Modellazione strutturale e tipologia d’analis
4.2 L’analisi dinamica lineare
Il metodo d’analisi lineare di riferimento per determinare gli effetti dell’azione sismica, sia su sistemi dissipativi sia su sistemi non dissipativi, è l’analisi modale con spettro di risposta o analisi lineare dinamica. In essa l’equilibrio è trattato dinamicamente e l’azione sismica è modellata direttamente attraverso lo spettro di progetto definito dalla normativa per strutture non dissipative o dissipative. Solo per le strutture non dissipative è possibile, in alternativa all’analisi modale, utilizzare un integrazione al passo modellando l’azione sismica attraverso accelerogrammi.
L’analisi dinamica lineare consiste:
– Nella determinazione dei modi di vibrare della costruzione (analisi modale);
– Nel calcolo degli effetti dell’azione sismica, rappresentata dallo spettro di risposta di progetto, per ciascuno dei modi di vibrare individuati;
108 4.2.1 L’analisi modale
L’analisi modale consiste nella soluzione delle equazioni del moto della costruzione, considerata elastica, in condizioni di oscillazioni libere (assenza di forzante esterna) e nella individuazione di particolari configurazioni deformate che costituiscono i modi naturali di vibrare di una costruzione. Questi modi di vibrare sono una caratteristica propria della struttura, in quanto sono individuati in assenza di alcuna forzante, e sono caratterizzate da un periodo proprio di oscillazione T, da uno smorzamento convenzionale ξ, caratteristiche proprie degli oscillatori elementari (sistemi ad un grado di libertà v.fig.4.10), nonché da una forma.
Figura 4.10 Sistema ad un solo grado di libertà SDOF (single degree of freedom).
Tranne che per casi particolari, quali per esempio di costruzioni dotate di sistemi di isolamento e di dissipazione, si assume che i modi di vibrare abbiano tutti lo stesso valore dello smorzamento convenzionale ξ pari al 5%.
Qualunque configurazione deformata di una costruzione, e quindi il suo stato di sollecitazione, può essere ottenuta come combinazione di deformate elementari, ciascuna con la forma di un modo di vibrare. Ovviamente, in funzione dell’azione che agisce sulla costruzione, alcuni modi di vibrare avranno parte più significativa di altri nella descrizione della conseguente configurazione deformata. La massa partecipante di un modo di vibrare esprime la quota parte delle forze sismiche di trascinamento, e quindi dei relativi effetti, che il singolo modo è in grado di descrivere. Per poter cogliere con sufficiente approssimazione gli effetti dell’azione sismica sulla costruzione, è opportuno considerare tutti i modi con massa partecipante superiore al 5% e comunque un numero di modi la cui massa partecipante totale sia superiore all’85%, trascurando solo i modi di vibrare meno significativi in termini di massa partecipante.
109 4.2.2 Lo spettro di risposta
Essendo il sisma un processo molto complesso, caratterizzato dalla propagazione tridimensionale nel suolo di onde dovute al rilascio improvviso di energia potenziale elastica dovuta a movimenti tettonici della crosta terrestre, la sua schematizzazione è da sempre materia di studio. Per analizzare un edifico soggetto ad un terremoto è necessario conoscere il movimento del terreno indotto dal terremoto in prossimità dell’edifico: questo è noto se disponiamo degli accelerogrammi in tre direzioni perpendicolari. Essendo però il sisma un processo stocastico, dipendente da variabili aleatorie nello spazio e nel tempo, è possibile stabilire il terremoto di progetto solo in termini statistici: cioè si deve fare riferimento ad un terremoto che abbia una certa probabilità di accadimento in un dato intervallo di tempo. La definizione del terremoto di progetto risulta un operazione tutt’altro che semplice dato che tutti gli accelerogrammi registrati presentano caratteri e forme molto diversi tra loro sia per andamento, sia per durata, sia per valori massimi dei picchi anche in corrispondenza dello stesso terremoto.
Ai fini della progettazione strutturale non interessano le caratteristiche (intensità, magnitudo, massima accelerazione o durata) dell’evento sismico, bensì gli effetti che il terremoto produce sulla strutture. Lo stesso terremoto può infatti causare effetti diversi su strutture aventi rigidezze molto diverse o su strutture simili, ma fondate su terreni con caratteristiche dissimili. Gli effetti di un terremoto su una struttura sono connessi tanto con il contenuto in energia del terremoto alle varie frequenze, quanto con i valori delle frequenze proprie della struttura. Nella maggior parte dei casi non importa conoscere per intero la storia temporale del moto della struttura, ma è sufficiente sapere i valori massimi della risposta in termini di spostamento o di velocità relative o di accelerazione assoluta. Per questo motivo una rappresentazione molto efficace della azione sismica di progetto è costituita dallo spettro di risposta elastico di riferimento per la zona di costruzione, che può essere ricavato mediante questo procedimento.
