Matrice di smorzamento della struttura

Fondamentale risulta, per l’oper aoggetto di studio, la modellazione del corretto smorzamento strutturale, dunque della matrice di smorzamento da inserire nel codice di calcolo. Di seguito la procedure seguita per la sua determinazione.

Smorzamento strutturale

Le prescrizioni normative, quali ad esempio le CNRDT 207/20008, suggeriscono alcuni valori di smorzamento strutturale usualmente ricorrenti, riportati nella seguente Figura 6.3.

Figura 6.3: smorzamento strutturale relativo al critico

Conformemente a quanto suggerito ed in relazione a quanto discucsso in galleria del vento, si assume un valore iniziale di smorzamento modale pari allo 0,3%.

Definizione della matrice di smorzamento

Al fine di determinare la corretta matrice di smorzamento per la struttura, occorre considerare quali siano le forme modali di interesse. Nel caso della campata strallata si desidera indagare i primi tredici modi, per quella Vierendeel invece i primi nove. Pertanto si desidera che la struttura presenti per tutti i modi compresi tra questi valori del rapporto del rapporto di smorzamento attorno allo 0,003.

Il metodo utilizzato per la definizione della matrice [C] è quello di Rayleigh, il quale la esprime come

[C] = α[M ] + β[K], (6.1)

ovvero proporzionale alla matrice di massa e di smorzamento del sistema. Svilup- pando la 6.2, in particolare utilizzando le coordinate normali, otteniamo per il generico modo i di vibrare la seguente relazione:

ξi=

α 2ωi

+βωi 2 ,

6.2. Modelli globali per le analisi statiche e dinamiche 72 Scrivendo quest’ultima espressione per il primo e l’ultimo modo dell’intervallo di forme di interesse, si ottiene il seguente sistema:

ξi= α 2ωi +βωi 2 ; ξj= α 2ωj +βωj 2 ;

con i=3,1 e j=13,9, per la campata strallata e Vierendeel rispettivamente. Dal sistema ricaviamo quindi α e β.

Questo modo di procedere garantisce valori del rapporto di smorzamento attorno a quelli voluti per tutti i modi selezionati. Nelle seguenti Tabelle 6.2 e 6.1 sono riportati i valori dei coefficienti ricavati ed i conseguenti smorzamenti modali.

Tabella 6.1: valori di smorzamento modale

Campata α_[1/s] β_[s] Strallata 0, 033 0, 0001933 Vierendeel 0, 035 0, 0001717

Tabella 6.2: valori di α e β per la definizione di [C]

Campata Modo ξi Strallata 1 0, 00466 2 0, 004286 3 0, 003060 4 0, 002960 5 0, 002658 6 0, 002547 7 0, 002528 8 0, 002558 9 0, 002817 10 0, 002954 11 0, 003009 12 0, 003081 13 0, 003363 Vierendeel 1 0, 003011 2 0, 002509 3 0, 002451 4 0, 002542 5 0, 002569 6 0, 002571 7 0, 003000 8 0, 003018 9 0, 003284

Verifica dello smorzamento strutturale

Al fine di assicurarci che la struttura sia stata dotata di uno smorzamento adegua- to, occore svolgere alcuni conti. Questo controllo è necessario poichè, come vedremo

successivamente nella definizione dell’azione dinamica equivalente al distaco di vortice, occorre lavorare con i valori di smorzamento reali della struttura, ovvero che al codice di calcolo siano stati assegnati i parametri corretti. Per analizzare questo aspetto occorre valutare il comportamento in oscillazioni libere della struttura. Di seguito si riporta a titolo di esempio il controllo fatto per il modo 3 della campata strallata, sebbene i calcoli siano stati ripetuti ogni qualvolta fosse stato richiesto un controllo sullo ξi.

Al fine di sollecitare un certo modo di vibrare, dunque indurre un’oscillazione della passerella su una certa frequenza, occorre che la forzante sia in risonanza con tale modo. Pertanto si è utilizzato un carico sinusoidale di forma dettata dalla forma modale, agente alla stessa frequenza del modo e di ampiezza qualsiasi. Non interessa infatti conoscere in questo momento il picco della risposta ma come quest evolve una volta rimosso il carico.

La forzante è stata applicata per un tempo sufficientemente lungo a raggiungere le condizioni di regime di risposta, dopodichè è stata rimossa. La time history della risposta è riportata in Figura 6.4.

