Le proprietà del modello MRS

Una volta ricavata la sola componente stocastica Xt del prezzo spot dell’energia

elettrica attraverso la destagionalizzazione di Pt, si procede alla modellizzazione di

quest’ultima parte attraverso un modello Markov regime-switching (MRS) a 3 regimi. Come più volte ricordato, un modello stocastico in forma ridotta del tipo MRS (si veda il paragrafo 2.1.2) descrive la variabile casuale analizzata attraverso due o più regimi, o

88 stati, ciascuno dei quali è rappresentato da un preciso e distinto processo. Tale modello si adatta particolarmente bene al caso del prezzo spot dell’energia elettrica in cui alle chiare evidenze di mean reversion e elevata volatilità delle relative serie storiche si uniscono, più o meno sporadici, fenomeni di spikes (o drops, se i picchi sono rivolti verso il basso) che necessitano di una specificazione ad hoc. Attraverso i differenti regimi è possibile distinguere il processo stocastico che governa il prezzo dell’elettricità in condizioni normali da quei processi che invece replicano i picchi del prezzo.

Il meccanismo di transizione (switching) da un regime ad un altro di un modello MRS è

rappresentato da una catena di Markov latente, Rt. Per le caratteristiche appena

richiamate del prezzo spot dell’energia elettrica, tale variabile latente, meglio definita

state variable, può assumere tre diversi stati, a ciascuno dei quali corrisponde una

particolare specificazione del processo stocastico Xt :

ܺ௧ ൌ ቐ

ܺ௧ǡଵݏܴ݁௧ ൌ ͳ ܺ௧ǡଶݏܴ݁௧ ൌ ʹ ܺ௧ǡଷݏܴ݁௧ ൌ ͵

(4.4)

dove il termine “1” denota il regime di base (quello che descrive il regolare andamento del prezzo), il termine “2” individua il regime degli spikes (gli improvvisi picchi del prezzo verso l’alto) e infine il termine “3” rappresenta il regime dei drops (i picchi verso il basso). Poiché le dinamiche che descrivono il prezzo dell’elettricità, ciascuna associata ad un regime, sono qualitativamente differenti le une dalle altre, i tre regimi sono indipendenti tra loro.

Il regime di base (ܴ௧ ൌ ͳ) è descritto da un processo stocastico mean-reverting del tipo

Ornstein-Uhlenbeck (OU)46 _{ed eteroschedastico, il quale può essere rappresentato in}

46 _{Il processo mean-reverting di Ornstein-Uhlenbeck è rappresentato, nella sua forma più}

semplice, come segue (Vasicek, 1977):

݀ܺ௧ൌ ሺߙ െ ߚܺ௧ሻ݀ݐ ൅ ߪܹ݀௧

dove ܹ௧ è un processo di Wiener (o moto Browniano), ߙȀߚ è il livello medio di lungo termine, ߚ

89 termini discreti come segue:

ܺ௧ǡଵൌ ߙଵ൅ ሺͳ െ ߚଵሻܺ௧ିଵǡଵ൅ ߪଵȁܺ௧ିଵǡଵȁఊߝ௧ǡଵ (4.5)

dove ߙଵ, ߚଵ e ߛ sono i tre parametri del modello (in particolare ߚଵ è detta la velocità di mean-reversion), ߪଵ è la volatilità del prezzo e ߝ௧ǡଵ̱ܰሺͲǡͳሻ. Si noti che il valore assoluto si rende necessario qualora dovessero verificarsi prezzi negativi. Seppure si tratti di un fenomeno estremamente raro, può capitare che il prezzo a pronti dell’energia elettrica manifesti valori negativi qualora la domanda di energia elettrica non soddisfi l’offerta perfettamente inelastica della stessa. Per le caratteristiche uniche dell’elettricità, e in particolar modo per la sua nonstorability (paragrafo 1.1), è necessario che alcuni generatori siano sempre attivi (anche durante la notte), vuoi per soddisfare la pur esigua domanda di energia, vuoi per gli elevati costi di arresto degli stessi. Ciò rende possibili episodi in cui, per i produttori di energia, ha maggior valore creare e in seguito dissipare, quindi distruggere, questa commodity piuttosto che non crearla affatto. I prezzi negativi sono appunto l’espressione di questa rara circostanza in cui il costo opportunità di arrestare i generatori è maggiore di una perdita derivante dalla distruzione dell’elettricità prodotta.