Assegnata la funzione che rappresenta l’accelerogramma sismico `aJbLc , mediante l’integrale di Duhamel è possibile risolvere numericamente l’equazione di equilibrio dinamico relativa ad un sistema ad un grado di libertà, avente assegnate caratteristiche ξ e ω, e da questa ottenere esattamente i valori massimi delle risposte.
x(t) = %
d ∙ e f∙ g hJbL ∙ i
OjeJBOkLsin m Jb − nLon B
&
L’integrale di Duhamel rappresenta la risposta di un sistema a un grado di libertà smorzato ad una generica storia di carico F(t), poiché le derivazione è basata sul principio di sovrapposizione degli effetti essa è valida solo per sistemi lineari.
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Tale operazione, eseguita facendo variare le caratteristiche ω e ξ, in modo da investigare il campo che interessa le strutture, fornisce in termini numerici le funzioni Sd(ω,ξ), Sv(ω,ξ), Sa(ω,ξ), che
rappresentano le risposte massime, per ω ed ξ assegnati, rispettivamente in termini di spostamento e velocità relativi e di accelerazione assoluta. Sono questi gli spettri di risposta elastici, in cui il terremoto viene analizzato direttamente dal punto di vista degli effetti massimi che produce sulle strutture. Lo spettro di risposta elastico in termini di accelerazione parte sempre, per T = 0, da un valore pari alla massima accelerazione al suolo ag, indicata dalla sigla PGA (peak ground acceleration) (v.fig.4.11). Infatti al valore nullo di T corrisponde un sistema dinamico infinitamente rigido, per il quale il moto relativo x(t) della massa m rispetto al suolo è nullo; di conseguenza la massima accelerazione assoluta del sistema coincide con quella del suolo.
Figura 4.11 Forma di spettro di risposta in accelerazione.
L’andamento tipico dello spettro di risposta in accelerazione presenta forti amplificazioni dell’accelerazione spettrale rispetto a quella del suolo dovute al fenomeno meccanico della risonanza, che avviene quando il periodo della forzante è simile a quello proprio del sistema strutturale. Poiché, generalmente, per i terreni compatti sono particolarmente importanti le componenti di basso periodo è in corrispondenza di queste che si osservano le maggiori amplificazioni. Al termine del tratto iniziale a campana, l’andamento dello spettro si presenta decrescente, fino a tendere a valori praticamente nulli dell’accelerazione spettrale per sistemi con periodo T molto elevato. Ai fini progettuali occorrerebbe disporre degli spettri relativi ai sismi che potranno cimentare in futuro la struttura. Questi vengono ricavati analizzando statisticamente per ciascun sito le registrazioni storiche e facendo un inviluppo dei loro spettri, il risultato è lo spettro convenzionale di forma regolare.
111 4.2.3 La combinazione degli effetti
L’utilizzo dello spettro di risposta consente di calcolare gli effetti massimi del terremoto sulla costruzione associati a ciascun modo di vibrare. Poiché durante il terremoto, tuttavia, gli effetti massimi associati ad un modo di vibrare non si verificano generalmente nello stesso istante in cui sono massimi quelli associati ad un altro modo di vibrare, tali effetti non possono essere combinati tra di loro mediante una semplice somma ma con specifiche regole di combinazione, di natura probabilistica, che tengono conto di questo sfasamento temporale.
Se il periodo di vibrazione di ciascun modo differisce di almeno il 10% da quello di tutti gli altri, la combinazione degli effetti relativi ai singoli modi può essere effettuata valutando la combinazione come radice quadrata della somma dei quadrati (Square Root of Sum of Square o SRSS) degli effetti relativi a ciascun modo, secondo l’espressione:
E = J∑ Eq q8L1/2
Con E valore combinato dell’effetto ed Ei valore dell’effetto relativo al modo i.
Tale regola deriva dall’ipotesi che i contributi massimi dei singoli modi non siano correlati e non si verifichino contemporaneamente.
La possibilità che i massimi contributi modali siano correlati può essere tenuta in conto attraverso la combinazione quadratica completa (Complete Quadratic Combination o CQC):
E = r∑ ∑ stuu t ∙ vt ∙ vuw1/2 Con:
Ej valore dell’effetto relativo al modo j;
ρij coefficiente di correlazione tra il modo i e il modo j calcolato secondo la seguente espressione:
ρij = xyYzY{rYzX|z{ ∙ Yzw ∙ |z{ ^/~
5%O|z{~7~X Yz ∙ Y{ ∙ |z{ ∙ 5%X |z{~7X 5Yz~XY{~7 ∙ |z{~
ξi , ξj smorzamento viscoso convenzionale rispettivamente del modo i e del modo j; βij è il rapporto tra l’inverso dei periodi di ciascuna coppia i-j di modi (βij = TJ/Ti).
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