Metodi basati sull’utilizzo di STFT e Trasformata Wavelet

L’analisi tempo-frequenza è uno strumento molto potente che permette la decomposizione del segnale sia nel tempo che nella frequenza, e per questo fornisce un mezzo per l’analisi dei segnali non stazionari come l’EEG, sui quali non può quindi essere applicata la semplice Trasformata di Fourier. I metodi tempo-frequenza quindi permettono di valutare l’evoluzione temporale del contenuto frequenziale di un segnale, e questo è molto importante in segnali come l’EEG contenenti molti eventi, come gli arousals o gli spindles, che manifestano improvvisi cambi nelle caratteristiche di ampiezza e frequenza. (Shayan Motamedi-Fakhr, 2013).

Una delle prime tecniche tempo-frequenza introdotte per superare il limite di non stazionarietà del segnale EEG è stata la Short Time Fourier Transform. L’idea è quella di valutare la Trasformata di Fourier su intervalli temporali di durata finita che possono essere considerati stazionari. Il segnale di interesse viene uniformemente segmentato in tante piccole porzioni di segnale tra loro sovrapposte; i dati di ciascun segmento vengono poi finestrati e trasformati con la Trasformata di Fourier. Il risultato è un set di trasformate a diversi istanti temporali che rivelano come le proprietà spettrali cambiano da un segmento all’altro. Perciò, La STFT è uno strumento di analisi dei segnali che fornisce una rappresentazione tempo-frequenza, nel senso che localizza temporalmente le bande frequenziali. La risoluzione della STFT è indirettamente determinata dalla dimensione della finestra temporale: più piccolo è il segmento, maggiore è la risoluzione temporale e minore quella frequenziale, e viceversa con segmenti più lunghi; c’è però da fare attenzione al fatto che allungando il segmento si può violare l’assunzione di quasi stazionarietà richiesta dall’applicazione della Trasformata di Fourier. (Shayan Motamedi-Fakhr, 2013)

57

Nel caso di segnale discreto, la STFT si calcola come:

{ [ ]} ∑ [ ] [ ]

La STFT può essere utilizzata su finestre scorrevoli di piccola durata, come per esempio 0.5 secondi, e se la frequenza raggiunge valori tipici della struttura spindle [12-15 Hz] allora potremmo trovarci davanti a uno spindle.

Figura 5-1: Analisi STFT [da Automatic sleep spindle detection and localization algorithm- Fazil Duman, Osmal Erogul, Ziya Telatar, Sinan Yetkin]

Ovviamente questo risultato non è assolutamente sufficiente a dire di aver rivelato uno spindle, perciò questo metodo viene generalmente combinato ad altre tecniche.

Trasformata Wavelet

La STFT è una tecnica a risoluzione fissa, perciò non consente di localizzare con la stessa precisione fenomeni che evolvono rapidamente e fenomeni che invece evolvono lentamente.

Per ottenere un’analisi a risoluzione variabile occorre far in modo che all’aumentare della frequenza f la banda ∆f aumenti in modo proporzionale. Ciò si può ottenere costruendo un insieme di funzioni base mediante traslazione e cambiamento di scala di

58

un’unica funzione, ψ(t). In pratica anziché moltiplicare il segnale per la finestra g(t) ad ampiezza temporale costante e trasformare con la trasformata di Fourier, come nella STFT, si esegue direttamente il prodotto scalare con la funzione ψ(t) modificando i parametri di scala e traslazione e ottenendo in tal modo analisi sia a bassa frequenza che ad alta frequenza Tale funzione prototipo è detta mother wavelet ψ(t) ed è così definita:

( ) _√ (

)

in cui a è il parametro di scala e b il parametro di traslazione. Valori grandi di a corrispondono a wavelet lentamente variabili (dilatazione), quindi ad un’analisi con bassa risoluzione temporale ed alta risoluzione frequenziale, mentre valori piccoli di a servono a generare wavelet compresse nel tempo (compressione), quindi caratterizzate da alta risoluzione temporale e bassa risoluzione frequenziale.

Per mezzo della mother wavelet è possibile definire la trasformata wavelet contnua

(CWT) del segnale originario x(t):

[ ] √ ∫ ( ) ( )

E si può dimostrare che la relazione che permette di ricostruire il segnale originario a partire da quello trasformato è la seguente (“resolution of identity”):

( ) ∫ ∫ [ ]

( )

In pratica calcolare la CWT di un segnale significare scegliere prima di tutto una mother wavelet, fissare i parametri di scala e di traslazione, e confrontare segmento per segmento il segnale con la mother wavelet, calcolando il coefficiente CWT[a.b] che rappresenta la similarità tra quella porzione di segnale e la mother wavelet; traslare sul segnale la mother wavelet per mezzo del parametro di traslazione e continuare fino a coprire l’intero segnale; ripetere l’operazione modificando il parametro di scala. I

59

coefficienti CWT risultanti sono una misura della similarità tra il segnale e il pattern wavelet prescelto.

Di fatto calcolare i coefficienti della CWT per ogni possibile scala è estremamente oneroso dal punto di vista computazionale e produce una quantità ridondante di dati, perciò si limita la scelta del parametro di scala ad un sottoinsieme basato sulle potenze di 2, calcolando quindi non più la CWT bensì la DWT, Trasformata Wavelet Discreta. La DWT decompone il segnale in approssimazioni (scala alta, componenti a bassa frequenza) e

dettagli (scala bassa, componenti ad alta frequenza),

Esistono moltissimi tipi di Wavelet, continue o discrete, e i metodi che mostreremo nel seguito utilizzano ciascuno una funziona diversa, con obiettivi diversi: si può per esempio pensare di rilevare gli spindle analizzando i coefficienti wavelet derivanti dall’utilizzo di una mother wavelet molto simile alla morfologia ricercata; oppure si può sfruttare la conoscenza della caratterizzazione frequenziale dell’attività spindle e cercare di decomporre opportunamente la banda totale del segnale per ricondurre l’analisi alla banda di interesse.

