lezioni: 70 esercitazioni: 12 laboratori: 24
PRESENTAZIONE DELCORSO
Il corsosi propone lo scopo di fornire alcuni metodimatematici idonei alla modellizzazionee all'analisi qualitativa e quantitativa disistemi di interessein campoaeronautico. I temi trattati si com pend iano in una prima parte dedicata alle equazionidifferenziali ordinarie, principal-men te del secondo ordine, comprendendoi problemi ai valori al contorno ed agli autovalori, i sistem i di Sturm-Liouville e le tecniche disoluzione, e in unasecond a parte, relativa alle equa-zionialle derivate parziali ,in cui sono trattati problemi connessicon la diffusione,le vibrazioni e ilpotenziale, in una e più' dimensioni spaziali.
MOD U LOA: EQUAZIONI DIFFEREN ZIA LIORDIN ARI E
EM ISEM ESTR E:PRIMO Impegno (ore): lezioni: 30 Crediti: 4
esercitazioni: 6 laboratori: 12
REQUISI TI
Si ritiene opportuno che lostu d ente abbia una buona conoscenza dei contenuti dei corsi di Ana lisi Matematica I e Meccanica Razionale,PET.
PROGRAM M A
1.Problem i ai valori al contorno.Problemi ben posti. Formulazioneoperatoriale, esistenza e unicitàdellesoluz ioni. Sistemi fondamentali disoluzioni, metododi variazionedei parametri e di rid uz ione dell'ordine; formula di Abel,equazione di Eulero Cauchy; modello della condu-zionestaz ionaria del calore.
2.Problem i agli autovalori.Equazioni agli autovalori di Legendre, Bessel,Laguerre,Hermite.
Applicaz ioni a problemi connessi con la determinazione di configurazioni di equilibrio ed a fenomeni stazionari.Equazioni unidimensionali di Poisson e di Helmholtz.
3.Teoria di Sturm Liouuille.Equaz ioni differen ziali autoaggiunte. Operatorisimme trici, iden-titàdiLagrange e formula di Green. Principali proprietà delle autofunzioni e degli autovalori di un ope ratoresimmetrico. Sistemidi Sturm Liouville regolari, periodiciesingolari.
4.Metod i di approssimazionedelle soluzioni. Impiego delle tecniche della Collocazione e di Galerkin per la soluzione approssimatadi problemi sia ai valori al contorno sia agli autovalori, relativamente al calcolodi lineeelastiche, carichi criticievelocità critiche.
s.Punz ion ì di Green.Soluzionedi problemi ai valori iniziali eal contorno con il metodo della fu nzione di Green.
6.Fullz iolli di Heaviside e delta di Dirae;interpretazione fisicadelle funzionidi Green.
LABORATORI E/OESERCITAZIONI
Sono proposte agli studenti applicazioni relative a problemi ai valori al contorno, come lasez io-ne variabile del pilastrocaricato di punta, le deformate della corda elastica e della trave in diver-se configu raz ioni di vincolo e di carico,ea problemi agli autovalori, come le velocità critiche e i
modi di deformazionedella cordarotante, il carico diEulero e altri.Per leesercitaz ioni al LAID verranno fomitidal docentegli algoritminecessaricon i relativi programmi di calcolo, chegli studenti,sudd ivisi in gruppi di 2-5 unità,implementeranno di volta in volta, auton omamente.
Tutti gli eserci zisviluppati in questa sede, descritti nel dettaglio sia per quanto riguarda la loro collocazione teorica sia per quanto attiene alla visuali zzazionegrafica e all' interpretazionedei risultati, verrannoorganizzati e raccolti in una tesina,redatta nel word processorprescelto ,a nome di ogni componente del gruppo.
BIBLIOGRAFIA
L.C.ANDREWS, Elementarypartial differential equationswithboundarq ualue problems,Academic Press 1986.
J.
