Un modello semplificato di funzione di memoria

Con lo scopo di chiarire la fenomenologia legata alla transizione dal regime adi- abatico a quello isotermo in un liquido semplice e non certo con l’intenzione di fare una previsione valida nel caso specifico del nichel, vogliamo calcolare l’anda- mento della velocit`a del suono generalizzata a partire da un modello di funzione di memoria del secondo ordine cui contribuisce una parte termica, legata all’ac- coppiamento della densit`a con le fluttuazioni termiche, e una parte longitudinale, che descriva i processi di rilassamento della dinamica microscopica.

Assumiamo pertanto che il comportamento delle fluttuazioni di densit`a sia descritto dall’equazione di Langevin generalizzata () con una funzione di memoria

M(Q, t) = ∆2

T(Q)e−t/τth + ∆2α(Q)e−t/τα + ∆2µ(Q)δ(t) (4.6)

Come si vede la scala dei tempi del rilassamento indicato con α `e τα, mentre

il rilassamento indicato con µ avviene su scale di tempo molto brevi rispetto ai tempi caratteristici delle fluttuazioni di densit`a.

Per assegnare un valore ai coefficienti e ai tempi che appaiono nella (4.6) assumiamo quanto segue

• La parte termica della funzione di memoria `e ricavata dalla forma che assume nel limite idrodinamico (2.45), con la generalizzazione della velocit`a isoterma

c2_T(Q) = KBT mS(Q)

tuttavia con riferimento alla forma della S(Q) (fig.4.1 ) assumeremo che per Q . 10nm−1 _{S(Q) ≈ S(0) per cui ω}2

0(Q) ≈ c2TQ2 lo calcoleremo a partire

dai dati disponibili della velocit`a del suono nel Ni.

• Per assegnare un andamento in Q a τth usiamo il valore trovato per DT e

poniamo τth = 1/(γDTQ2).

• Per descrivere i fenomeni di rilassamento longitudinale si introduce la frazione del rilassamento lento rispetto al rilassamento totale, x.

x = R Mαdt R Mαdt + R Mµdt

dove Mα `e la parte di M legata al rilassamento α, e lo stesso dicasi per

Mµ. L’integrale totale della parte longitudinale della funzione di memoria `e

legato alla viscosit`a cinematica ν: νQ2 =

Z _∞

0

quindi mantenendoci nella regione ove ν(Q) dipende debolmente da Q e assegnando a questo coefficiente di trasporto il suo valore nel limite idrodi- namico [37] otteniamo

∆2

µ(Q) = (1 − x)νQ2; ∆2α(Q)τα(Q) = xνQ2 (4.7)

dove ν(Q) = ν = 6.3 · 10−1_nm2_/ps.

• Per stimare τα tentiamo un argomento di scaling basato sulla conoscenza

degli andamenti in Q di queto tempo di rilassamento in altri sistemi metal- lici. Per legare tra loro le dimensioni di Tm (punto di fusione), M (massa

atomica) e QM (corrispondente al massimo dells S(Q)), basta notare che

KBTm ha le dimensioni di una energia, mentre Q−1M `e una lunghezza carat-

teristica del sistema. Allora anche MQ−2_M/τ2

alpha ha le dimensioni di una

energia. Si indichino con l’apice le grandezze riferite ad un secondo metallo; si pu`o pensare che

τα∼ τα0 ¡_M M0 ¢_1/2 ³ Tm T0 m ´_1/2³ QM Q0 M ´ (4.8)

Per confrontare i τ α dei vari metalli si sceglie τα(QM). `E chiaro che l’ipotesi

(4.8) deve essere testata sui dati sperimentali noti. A questo scopo consid- eriamo il litio [13], il sodio [14] e il potassio [15]. I dati necessari per i tre metalli sono riportati in tabella 4.5, mentre gli andamenti sperimentali dei tre tempi associati al rilassamento α sono estrapolati a QM, in corrispon-

denza del massimo principale della S(Q). Esprimendo tutto in funzione di τLi si ottiene dalla (4.8), assumendo τLi(QLiM) ∼ 0.1ps

τN a(QN aM ) ≈ 0.2ps; τK(QKM) ≈ 0.4ps;

che sono per quanto possibile valori in accordo con quelli che possiamo dedurre dalla tabella 4.5. Applicando la (4.8) ai dati relativi al Ni otteniamo infine τN i(QM) ∼ 0.1ps.

Si `e dunque indagato il comportamento predetto dal nostro modello (4.6) con le approssimazioni specificate sul comportamento in Q dei coefficienti di trasporto. In particolare riportiamo in figura 4.6 la forma ottenuta per il fattore di struttura dinamico assumendo x = 0.5 nella regione di transizione fra regime adiabatico e regime isotermo per diversi valori di Q in funzione di ω/Q. Si osserva la transizione proprio in corrispondenza di Q0 ≈ 0.2nm−1, e si nota come in corrispondenza la

largezza del picco quasi elastico, pari a DTQ2 nel limite idrodinamico, divenga

maggiore della posizione dei picchi di Brillouin DTQ2 > ωB.