Teager Operator

Un altro strumento molto utile da associare alle tecniche già viste è il Teager Operator, che misura le variazioni istantanee nell’energia sinusoidale. Rappresenta l’energia di un segnale in input all’interno di una specifica banda frequenziale, e amplifica le discontinuità forti mentre riduce quelle deboli.

Nel dominio tempo-continuo il TEO è dato da

[ ( )] [ ( )

] ( ) ( )

dove s(t) è il segnale tempo-continuo. Dato che uno spindle costituisce una variazione di energia locale, se il TEO restituisce valori attorno allo 0 è probabile che non siamo in

60

presenza di uno spindle, mentre se restituisce valori alti è possibile che la struttura sia uno spindle.

In letteratura sono riportati moltissimi algoritmi che si basano sulla combinazione di due o più di queste tecniche; nel seguito ne sono riportati soltanto alcuni. E’ importante sottolineare come nessuno dei rilevatori automatici presenti in letteratura raggiungano livelli di sensibilità e selettività pari al 100%, ovvero lo scoring manuale continua ad essere il gold standard, nonostante tutte le limitazioni e difficoltà già esposte.

 “An automatic sleep detector based on WT, STFT and WMSD” (2012) - J. Costa, M. Ortigueira, A. Batista and T. Paiva

Procedimento

1. STFT del segnale: dallo spettrogramma è immediate notare la presenza di un picco a t=0.5 sec e f= 15 Hz, che potrebbe indicare la presenza di uno spindle.

Figura 5-2: Spettrogramma di uno spindle [da An automatic sleep spindle detector based on WT, STFT and WMSD – J. Costa, M. Ortiguera, A. Batista and T. Paiva]

61

2. Trasformata Wavelet Continua del segnale per mezzo di una Complex Morlet WT, applicata solo sui segmenti prelevati al punto precedente del procedimento. Dal grafico dello spettro di potenza della CWT è possibile ipotizzare la presenza di uno spindle.

3. Wave Morphology for Spindle Detection (WMSD). In questo passaggio si effettua rilevazione dei picchi di segnale, determinazione delle distanze tra ciascun picco e quindi della frequenza. Uno spindle viene considerato tale solo se si verificano almeno 12 picchi consecutivi.

4. Verifiche statistiche (specificità, sensibilità, accuratezza).

Risultati:

Sensitività 94%, specificità 94%

Figura 5-3: Utilizzo dello spettro di potenza della WT per la rilevazione degli spindle [da An automatic sleep spindle detector based on WT, STFT and WMSD – J. Costa, M.

62

 “Automatic sleep spindle detection and localization algorithm” - Fazıl Duman, Osman Eroğul, Ziya Telatar, Sinan Yetkin

Procedimento

1. Filtraggio del segnale [0 35 Hz]

2. Downsampling del segnale da 200 Hz a 128 Hz

3. Decomposizione diadica del segnale per mezzo di Trasformata Wavelet (Daubechies) da 0-128 Hz (banda totale)  0-64 Hz (1^ approssimazione)  0-32 Hz (2^ approssimazione)  0-16 Hz (3^approssimazione)  8-16 Hz (dettaglio). Si ottiene un segnale in banda [8-16 Hz] (CAAD= approssimazione+approssimazione+dettaglio)

4. FFT del segnale appena ottenuto e selezione dei segnali per i quali si verifica un picco dello spettro tra 12 e 14 Hz.

Figura 5-4: Dati EEG sottoposti a decomposizione con trasformata Wavelet (8-16 Hz) [da Automatic sleep spindle detection and localization algorithm- Fazil Duman, Osmal Erogul, Ziya Telatar,

63

5. Teager Operator applicato sui segmenti selezionati dallo step precedente per la verifica di energia e durata e selezione dei soli segmenti per i quali si ha un incremento di energia.

Figura 5-5: Analisi dello spindle contenente la componente in banda (8-16 Hz) e il corrispondente risultato dell’operatore Teager [da Automatic sleep spindle detection and localization algorithm- Fazil Duman, Osmal Erogul,

Ziya Telatar, Sinan Yetkin]

Figura 5-6: Registrazione EEG e corrispondente spindle rilevato [da Automatic sleep spindle detection and localization algorithm- Fazil Duman, Osmal Erogul, Ziya Telatar, Sinan Yetkin]

Risultati:

64

 “An Automatic Sleep Spindle Detector Based on Wavelets and the Teager Energy Operator” (2009)- Beena Ahmed, Amira Redissi, and Reza Tafreshi

Procedimento

1. Decomposizione Wavelet del segnale (Daubechies WT).

2. Calcolo della WPER, Wavelet Packet Energy Ratio, che rappresenta il rapporto di energia tra il segnale in banda [9 12 Hz] e quello in banda [1 4 Hz].

3. Applicazione del Teager Operator (TEO) all’intero segnale, che amplifica le discontinuità e quindi i possibili spindles.

4. Verifica dei risultati trovati tramite applicazione della funzione di autocorrelazione. Data la periodicità dello spindle e anche dell’operatore TEO ad esso applicato, la funzione di autocorrelazione sarà bassa su segmenti di segnale altamente variabili, e quindi non contenenti fusi, e alta in corrispondenza di uno spindle.

Figura 5-7: (a) Segmento di EEG con uno spindle marcato (b) Il Teager Energy Operator corrispondente (c) La funzione di autocorrelzione del segmento EEG dopo l’applicazione del TEO

65

Risultati:

accuratezza 93.9 %