Il secondo regime (ܴ௧ ൌ ʹ) rappresenta gli improvvisi e rapidi picchi (spikes) del prezzo causati, ad esempio, da una inaspettata insufficienza di offerta a seguito del danneggiamento di alcune reti di trasmissione dell’elettricità (si veda il paragrafo 1.2.3). Il regime è descritto da variabili casuali i.i.d.47 _{generate a partire da una}

distribuzione lognormale traslata (shifted log-normal):

Ž‘‰ሺܺ௧ǡଶെ ܺሺݍଶሻሻ̱ܰሺߤଶǡ ߪଶଶሻǡܺ௧ǡଶ ൐ ܺሺݍଶሻ (4.6)

Infine il terzo regime (ܴ௧ൌ ͵), responsabile per i picchi al ribasso (drops) del prezzo, è

governato da una distribuzione lognormale traslata inversa (shifted inverse log-normal):

90

Ž‘‰ሺെܺ௧ǡଷ൅ ܺሺݍଷሻሻ̱ܰሺߤଷǡ ߪଷଶሻǡܺ௧ǡଷ ൏ ܺሺݍଷሻ (4.7)

Il termine ܺሺݍ௜ሻ in entrambe le espressioni rappresenta il qi-esimo quantile del dataset e

la sua presenza assicura che le osservazioni al di sotto del q2-esimo quantile e al di

sopra del q3-esimo quantile non siano classificate rispettivamente come spikes e drops.

Generalmente, la scelta di qi è discrezionale, anche se la prassi ha ormai individuato i

seguenti valori: q2=0.75 e q3=0.25, cioè rispettivamente il terzo e il primo quartile. Tale

specificazione è motivata dalle proprietà statistiche del modello in cui le piccole fluttuazioni sono governate dalla dinamica del regime di base mentre solo le larghe deviazioni dal valor medio dovrebbero ricadere nei regimi “estremi” di spikes e drops. Definiti i regimi del modello, è opportuno richiamare il meccanismo di switching che stabilisce le modalità con le quali la variabile di interesse si trova in un certo regime

piuttosto che in un altro al tempo t. Tornando, quindi, alla catena di Markov, ܴ௧, essa è

governata dalla matrice di transizione P, la quale contiene le probabilità pij che la

variabile di stato ܴ௧ passi dal regime i al tempo t al regime j al tempo t+1 con i,j = {1,2,3}: ࡼ ൌ ൫݌௜௝൯ ൌ ൭ ݌ଵଵ ݌ଵଶ ݌ଵଷ ݌ଶଵ ݌ଶଶ ݌ଶଷ ݌ଷଵ ݌ଷଶ ݌ଷଷ ൱ (4.8)

Lo stato corrente ܴ௧ al tempo t dipende dal passato solo attraverso il più recente valore

di ܴ௧ିଵ. La proprietà di Markov, infatti, vuole che il processo sia privo di memoria (memoryless) e che quindi non dipenda da tutti gli stati assunti fino al tempo t-1 ma solo dall’ultimo di essi. Inoltre, se si vuole conoscere la probabilità ݌_௜௝ሺ௠ሻ di passare dallo stato i allo stato j dopo m intervalli di tempo, o iterazioni, bisogna considerare tutti i possibili percorsi che portano in m passi da uno stato ad un altro. Ma in virtù della proprietà di memorylessness, appena richiamata, è possibile dimostrare che data la matrice delle probabilità di transizione P, al tempo iniziale t, la probabilità di essere nel

91 regime j al tempo t+m a partire dal regime i al tempo t è definita come segue:

݌௜௝ሺ௠ሻ ൌ ܲሺܴ௧ା௠ൌ ݆ȁܴ௧ ൌ ݅ሻ ൌ ሺࡼ௠ሻ௜௝ܿ݋݊݅ǡ ݆ ൌ ͳǡʹǡ ǥ ݊ (4.9)

dove ࡼ௠_{ൌ ࡼ}௠ିଵ_{ή ࡼ ൌ ࡼ ή ࡼ ή ࡼ ǥ ή ࡼ (m volte). Ad esempio, la probabilità ݌}

ଵଵሺ௠ሻ

corrisponde semplicemente all’elemento (1,1) della matrice P elevata alla potenza m- esima: ሺࡼ௠_ሻ

ଵଵ.

La latenza di ܴ௧ non permette di conoscere a priori nemmeno le probabilità di

transizione, la matrice P deve quindi essere stimata assieme ai parametri dei processi che descrivono le dinamiche dei tre regimi. Le tecniche di stima possono essere molteplici: le regressioni ai minimi quadrati ordinari o generalizzati (OLS e GLS), la stima di massima verosimiglianza oppure tecniche più sofisticate, come quella presentata nel prossimo paragrafo ed utilizzata nei successivi casi pratici, la procedura a due passi di Expectation Maximization (per ulteriori approfondimenti si veda Janczura e Weron, 2012).