Modelli del volume conduttore

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Il cervello è un mezzo non omogeneo, caratterizzato quindi da una conduttanza che varia con la posizione σ= σ(r). I modelli correnti descrivono l’interfaccia cervello-elettrodo con una sovrapposizione di strati con diversa conduttività. Perciò, la funzione σ(r) è sostituita con σ1, σ2,… σN. costanti all’interno di ciascuna delle N regioni. Limitiamo la discussione ai mezzi non omogenei isotropici in cui le proprietà elettriche sono indipendenti dalla direzione della corrente.

Per le applicazioni EEG, le disomogeneità di conduttanza maggiori sono quelle relativa al cranio e all’aria, dato che hanno conduttanze notevolmente diverse da tutti gli altri tessuti, ma disomogenei tra loro sono anche materia grigia, materia bianca, sangue, fluido cerebrospinale (CSF) ecc… Inoltre, anche il cranio è a sua volta una struttura caratterizzata da 3 strati aventi conduttanza differente, e in particolare lo strato intermedio è più conduttivo degli altri due. E’ chiaro quindi che quindi disomogeneità nella conduttanza del mezzo rende complesso la modellazione di generazione del potenziale a partire da sorgenti di corrente.

Se il mezzo fosse omogeneo, il potenziale dipenderebbe solo dall’ampiezza e dalla posizione delle sorgenti di corrente, mentre invece in un mezzo disomogeneo, i percorsi di corrente e i potenziali sono generalmente distorti perché le correnti seguono il percorso di minore resistenza. In un mezzo omogeneo, il percorso di minore resistenza coincide con il percorso più corto, mentre questo chiaramente non è verificato in un mezzo disomogeneo, dato che le conduttanze dei diversi mezzi variano con la posizione.

I potenziali generati in un mezzo non omogeneo possono essere determinati attraverso la risoluzione appropriata dell’equazione di Poisson. Le soluzioni dell’equazione dipendono dall’ampiezza e dalla localizzazione delle sorgenti di corrente e dalle conduttanze e le configurazioni geometriche delle varie regioni del mezzo.

La maggiore limitazione che si trova nel cercare di risolvere l’equazione in modo numerico è la disponibilità dei dati esatti relativi alle proprietà conduttive e geometriche di ogni singola regione all’interno del mezzo, e questa restrizione si rivela particolarmente

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severa quando prendiamo in considerazione proprio l’EEG, data la complessità di reperire questi dati relativamente al cervello. Comunque, anche nel caso di mezzo non omogeneo si può continuare a sfruttare la linearità dell’equazione di Poisson, sommando i potenziali dovuti a ciascuna sorgente.

Di seguito sono presentati alcuni dei modelli proposti in letteratura. (Paul L. Nunez, 2006)

 Modello di un mezzo piano a due strati

Abbiamo una sorgente di corrente contenuto in un mezzo di conduttanza σ1. La sorgente è posizionata a una distanza h da un’interfaccia che separa il mezzo 1 da un altro mezzo, avente conduttanza σ2. I due mezzi sono considerati semi-infiniti, ovvero hanno dimensioni molto maggiori di h; la corrente uscente dalla sorgente scorre verso i pozzi, che sono anch’essi a distanze molto grandi se confrontate con h. In questo caso il potenziale del materiale superiore è dato da

( )

con R la distanza tra la sorgente I e il punto avente coordinate sferiche: √ ( )

con z >0 e r la distanza perpendicolare tra l’asse z e il punto di osservazione.

r R z I

Figura 2-8: Una sorgente di corrente I, posizionata al di sotto di un'interfaccia che separa due regioni con diversa conduttanza, produce un potenziale nel materiale al di sopra dell’interfaccia [da Electric Fields of the

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Il potenziale nello strato superiore di materiale dovuto a n sorgenti è dato da

( )∑

Il potenziale nello strato inferiore può essere visto come dovuto alla sorgente reale I più una sorgente fittizia I’ localizzata nello strato superiore anch’essa a una distanza h dall’interfaccia (“metodo della carica immagine”), legate tra loro secondo la relazione:

( ) ( )

Perciò il potenziale nello strato inferiore può essere calcolato mediante la relazione:

∑ [ (

) ]

dove per Ri si intendono le distanze tra le sorgenti reali Ii e i punti del campo, e Si sono le distanze tra le sorgenti fittizie.

 Dipolo interno a una sfera omogenea

Il modello considera il potenziale dovuto a un dipolo di corrente posizionato all’interno di una sfera conduttrice di raggio a e conduttanza , circondata dall’aria ( ). Il potenziale misurato sulla superficie della sfera dovuto a un dipolo orientato secondo la direzione radiale è dato da:

{ ( ) ( ) [ ( ) ]}

per a>>d. Qui f= rz /a localizza il dipolo lungo la direziona radiale, come mostrato in figura.

