + kf2− 2kikfcos θ

dove θ `e l’angolo di scattering tra le particelle incidenti e diffuse. Per una particella priva di massa sostituiamo nelle (3.25) la relazione energia-impulso

Eα(kα) = ~ckα; (m = 0)

che conduce alla relazione µ Q ki2 = 1 + µ 1 − E Ei2 − 2 µ 1 − E Eicos θ (3.26)

L’energia persa o guadagnata dai fotoni in seguito all’interazione con ecci- tazioni di tipo fononico `e sempre molto pi`u piccola dell’energia prima dell’inter- azione e quindi E ¿ Ei per cui la (3.26) si riduce a

Q ki

= 2 sinθ

2; (m = 0; E ¿ Ei)

questa relazione mostra che nel limite di piccola energia trasferita, il rapporto fra momento scambiato e momento incidente resta completamente determinato dall’angolo di scattering. Per conseguenza in un esperimento IXS non sussiste praticamente un limite superiore all’energia che pu`o essere trasferita al sistema, qualunque sia il valore del momento scambiato Q. Non vi sono in sostanza vincoli cinematici all’energia delle eccitazioni osservabili.

La situazione `e diversa se la particella incidente `e massiva, e non dobbiamo far altro che sostituire la relazione energia-impulso per tale particella

Eα(kα) =

~2k2

α

nelle (3.25), il ch´e conduce alla relazione µ Q ki2 = 1 + µ 1 − E Ei− 2 r 1 − E Ei cos θ; (m 6= 0) (3.27) Nel caso particolare di neutroni termici, come abbiamo visto, E ∼ Ei e la

cinematica dello scattering impone un limite superiore all’energia che pu`o es- sere trasferita al sistema e quindi all’energia delle eccitazioni che possono essere osservate.

Quest’ultima circostanza risulta estremamente limitativa ai valori piccoli di Q dove si osserva una zona proibita nel caso che le eccitazioni colletive ab- biano energie maggiori di quella dei neutroni, ossia, considerando a Q piccoli una dispersione quasi lineare

E ≈ ~cSQ ∼ Ei = ~2k2 i 2m = mvn ~ki 2m ≈ ~vnQ

ovvero se i neutroni hanno velocit`a inferiore a quella delle eccitazioni collettive. La figura 3.2 mostra un confronto della regione cinematica accessibile in un esperimento di IXS con fotoni di energia ∼ 22KeV e in un esperimento di INS con neutroni di energia 50meV . Le diverse curve nel piano definito dalle variabili ridotte Q/ki ed E/Ei sono il luogo dei punti che soddisfano le (3.26) e (3.27)

rispettivamente per diversi valori dell’angolo di scattering. La regione cinematica accessibile alle due tecniche si rivela assai diversa nei due casi se il confronto viene fatto riportando energie e momenti scambiati nelle stesse unit`a, come in figura 3.3 dove riportiamo l’andamento della dispesione ottenuta sperimentalmente per il sodio e il potassio (cerchi vuoti e pieni rispettivamente), nonch´e la dispersione lineare stimata per il nichel nel limite idrodinamico.

La limitazione ora trattata non affligge, `e bene osservarlo, lo studio delle ec- citazioni fononiche in un solido, dove l’ordine a lungo range permette uno studio a valori di Q pi`u elevati del tratto di dispersione che eventualmente cade nella zona proibita del piano energia-impulso. Questo naturalmente data la periodicit`a, nelle successive zone di Brillouin, della dispersione nei sistemi ordinati. Da quan- to discusso risulta ora evidente l’interesse peculiare dell’applicazione della tecnica IXS a tutta la vasta categoria dei sistemi disordinati, in special modo quelli carat- terizzati da una velocit`a del suono elevata nel limite idrodinamico, come sono molti liquidi di metalli alcalini e di transizione, che data la loro natura di sistemi pi`u o meno ”semplici” costituiscono un ottimo banco di prova per le teorie della dinamica microscopica dei liquidi nella regione mesoscopica dei momenti scam- biati, quella cio`e in cui ha luogo il transiente fra il regime idrodinamico e quello di particella singola.

Figura 3.2: Pannello superiore: Regione cinematica accessibile alla tecnica INS in unit`a ridotte E/Ei e Q/Qi = Q/ki dove Ei e ki sono energia e momento

della radiazione incidente. Pannello inferiore: Regione cinematica accessibile alla tecnica INS in unit`a ridotte.

-40 -20 0 20 40 0 10 20 30 Ni Na Q [n m -1 ] E [meV] 30o 15o 0o Q [n m -1] E [meV] neutroni E i = 50meV -40 -20 0 20 40 0 10 20 30 K Ni K Na 18.75o 11.25o 15.00o fotoni E i = 21.7KeV 7.50o 3.75o

Figura 3.3: Pannello superiore: Regione cinematica accessibile alla tecnica INS (a sinistra) e IXS (a destra) nel caso particolare di neutroni incidenti di energia Ei ∼ 50meV e fotoni di energia Ei ∼ 22KeV . Sono riportate per confronto le

dispersioni sperimentali ottenute mediante IXS per il sodio [14] (cerchi vuoti) e il potassio [15] (cerchi pieni). `e anche riportata la dispersione lineare relativa al nichel nel limite idrodinamico (linea tratteggiata) ottenuta dai dati di velocit`a del suono adiabatica per questo sistema [37].

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