Una riga quasielastica con FWHM< ωB si ritrova solo a Q pi`u grandi (Q ∼

QM M Tm τα(QM) [nm−1_{] [a.m.u.] [K] [ps]} Li ∼ 25 6.94 453 ∼ 0.1 Na ∼ 20 22.99 371 ∼ 0.2 K ∼ 17 39.10 337 ∼ 0.4 Ni ∼ 30 58.70 1728 –

Figura 4.5: Dati per alcuni metalli liquidi. QM `e il valore al quale S(Q) ha il suo

massimo principale, M `e la massa atomica, Tm la temperatura di fusione, τα(QM)

`e il tempo legato al rilassamento lento estrapolato a QM [13, 14, 15].

-6 -4 -2 0 2 4 6 0.0 20.0 40.0 0.0 5.0 10.0 0.0 2.0 4.0 Q = 0.08 nm-1 Q = 0.06 nm-1 Q = 0.04 nm-1 Q = 0.02 nm-1 S (Q ,c ) [ p s] c = ω/Q [nm/ps] 0.0 1.5 3.0 0.0 1.0 2.0 Q = 0.1 nm-1 0.0 0.3 0.6 0.9 Q = 0.2 nm-1 0.0 0.3 0.6 Q = 0.4 nm-1 0.0 0.2 0.4 Q = 0.8 nm-1 Q = 0.6 nm-1 0.00 0.15 0.30 _{Q = 1.0 nm}-1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.00 0.05 0.10 Q = 2.0 nm-1 0.00 0.02 0.04 Q = 4.0 nm-1

Figura 4.6: Fattore di struttura dinamico per diversi Q come funzione di c = ω/Q calcolato per il modello di funzione di memoria del secondo ordine (4.6).

dinamico dovuta al rilassamento α, cio`e per ω ∼ 1/τα ossia cTQ1 ≈ 1 cTτα ≈ 1 3nm/ps · 0.1ps ≈ 3nm −1

per conseguenza di questa transizione di regime dinamico la velocit`a tende per Q À Q1 al valore cα = p ω2 0(Q) + ∆2α(Q) Q = µ c2 T + ν 2τα ¶_1/2 = 3.4nm/ps

In figura4.7 `e riportato l’andamento c(Q) della velocit`a del suono generalizzata ottenuta dal massimo della funzione di correlazione della corrente longitudinale calcolata per due diversi valori di x.

0.01 0.1 1 10 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 x = 0.5 x = 0.1 C T C S C [n m /p s] Q [nm-1]

Figura 4.7: Velocit`a del suono generalizzata ottenuta per il modello con funzione di memoria del secondo ordine (4.6) ottenuta graficando la funzione di correlazione della corrente longitudinale Cl_{(Q, ω) =} ω2

Q2S(Q, ω) in funzione di c = ω/Q ed estraendo il valore di c(Q) corrispondente al massimo della Cl _{con una procedura}

di fit.

Questo semplice modello illustra le caratteristiche salienti del comportamento del sistema previsto da un modello pi`u generale di funzione di memoria in cui i due distinti fenomeni di rilassamento nella parte longitudinale siano caratterizzati da due tempi finiti τα e τβ e le approssimazioni sommarie che abbiamo fatto sui

coefficienti di trasporto siano rimosse.

Come nell’esempio, a causa della elevata conducibilit`a termica in un metallo liquido all’aumentare di Q a un certo punto la quantit`a DTQ2 diventa pi`u grande

di ωB = cSQ il che significa che il picco elastico legato al rilassamento termico

passa da adiabatica a isoterma diventando impossibili le fluttuazioni indipendenti di temperatura.

All’aumentare di Q interviene presto un secondo processo, infatti sulle scale di tempo sondate in un esperimento IXS il moto diffusivo degli ioni caratteristico della fase liquida risulta a tutti gli effetti congelato. Questo implica che parte del contributo della viscosit`a alla larghezza di riga dei picchi di Brillouin, cio`e all’attenuazione dei modi propaganti, di fatto si trasferisce alla riga elastica. Una tale fenomenologia trova peraltro riscontro in un certo numero di indagini IXS su metalli liquidi [28, 14, 13, 15], dove viene messo in evidenza che il rilassamento lento, quello che abbiamo chiamato α, soddisfa la condizione ωB(Q)τα(Q) À 1,

che conferma come una parte del flusso viscoso sia congelata. In queste condizioni la propagazione del suono `e isoterma ma il picco termico `e troppo allargato per contribuire in modo significativo alla componente quasi elastica, che per`o `e ancora osservabile grazie al contributo del rilassamento viscoso.

Come si pu`o comprendere la possibilit`a di riscontrare sperimentalmente la presenza di un regime isotermo, andando a guardare a Q > 1nm−1 _{dipende in}

maniera essenziale dai tempi e dalle caratteristiche della dinamica microscopica del sistema.