H. MATHEWS,Numerical methodsfor computer science,engineerings and mathematics, Prentice-Halllnt. Ed., 1987.VALUTAZIONE E/O ESAME
Al termine del primo emisemestreèpossibile consegnare l'elaborato ed ottenere una valutazio-ne con riferimento ai contenuti del modulo A, che solo in tal caso non saranno più oggetto di verifica alla fine del semestre. Questa valutazione parziale èpossibile soltanto in questa occa-sione: lo studente che non la utilizza o non lasupera dovrà sottoporsi all'esame complessivo.
MODULO B: EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI
EMISEMESTRE: SECONDO Impegno (ore) lezioni:40 Crediti: 5
esercitazioni: 6 laboratori: 12
REQUISITI
Modulo A, buona conoscenza dei contenuti dei corsi di Analisi Matematica Il.
PROGRAMMA
1. Introduzione alle equazioni alle derivate parziali.Classificazione delle equazioni del secon-do ordine lineari; problemi ben posti. Equazionia coefficienti costanti. Soluzione di D'Alambert dell'equazione delle onde unidimensionale; caratteristiche. Le equazioni della fisica matemati-ca. Metodo della separazione delle variabili.
2. Rappresentazione di funzioni. Serie di Fourier, disuguaglianza di Bessel e teorema di Riemann, serie di Fourier generalizzate e loro impiego nei problemi ai valori al contorno.
Trasformate e antitrasformate di Fourier, proprietà operatoriali e convoluzione, loro impiega nei problemi in domini illimitati.
3. Problemi ai valori iniziali e al contorno per l'equazione del calore.Modello uni dimensiona-le: caratterizzazione dellesoluzioni per differenti insiemi di condizioni al contorno,con esenz a termine di sorgente, con assegnata distribuzioneiniziale di temperatura. Modello bidimensio-naie (piastra piana isotropa).
4. Problemi ai valori iniziali e al contorno per l'equazione delle onde.Modello unidimensiona le. Moti liberi e forzati della corda vibrante. Membrana vibrante fissa ai bordi, rettangolarel
circolare.
5. Equazione del potenziale. Proprietà' delle funzioni armoniche. Problemi di Dirichlet e d eumann per un disco.Problemi delpotenziale in un anello circolare.
6. Problemi in più' dimensioni. Distribuzionestazionaria della temperatura nel cilindro e de potenziale nella sfera cava.
LABORATORI E/O ESERCITAZIONI
Sono proposti agli studenti le seguenti applicazioni.Studio grafico della convergenzadi alcune seriedi Fourier. Problema di trasmi ssionedel calore per una barra ad estremia temperatura costan te:stu d io deltransitorio edellasoluz ione di equilibrioperdiversi materiali. Impiegodel metodo delle quadraturedifferen ziali per un' equaz ione del calore non lineare. Studio della risonanz a per un cavo disos pe ns ione fissoagli estremiesoggetto a raffica. Frequenze proprie dellamembranaelasticafissa ai bordi. Glistu d en ti,sem p re a gruppi di 2-5,svolgeranno al LAIB tutti i calcoli e le visualizzazionigrafiche degli argomenti sopra menzionati, utilizzandoi programm i che verranno fomiti,al finediredigere una tesina,con caratteristiche analoghe a quelle del lavoro sviluppato nel moduloA.
BIBLIOGRAFIA I testi del moduloA.
ESAM E
Un esam e tradizionale costituito da un colloquio orale conclude il corso, unitamente alla discussionedella tesina comprensiva degli argomenti relativi ai due moduli. Per coloro che hanno su perato la prova relativa al moduloA l'esame verterà soltanto sui contenuti del modu-loB ed il voto finale risulterà dalla media pesata sui rispettivi numeri di crediti dei voti dei due mod uli. Per coloro che non hanno superato la valutazione del modulo A (o che non hanno rite-nutodi sfruttame la possibilità) l'esame finale sarà unico.