Successivamente si è ragionato su come poter valutare il rapporto di smorzamento, e la soluzione è stata trovata nella valutazione del decadimento logaritmico. In parti- colare, sappiamo che in caso di oscillazione sinusoidale la risposta di un sistema ad un grado di libertà è data da:

v(t) = ρcos(ωDt + φ)e−ξωt,

in cui ωD rappresenta la frequenza di oscillazione del sistema smorzato, funzione

dello smorzamento stesso:

ωD = ω

p

1 − ξ2_,

mentre ρ rappresenta l’ampiezza iniziale della sinusoide di risposta. Considerando il rapporto tra la risposta tra due picchi successivi distanti TD, si ottiene:

v(t) v(t + TD) = e ξ2π √ 1−ξ2,

che passando ai logaritmi si scrivono ln v(t)

v(t + TD)



= ξ2π

p1 − ξ2. (6.2)

Se lo smorzamento per una data struttura è costante, allora nel piano t- ln(v) i picchi della risposta stanno tutti su una retta, come quella indicata in rosso in Figura 6.5.

6.2. Modelli globali per le analisi statiche e dinamiche 74

(a) decadimento su 350s

(b) decatimento su 20s

Figura 6.4: risposta in oscillazioni libere del ponte

Figura 6.5: retta minimi quadrati di interpolazione dei picchi in piano logaritmico

lineare può essere scritta prendendo in considerazione semplicemente due punti, 1 e 2 : ln(v) = ln(v1) − ln(v2) t1− t2 t − t2 ln(v1) − ln(v2) t1− t2 + ln(v2),

in cui determiniamo con facilità la sua pendenza: p = ln(v1) − ln(v2)

t1− t2

. (6.3)

In virtù di quanto scritto in 6.2, assumento che t1=t e t2=t+TD, si scrive allora:

p = ln(v1) − ln(v2) t1− t2 = − ξ2π p1 − ξ2 1 TD . Introducendo l’espressione di TD TD= 2π ωD = 2π ωp1 − ξ2, (6.4)

e sistemando si ottiene, almeno del segno meno, la seguente espressione per il rapporto di smorzamento:

ξ = p

ω. (6.5)

Il rapporto risulta quindi proporzionale alla pendenza della retta e alla frequenza di oscillazione naturale associata al modo. Tale pendenza è individuabile facilmente mediante il metodo dei minimi quadrati (retta in rosso di Figura 6.5), dunque la si ricava una volta estratta la storia di spostamento dal software di calcolo. Nel caso, ad esempio , del modo 3 per la campata strallata, è stata estratta dal programma la time history dell’antinodo della forma stessa e rielaborata come detto. In questo caso il rvalore di ξ ricavato è stato pari a:

ξ = 0, 003008. (6.6)

Come si osserva, il valore è praticamente coincidente con quello ricercato.Un ulterio- re verifica è stata effettuata utilizzando un carico impulsivo, valutando la risposta una volta rimosso. Sebbene i punti corrispondenti ai picchi nel piano logaritmico fossero meno allineati sulla retta, il risultato è stato ancora ottimo e pari a 0,003011. Come si vedrà nel seguito, nel caso in cui si abbiano gli smorzatori presenti sul ponte i risultati sono meno vicini a quelli obiettivo ma ugualmente ottimi.

Capitolo 7

Analisi modale della passerella

L’analisi riportata di seguito ha permesso di conoscere le principali caratteristiche dinamiche della struttura, nella fattispecie periodi, frequenze e forme modali. I risul- tati ottenuti sono molto importanti ai fini del nostro lavoro e rappresentano il punto di partenza per tutte le considerazioni successive. Come accade spesso leggendo l’out- put di queste analisi, è possibile trarre importanti soluzioni riguardo alcune potenziali deficienze della struttura e chiarirne la suscettibilità nei confronti di alcuni fenomeni, come appunto il distacco di vortice e l’azione pedonale.

Al fine di comprendere in maniera corretta il comportamento della struttura che poi verrà messa in opera è importante definire gli adeguati livelli di massa e rigidezza in gioco. Pertanto, occorre quantificare preventivamente eventuali carichi e masse aggiunte che, oltre ai pesi propri, vanno a modificare massa e rigidezza complessiva.