Simulazione

Sulla base delle stime delle componenti deterministiche stagionali (STSC e LTSC), dei parametri e delle probabilità del modello 3ir-MRS ottenute nel paragrafo precedente, sono condotte delle simulazioni dei prezzi a pronti per ciascuna delle tipologie di prezzo analizzate (Phelix index, France Spot Price, Elspot Price e PUN). A partire dal prezzo registrato in data 2 gennaio 2012 sono simulate N traiettorie del prezzo Pt

composte da 364 valori simulati ciascuna56_{, utilizzando le stime e lo stesso approccio}

della fase di calibrazione (paragrafo 4.4.2). Per ogni tipologia di prezzo sono sviluppate tre prove che differiscono per il numero di traiettorie simulate: N=1, N=500 e N=5000. Ancora una volta la procedura è uguale per tutte le quattro tipologie di prezzo dell’energia elettrica studiate. In primo luogo sono generate N traiettorie della sola

componente stocastica Xt utilizzando il modello Markov regime-switching a 3 regimi

indipendenti (4.5) (4.6) (4.7) e le stime dei parametri e delle probabilità riportati in Tabella 4.1. Quindi, si procede a ritroso rispetto al metodo di destagionalizzazione adottato in precedenza, al fine di giungere a N serie simulate di Pt. Ciascuna serie

simulata di Xt viene traslata verso il basso di una misura pari al valore utilizzato in fase

di destagionalizzazione per riportare la serie destagionalizzata Xt a livello con la serie

del prezzo spot Pt prima di procedere alla calibrazione del modello MRS (si veda il

paragrafo 4.4.2). In seguito sono sommate alle traiettorie simulate della sola componente stocastica del prezzo le componenti deterministiche stagionali stimate in precedenza così che Xt + st + Tt = Pt. Si noti che per il caso della componente LTSC si

considera la stima della stagionalità calcolata in out-of-sample, ovvero nella forecast

window, al paragrafo precedente e illustrata in rosso in Figura 4.2.

Il periodo di simulazione, ovvero 365 valori, contando anche il dato reale di partenza del 2 gennaio 2012, coincide con il periodo di riferimento per quello che è stato definito al paragrafo (4.4.1) campione out-of-sample (o forecast window): dal 02/01/2012 al

56 _{Il valore reale da cui inizia la simulazione di ciascuna traiettoria e i 364 valori simulati}

successivi rappresentano complessivamente un anno. Si è, infatti, ritenuto opportuno simulare il possibile comportamento del prezzo a pronti dell’energia elettrica durante un arco temporale sufficientemente ampio, quale quello annuale.

122 31/12/2012. In questo modo, infatti, è possibile confrontare i risultati della simulazione con la serie storica reale del prezzo Pt. Nella Tabella 4.2 sono riportate, per ogni

tipologia di prezzo e per ogni N (con N={1, 500, 5000}) la media ߤ௉ e la varianza ߪ௉ଶ della serie reale del prezzo spot calcolate nel campione out-of-sample e i valori attesi della media e della varianza delle N simulazioni del prezzo, indicati rispettivamente con ߤௌ e ߪௌଶ. Nelle Figure 4.6, 4.7 e 4.8 sono infine illustrati i risultati della simulazione rispettivamente per N=1, N=500 e N=5000; in particolare, in rosso è indicata la serie reale del prezzo, in grigio le serie simulate, in nero (linea tratteggiata) la media del prezzo reale e in blu (linea continua) la media delle medie delle serie simulate.

