La diusione anelastica

La sezione d'urto sperimentale di cui si è ampiamente discusso, è stata ottenuta assumen- do che i neutroni scatterati dal campioni siano così energetici che sia possibile trascurare l'acquisto o la perdita di energia conseguente ad un evento di scattering (approssimazio- ne statica). In un esperimento reale tale approssimazione non è sempre valida. Non lo è soprattutto nel caso di campioni formati da atomi leggeri come l'idrogeno e dunque nel caso di soluzioni acquose. In questi casi, la componente anelastica dell'urto con il neutrone è tutt'altro che trascurabile; nel caso dell'idrogeno l'anelasticità e dunque la grande energia di scambio tra neutrone-nucleo, è una conseguenza delle masse confron- tabili tra il nucleo di scattering ed il neutrone. In pratica, in un processo di urto tra i neutroni ed i protoni, i protoni del bersaglio rinculano e perdono energia. Nelle sezioni d'urto sperimentali, il contributo dell'anelastico è visibile soprattutto in corrispondenza di bassi valori del momento trasferito ovvero per grandi valori dell'angolo di scattering θ. Il problema della diusione anelastica nelle TDCS è legato al fatto che essa viene ricavata integrando a θ costante e che ad ogni singolo valore di θ, corrispondono diversi valori di k mentre nell'esperimento si è in grado di eettuare solo la corrispondenza θ → ke. Il

primo a studiare la problematica fu Placzek nel 1952 [32]. Egli prevedeva di arginare il problema espandendo in serie di Taylor il fattore di struttura dinamico S(K, ω), intorno al suo valore elastico

S(K, ω) = S(Ke, ω) +  ∂S ∂K2  K=Ke (K2− K_e2)+ 1 2  ∂2S ∂2_K2  K=Ke (K2− K_e2)2+ ..., (2.97)

e di poter stimare il fattore di struttura statico S(K) a meno di termini noti successivi. I termini noti successivi erano per l'appunto, rappresentati dallo sviluppo di S(K, ω) in serie di potenze di (K2_{− K}2

e), intorno al valore Kedel momento trasferito come previsto

dall'equazione 2.97. Le quantità (K2_{− K}2

e) possono essere espresse in funzione di una

variabile dipendente dall'energia del neutrone incidente ed, integrando rispetto ad ω i termini dello sviluppo successivi al primo, è possibile ottenere espressioni che dipendano solo dalla massa nucleare, dalla temperatura del campione, dalla geometria e dall'e- cienza del detector. Tale approssimazione non funziona però nel caso di atomi leggeri

e ad oggi non esiste un modo esatto per la rimozione completa degli eetti anelastici. L'essenza del lavoro di Placzek era dimostrare che gli eetti anelastici contribuiscono principalmente lo scattering self mentre lo scattering distinto ne risulta solo debolmente inuenzato. Egli giunse a tale conclusione considerando che la sezione d'urto doppio dif- ferenziale potesse essere espressa in funzione di due contributi: un termine self Sα(K, )

ed un termine di interferenza Hαβ e che, tali contributi fossero separabili tramite oppor-

tune regole di selezione. Dal calcolo successivo dei momenti primi del fattore di struttura dinamico, egli dimostrò che l'unico termine che contribuisce all'anelastico è il contributo self dello scattering.

In dettaglio, la sezione d'urto doppio dierenziale per unità di angolo solido, e per unità di energia trasferita, è pari a b2 k0

kS(K, ), dove S(K, ) è il fattore di scattering dina-

mico,  è la variazione energetica del neutrone dopo l'evento di scattering ed inne b la lunghezza di scattering dell'atomo. Per un sistema a molte componenti il fattore di struttura totale risulta pari a

S(K) =X α cαhb2αi + X αβ≥α (2 − δαβ)cαcβhbαi hbβi [δ(K) + Hαβ(K)] (2.98)

è possibile separare il termine self Sα(K, ) da quello di interferenza Hαβ attraverso le

regole di selezione: Z ∞ −∞,Kconst Sα(K, )d = 1.0, (2.99) Z ∞ −∞,Kconst Hαβ(K, )d = Hαβ(K) (2.100)

Il momento primo relativo a ciascun contributo (self e distinct) del fattore di struttura dinamico è pari a Z ∞ −∞,Kconst Sα(K, )d = ~ 2_K2 2Mα = ER,α (2.101) Z ∞ −∞,Kconst Hαβ(K, )d = 0 (2.102)

dove Mαè la massa dell'atomo coinvolto nel processo di scattering ed ER,αindica l'ener-

gia di rinculo dell'atomo α. Tali equazioni dimostrano che, mentre per il contributo self dello scattering il trasferimento di energia è nito ed aumenta parabolicamente con Q, l'energia trasferita per lo scattering distinto è mediamente nulla per valori niti di energia trasferita, ma questo signica che vi saranno contributi positivi e negativi allo scattering distinto con l'aumento dell'energia trasferita, contribuendo con un trasferimento totale nullo.

In sintesi la sezione d'urto sperimentale può essere riscritta considerando i due contributi self e distinct

Σ(Ke, θ) = Σ(s)(Ke, θ) + S(Ke), (2.103)

dove Σ(s)_(K

e, θ)rappresenta il contributo self o incoerente alla sezione d'urto ed S(Ke)

rappresenta il contributo distinct e descrive l'interferenza tra i neutroni che vengono diusi dai dierenti nuclei presenti nel campione. La parte self rappresenta principal- mente la fonte di anelastico e dipende da θ in quanto il rinculo varia per diversi angoli di scattering. Essa può essere stimata come [36] come

Σ(s)(Ke, θ) =

Z

γ

f (K, θ, ω)Σ(s)(Ke, θ, ω)dω, (2.104)

dove γ è il cammino di integrazione a Ke ssato ed il fattore f(K, θ, ω) è una funzione

del fascio di neutroni incidente (I0), dell'ecienza dei rivelatori (d(k))e della geometria

dell'apparato sperimentale (a = L0/L1) secondo

f (K, θ, ω) = I0(k) I0(ke) d(k) d(ke) k0 k a + 1 a + k_k0
3 . (2.105)

La relazione 2.105 spiega anche in che modo sia possibile ottimizzare i valori di a e θ anchè i contributi anelastici vengano ridotti. Per piccoli valori dell'angolo θ, il valore del vettore d'onda scambiato è vicino a Ke, anche nel caso in cui il valore di a superi 1

(a=1 corrisponde al caso più favorevole). Nel caso di SANDALS gli eetti anelastici sono quindi, ridotti in quanto il valore di a è compreso tra 2.8 e 14.7 e θ varia tra 3.8°e 36.5°. La conclusione che gli eetti anelastici coinvolgessero principalmente lo scattering self

venne fuori da alcune analisi di Soper [37], anche quando il campione risultava composto da atomi leggeri quale l'idrogeno. Questo indica che l'anelastico apporta alla sezione d'urto di scattering dierenziale, un background di scattering self dipendente da K e non comporta invece un impatto signicativo sul fattore distinct dello scattering che viene investigato. Per i casi in cui l'espansione in serie di Placzek non funzioni viene utilizzato generalmente un metodo ad hoc basato sull'uso di polinomi per rimuovere lo scattering anelastico. Per tale motivo la sottrazione del background richiede una certa attenzione.