5.2 Cenni di teoria
5.2.2 La stima del market price of risk
Come visto al paragrafo 5.1, il risk premium e il market price of risk sono due diverse espressioni della remunerazione che una controparte desidera ricevere nel momento in cui sottoscrive un contratto derivato nel quale è fissato ad oggi il futuro prezzo di scambio del bene sottostante. Con un contratto futures entrambe le parti di una negoziazione si obbligano a scambiare a termine l’energia elettrica ad un prezzo dato,
143 ma le evidenze empiriche hanno dimostrato che una sola delle due è disposta a riconoscere all’altra un “premio” per poter sottoscrivere questo tipo di contratto. In base all’hedging pressure theory, infatti, una delle controparti potrebbe essere più motivata dell’altra a fissare un prezzo forward sull’elettricità per coprirsi da eventuali movimenti improvvisi del prezzo a pronti. Diversi studi hanno dimostrato che i mercati elettrici si trovano spesso in una situazione di contango, ovvero di prezzi forward superiori ai prezzi spot, in controtendenza rispetto alla situazione opposta di
backwardation tipica dei mercati di commodity. Questo fenomeno trova la sua
motivazione principale proprio nelle caratteristiche uniche dell’elettricità: essa, infatti, non potendo essere immagazzinata, risente di improvvisi disallineamenti tra domanda e offerta che producono spikes o drops dei prezzi nel mercato. Inoltre, i rivenditori di energia elettrica, tipicamente, stipulano con il consumatore finale dei contratti di fornitura dell’energia elettrica a un prezzo prefissato, che li espone ai movimenti del prezzo nei mercati all’ingrosso (wholesale markets). Perciò è facile che i rivenditori, nonché acquirenti di energia nei mercati wholesale, siano disposti a pagare un premio al rischio positivo ai produttori/venditori sul prezzo forward pur di fissare i propri costi. Mano a mano che la scadenza si fa più distante, la consistenza del premio pagato si fa sempre meno rilevante tanto che per contratti dalla maturity molto lontana il premio potrebbe divenire negativo. In quest’ultimo caso sono quindi i produttori a voler riconoscere agli acquirenti uno sconto sul prezzo forward (premio al rischio negativo) pur di fissare i propri ricavi nel lungo termine e sostenere così eventuali progetti di investimento e sviluppo.
In sintesi, da questa breve analisi, ci si aspetta che i premi al rischio registrati in un mercato elettrico siano inizialmente elevati e positivi per poi decrescere, fino anche a valori negativi, all’aumentare della scadenza dei contratti futures negoziati in quel mercato. Allo stesso modo, il market price of risk deve produrre un aggiustamento del drift nella dinamica dei prezzi tale da tenere in considerazione questa tendenza decrescente. Si ricordi che mentre il premio al rischio (atteso) è dato dalla semplice differenza tra il prezzo futures e il valore atteso del prezzo spot alla scadenza del derivato, il prezzo di mercato del rischio è un termine relativo che si inserisce nella
144 media di lungo periodo della dinamica del prezzo a termine. Queste due misure, poiché espressione dello stesso rischio, possono essere messe in relazione così come illustrato di seguito.
A partire dalla (5.4) è possibile riscrivere la definizione (5.1) di risk premium ex ante,
RP(t,T), calcolato al tempo t e riferito alla scadenza T, nella forma seguente:
ܴܲሺݐǡ ܶሻ ൌ ܧ௧ఒሾܲሺܶሻሿ െ ܧ௧ሾܲሺܶሻሿ (5.10)
dove, come visto nel paragrafo precedente e ipotizzando ancora una volta che il regime
di partenza per la valutazione del derivato al tempo t sia il regime di base, ܲሺܴ௧ ൌ ͳሻ ൌ
ͳ, ܧ௧ఒሾܲሺܶሻሿ ൌ ଵଵሺ்ሻቊܺ௧ǡଵ݁ିఉሺ்ି௧ሻߙߚ ൫ͳ െ ݁ଵ ିఉሺ்ି௧ሻ൯ න ݁ିఉሺ்ି௨ሻߣሺݑሻ݀ݑ ் ௧ ቋ ଵଶሺ்ሻሺ݁ఈమାଵଶఙమమ ܺሺݍ ଶሻሻ ଵଷሺ்ሻሺܺሺݍଷሻ െ ݁ఈయାଵଶఙయ మ ሻ ்݂ (5.11)
e dove, allo stesso modo, ma sotto l’ipotesi di distribuzione di probabilità dei rendimenti dei prezzi spot neutrale al rischio, Q,
ܧ௧ሾܲሺܶሻሿ ൌ ଵଵሺ்ሻ൜ܺ௧ǡଵ݁ିఉሺ்ି௧ሻߙߚ ൫ͳ െ ݁ଵ ିఉሺ்ି௧ሻ൯ൠ ଵଶሺ்ሻሺ݁ఈమାଵଶఙమ మ ܺሺݍଶሻሻ ଵଷሺ்ሻሺܺሺݍଷሻ െ ݁ఈయାଵଶఙయ మ ሻ ்݂Ǥ (5.12)
A questo punto, come conseguenza della semplice combinazione delle formule (5.10), (5.11) e (5.12) e in base al lemma di Itô64, risulta (Janczura, 2012):
ܴܲሺݐǡ ܶሻ ൌ ଵଵሺ்ሻන ்݁ ିఉሺ்ି௨ሻߣሺݑሻ݀ݑ
௧ (5.13)
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dove al primo membro compare il risk premium, ܴܲሺݐǡ ܶሻ, mentre al secondo il market
price of risk in funzione del tempo, ߣሺݑሻ.