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 Dipolo interno a un mezzo piano a molti strati

Questo modello considera invece il problema di un dipolo di corrente localizzato sotto interfacce multiple che separano regioni planari aventi conduttanze diverse; l’estensione di ogni strato viene considerata semi-infinita. Questa approssimazione è ragionevole nel caso del fluido cerebrospinale, il cranio e lo scalpo. L’espressione del potenziale in ciascuna delle tre regioni è data da:

( ) ∫ ( ) ( )

dove ( ) sono i coefficienti che dipendono dalle ampiezze e dalle posizioni delle sorgenti di corrente, ( ) è la funzione di Bessel di ordine zero e (r,z) si riferisce al sistema di riferimento in coordinate cilindriche.

I cinque principali compartimenti tissutali della testa sono: cervello, fluido cerebrospinale, cranio, scalpo e aria circostante, perciò l’equazione si riferisce a un caso semplificato rispetto al reale.

Figura 2-9: Dipolo radiale dentro una sfera di raggio a [da Electric Fields of the Brain – Paul Nunez, Ramesh Srinivasan]

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Figura 2-10: Mezzo piano a 5 strati utilizzato per modellare i potenziali di superficie dovuti a un dipolo corticale posizionato a z=0, r=0 [da Electric Fields of the Brain – Paul Nunez, Ramesh Srinivasan]

 Dipolo dentro superfici sferiche cilindriche

Questo modello consiste di 3 gusci sferici concentrici che rappresentano lo scalpo, il cranio e il fluido cerebrospinale e di una sfera interna al guscio più interno, che rappresenta il cervello. Per questo ci si riferisce spesso a questo modello come al modello a 4 sfere, che diventa il modello a 3 sfere quando il CSF viene trascurato. Questo modello utilizza molte delle caratteristiche più importanti delle conduzione di volume nella testa ed è molto utilizzato per sviluppi teorici e simulazioni. Dal punto di vista matematico, il sistema di riferimento è orientato in modo che il dipolo sia posizionato lungo l’asse z. In figura il dipolo è in posizione rz lungo l’asse z orientato in modo ortogonale rispetto alla superficie della

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Figura 2-11: Un dipolo localizzato nella sfera interna di un modello della testa a 4 sfere concentriche che consistono di una sfera interna, il cervello, e tre gusci sferici che rappresentano il CSF, il cranio e lo scalpo. I parametri del modello sono i

raggi di ciascun guscio e i rapporti di conduttanza. [da Electric Fields of the Brain - Paul Nunez, Ramesh Srinivasan] Il modello a 4 sfere consiste di una sfera più interna che rappresenta il cervello (r1 ~ 8.0 cm) circondato da un sottile guscio di CSF (r2 ~ 8.1 cm), uno strato osseo (r3~8.6 cm) e infine lo scalpo (r4~9.2 cm). Lo scalpo e il cervello sono tessuti morbidi e si assume che abbiano approssimativamente la stessa conduttanza (σ1/σ4~1). Lo strato osseo ha una conduttanza molto più bassa di quella del cervello, cioè si assume che il rapporto σ1/σ3 cada nel range 20÷80, mentre il CSF ha una conduttanza molto più alta del tessuto cerebrale, σ1/σ2~0.2.

Il modello a 3 sfere trascura come abbiamo detto la sfera del CSF, e si pone quindi σ2=σ1, oppure si mette il raggio r3=0.

Il modello a 4 sfere è ovviamente un’approssimazione sia in senso geometrico che fisico ma fornisce un metodo utile per studiare gli effetti delle disomogeneità di conduttanza.

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Si definisce un potenziale standard di normalizzazione supponendo che il dipolo si trovi all’interno del guscio più interno e definendo il potenziale omogeneo come il potenziale che sarebbe generato alla coordinata radiale corrispondente alla sfera più esterna; se il dipolo centrale è inclinata di θ rispetto all’asse, il potenziale omogeneo è dato da:

definiamo ϕ0 = ϕH(r4, 0). I grafici seguenti mostrano l’andamento di ϕ/ϕ0;

Figura 2-12: Dipendenza del massimo potenziale di superficie sul cranio dallo spessore del CSF in un modello della testa a 4 sfere concentriche. Le quattro curve corrispondono a 4 valori diversi del rapporto di conduttanza cervello/cranio [da

Electric Fields of the Brain – Paul Nunez, Ramesh Srinivasan]

Si può vedere che il potenziale di superficie sopra il dipolo è maggiore del potenziale che sarebbe stato generato dalla stessa sorgente in un mezzo omogeneo infinito. Questo avviene a causa del confinamento del flusso di corrente dentro il volume sferico conduttore; le linee di corrente sono compresse specialmente nei pressi della superficie più esterna e questo significa più ampie densità di corrente e quindi di potenziale. Il rapporto ϕ/ϕ0 è determinato dai rapporti tra le conduttanze e dai raggi relativi dei gusci sferici. I grafici mostrano la dipendenza del potenziale di superficie dalla conduttanza e dallo spessore. Il rapporto diminuisce al crescere dello spessore del cranio, come ci si aspetterebbe. Le quattro curve corrispondono a 4 valori del rapporto conduttanza cervello/conduttanza cranio

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