Serie reale Simulazione

_{ߤ௉ ߪ௉}ଶ _ߤ ௌሺܰሻ ߪௌଶሺܰሻ N=1 42.619 169.645 37.399 186.805 N=500 38.002 198.933 N=5000 38.093 200.840

Tabella 4.2.1 Phelix Index

Serie reale Simulazione

_{ߤ௉ ߪ௉}ଶ _ߤ ௌሺܰሻ ߪௌଶሺܰሻ N=1 46.991 484.765 38.689 196.459 N=500 38.858 243.075 N=5000 38.761 241.773

Tabella 4.2.2 France Spot Price

Serie reale Simulazione

_{ߤ௉ ߪ௉}ଶ _ߤ ௌሺܰሻ ߪௌଶሺܰሻ N=1 33.124 194.913 41.585 31.046 N=500 -106.183 3.56E+08 N=5000 1.24E+03 4.31E+11

123

Serie reale Simulazione

_{ߤ௉ ߪ௉}ଶ _ߤ ௌሺܰሻ ߪௌଶሺܰሻ N=1 75.408 149.103 71.084 113.482 N=500 72.902 108.191 N=5000 72.890 108.290 Tabella 4.2.4 PUN

Tabella 4.2 Risultati della simulazione del prezzo spot dell’energia elettrica nel

campione out-of-sample (dal 02/01/2012 al 31/12/2012): media (ߤ௉) e varianza (ߪ௉ଶ) del

prezzo reale, valori attesi di media (ߤௌ) e varianza (ߪௌଶ) dei prezzi simulati. I valori sono distinti a seconda del numero N (con N={1, 500, 5000}) di simulazioni e della tipologia di prezzo: Phelix index (Tabella 4.2.1), France Spot (Tabella 4.2.2), Elspot (Tabella 4.2.3), PUN (Tabella 4.2.4).

124

Figura 4.6.2 France Spot Price

125

Figura 4.6.4 PUN

Figura 4.6 Simulazione di N=1 traiettorie del prezzo spot (in grigio) a confronto con

la serie reale del prezzo (in rosso). Media della serie storica reale (linea nera tratteggiata) e media della serie simulata (linea blu continua). Phelix index (Figura

126

Figura 4.7.1 Phelix index

127

Figura 4.7.3 Elspot Price

Figura 4.7.4 PUN

Figura 4.7 Simulazione di N=500 traiettorie del prezzo spot (in grigio) a confronto

128 tratteggiata) e media delle medie delle 500 serie simulate (linea blu continua). Phelix index (Figura 4.7.1), France Spot (Figura 4.7.2), Elspot (Figura 4.7.3), PUN (Figura 4.7.4).

Figura 4.8.1 Phelix index

129

Figura 4.8.3 Elspot Price

Figura 4.8.4 PUN

Figura 4.8 Simulazione di N=5000 traiettorie del prezzo spot (in grigio) a confronto

130 tratteggiata) e media delle medie delle 5000 serie simulate (linea blu continua). Phelix index (Figura 4.8.1), France Spot (Figura 4.8.2), Elspot (Figura 4.8.3), PUN (Figura 4.8.4).

Il caso di N=1 è stato presentato con il semplice scopo di illustrare più chiaramente i risultati, specialmente grafici, della fase di simulazione, ma non può rappresentare in maniera significativa l’adeguatezza o meno del modello 3ir-MRS alle serie dei prezzi analizzate. I giudizi e le osservazioni si basano sulle prove di N=500 e N=5000, in cui la numerosità delle serie simulate conferisce una certa validità ai risultati.

Le analisi di Phelix Index, France Spot e PUN confermano che le tecniche di destagionalizzazione utilizzate e il modello stocastico stimato si adattano a descrivere il prezzo spot dell’energia elettrica. I valori di ߤ_௉ e ߤ_ௌሺܰሻ dei tre prezzi registrano uno scarto piuttosto contenuto che può essere attribuito, in parte, alle stime ottenute in fase di calibrazione ma soprattutto alla scelta di utilizzare la stessa differenza tra il minimo della serie Pt e quello della serie destagionalizzata Xt calcolata in fase di stima, anche in

fase in simulazione. È evidente che questo termine influenza la stima di αi e può non

essere particolarmente adeguata nel caso della serie reale del campione out-of-sample .