Anche in questo caso, è opportuno tenere in considerazione il periodo di consegna
(T1,T2) tipico dei contratti futures sull’energia elettrica. Inoltre, lavorando con una
variabile temporale discreta, è possibile ridurre la complessità computazionale sostituendo gli operatori integrali con le sommatorie. Così facendo il prezzo a termine del derivato deve essere confrontato non con il valore atteso di un singolo prezzo spot a scadenza T, ma con la media aritmetica dei valori attesi di tutti i prezzi a pronti calcolati per ciascun giorno (se si lavora con i prezzi giornalieri) dell’intervallo temporale [T1,T2]. Un soggetto che ha acquistato un contratto futures sull’energia
elettrica con, ad esempio, periodo di consegna mensile, ha fissato il prezzo a termine per ciascun giorno del mese di scadenza del derivato. In questo modo, il prezzo futures, unico e prefissato, deve essere confrontato con il prezzo spot del sottostante di ciascun giorno di quel mese al fine di determinare il payoff conseguito giorno per giorno dall’acquirente. In fase di valutazione del derivato, è sufficiente confrontare il prezzo a termine ܨሺݐǡ ܶଵǡ ܶଶሻ con la media dei valori attesi dei prezzi spot ܧ௧ሾܲሺܶሻሿ, con
T1≤T≤T2. Il risk premium atteso, calcolato al tempo t e riferito al periodo di consegna
[T1,T2], può essere quindi definito come segue:
ܴܲሺݐǡ ܶଵǡ ܶଶሻ ൌ ܨሺݐǡ ܶଵǡ ܶଶሻ െܶ ͳ
ଶെ ܶଵ ͳ ܧ௧ሾܲሺܶሻሿ
்మ
்ୀ்భ
(5.14)
dove i prezzi futures sono valori osservati sul mercato al tempo t, mentre i prezzi spot a scadenza sono simulati dalla implementazione di un modello matematico sottostante del tipo 3ir-MRS (si veda il paragrafo 4.4.3).
Data la serie storica dei prezzi futures di un certo mercato, è possibile calcolare il premio al rischio per ciascun periodo di consegna considerato e ne risulta, quindi, un vettore dei premi al rischio associato a quello specifico mercato.
Sulla base delle considerazioni appena riportate e assumendo che il market price of risk sia espresso nella forma ߣሺݑሻ ൌ ߣଵݑ ߣଶ, la relazione (5.13) può essere riscritta nel seguente modo:
146 ܴܲሺݐǡ ܶଵǡ ܶଶሻ ൌ ߣଵσ்்ୀ்మ భଵଵሺ்ሻ൬ݐ െ ͳ െ ݁ ିఉሺ்ି௧ሻ ߚ ൰ ߣଶσ்்ୀ்మ భଵଵሺ்ሻሺͳ െ ݁ିఉሺ்ି௧ሻሻ ߚሺܶଶെ ܶଵ ͳሻ (5.15)
dove la scala temporale continua è stata sostituita con quella discreta.
A questo punto, calcolando la serie del premio al rischio secondo la (5.14), i coefficienti del market price of risk, ߣଵ e ߣଶ, possono essere stimati attraverso una procedura numerica di ottimizzazione in Matlab, del tipo non-linear least-squares minimization. Sulla base delle stime dei parametri del modello Markov regime switching a tre regimi
indipendenti utilizzato per rappresentare la dinamica dei prezzi a pronti, ߠ ൌ
ሺߙොǡ ߚመǡ ߪොǡ ߛොǡ ࡼǡ ሻ, con i={1,2,3}, e le stime dei coefficienti del market price of risk , ߣመଵ e
ߣመଶ, è possibile calcolare il prezzo forward dell’energia elettrica per qualsiasi scadenza
nonchè ricostruire tutta la curva dei prezzi a termine (electricity forward price curve) relativa allo specifico mercato analizzato.
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5.3
Applicazione
La metodologia di pricing dei futures sull’energia elettrica presentata nei paragrafi precedenti è stata applicata a delle serie storiche dei prezzi osservati al fine di valutarne l’adeguatezza ai dati reali. Volendo concentrare l’attenzione sull’Europa, la difficile reperibilità delle serie storiche dei prezzi a termine dei mercati elettrici ha portato ad analizzare i due soli casi di Germania/Austria e Francia. Al paragrafo 5.3.1 sono descritti il mercato da cui sono stati raccolti i dati e le caratteristiche delle tipologie contrattuali prese in considerazione. Nei paragrafi successivi sono specificate, in dettaglio, le procedure applicate e sono esposti i risultati ottenuti. Prima è derivata la stima del market price of risk associato a ciascuna delle due regioni economico- geografiche di riferimento (5.3.2), poi, sulla base di tale stima, sono calcolati i prezzi futures teorici e la curva dei prezzi a termine (forward prices curve, 5.3.3). L’applicazione è stata sviluppata sulle serie storiche dei prezzi a termine del 2012 e sulle simulazioni dei prezzi spot, anch’esse, ipoteticamente, relative al 2012, presentate al paragrafo 4.4.3. Riferendosi a un periodo temporale già trascorso, ovvero l’anno 2012, è stato possibile verificare la coerenza delle stime e dei risultati ottenuti con i dati reali effettivamente registrati sul mercato.