Una tecnica alternativa potrebbe essere quella di riportare la serie Xt a livello con quella

Pt , prima della stima, facendo combaciare non il minimo di Xt con quello di Pt ma la

media di Xt con quella di Pt. Per quanto riguarda le varianze invece, solo il valore atteso

della varianza delle serie simulate del prezzo France Spot non sembra riflettere molto la varianza campionaria calcolata sulla serie reale: in tutti e tre i casi (N=1, 500, 5000) il valore di ߪௌଶሺܰሻ è inferiore alla metà di ߪ௉ଶ.

Si noti, inoltre, che i risultati di N=5000 confermano quelli di N=500, a indicare che una numerosità tanto elevata di simulazioni non fornisce alcuna ulteriore informazione o alcun miglioramento rispetto al caso di poche traiettorie simulate del prezzo.

A conferma di quanto già osservato in precedenza nel paragrafo 4.4.2, il modello Markov regime-switching a 3 regimi indipendenti non sembra particolarmente adatto a descrivere la dinamica del prezzo Elspot peakload. I valori attesi dei momenti primo e secondo delle simulazioni non approssimano ai corrispettivi media e varianza della

131 serie reale, anzi, si discostano di molto all’aumentare delle simulazioni. Nei grafici (Figura 4.7.3 e Figura 4.8.3) si osservano picchi del prezzo spropositati rispetto a dei livelli di prezzo ragionevoli. Una possibile soluzione al problema potrebbe essere quella di stimare nuovamente il modello MRS sulla serie osservata dei prezzi considerando solo due regimi, uno di base e uno per gli spikes. Infatti, se si analizzano le stime precedenti (Tabella 4.1.3) si vede che la probabilità che un’osservazione appartenga al regime dei drops è molto più bassa rispetto a quella degli spikes. Con due soli regimi si potrebbero ottenere degli stimatori più efficienti e forse migliorare anche le traiettorie simulate.

132

Capitolo 5

Applicazione: un modello per il prezzo

futures dell’energia elettrica

In quest’ultimo capitolo è descritto un modello di pricing dei contratti futures sull’energia elettrica. Dopo un’analisi della letteratura scientifica che si è dedicata a questo tema (si veda il capitolo 3), si è deciso di adottare l’approccio proposto da Janczura nel suo lavoro “Pricing electricity derivatives within a Markov regime switching

model” del 2012. I vantaggi che esso offre sono principalmente due: da un lato la

continuità del modello Markov regime switching a tre regimi indipendenti, adottato per descrivere la dinamica dei prezzi spot dell’energia elettrica (si veda il capitolo 4) anche ai prezzi a termine dell’elettricità, e dall’altro l’introduzione del market price of

risk come elemento di raccordo tra prezzi futures e aspettative sui prezzi spot futuri.

Quest’ultimo aspetto, in particolare, si richiama all’opinione, ormai accreditata da molti studiosi, che il fair value dei contratti futures scambiati nei mercati elettrici includa una sistematica componente di remunerazione del rischio di prezzo. Individuando il modo in cui uno specifico mercato elettrico remunera il rischio, e cioè calcolando i risk premia e stimando il market price of risk ad esso associati, è possibile derivare una formula per il pricing teorico dei futures negoziati in quel mercato. Di seguito è descritta ed applicata questa metodologia.

Al paragrafo 5.1 è presentato l’approccio del market price of risk, il quale è diretta conseguenza dal risk premium approach, già descritto in precedenza (3.4). Al paragrafo

5.2 sono specificati i dettagli tecnici e matematici del modello che rappresenta il prezzo

133 dati utilizzati e la procedura adottata per l’applicazione del modello alle serie storiche raccolte, poi, sono riportati i risultati ottenuti. Così come per l’applicazione sui prezzi spot del capitolo 4, anche qui sono stati scritti dei codici in linguaggio Matlab per l’implementazione del modello e per la rappresentazione dei grafici.