Metodo del potenziale chimico immaginario

Sebbene non sia possibile calcolare il limite precedente, si possono avere delle indicazioni sulla collocazione dell’eventuale punto critico, utilizzando i pochi coefficienti a_n che si hanno a di- sposizione, verificando se possibile la stabilitá del raggio di convergenza stimato, ripetendo la stima con l’utilizzo di coefficienti diversi. E’ chiaro che una stima di questo tipo non debba essere presa troppo sul serio dal momento che avremo sempre un raggio di convergenza finito, anche laddove la serie in realtá manifesti un comportamento perfettamente analitico.

4.3.2 Metodo del potenziale chimico immaginario

Il metodo che utilizzeremo in questo lavoro di tesi é quello del cosiddetto prolungamento a

potenziale chimico immaginario. L’osservazione su cui si basa l’efficacia di questo metodo é

il fatto che il determinante della matrice fermionica M ridiventa reale nel momento in cui si opera la sostituzione µ → iµ. Per procedere all’utilizzo del metodo é necessario stabilire la forma funzionale g(µ, {ai}) dell’osservabile da calcolare a potenziale chimico immaginario, che in generale dipenderá da un certo numero di parametri ai. A questo punto, dal momento che é possibile stimare il valore dell’integrale funzionale nel piano µ2 _{< 0 con tecniche di sam-} pling MonteCarlo, se abbiamo a disposizione un numero sufficiente di potenziali chimici su cui abbiamo calcolato il suo valore, si possono stimare i coefficienti a_i attraverso un best-fit ai risul- tati delle simulazioni. Dopo aver calcolato questi coefficienti, prolungare nuovamente nel piano reale µ2 > 0 con la sostituzione µ → −iµ. Chiaramente, la possibilitá di un prolungamento

all’indietro nel piano reale, é limitata pesantemente dall’esistenza di punti di non analiticitá sia nel piano reale che in quello complesso. Come visto nel capitolo 2, l’esistenza delle transizioni di fase di Roberge-Weiss, limita l’applicabilitá del metodo a potenziali chimici immaginari iµ abbastanza vicini all’origine. Ogni qual volta vogliamo dunque intraprendere una analisi di que- sto tipo, sará necessaria un’indagine preliminare, per individuare la collocazione dei punti non analitici. Nondimeno, é possibile che i risultati delle nostre stime dipendano dalla scelta della funzione interpolante g. E’ consigliabile infatti, ripetere le stime utilizzando forme funzionali di- verse, valutando l’errore sistematico tenendo conto della discrepanza tra i risultati cosi ottenuti.

Il metodo del prolungamento nel piano immaginario é già stato ampiamente utilizzato con successo (ad esempio in [27]). Quello che in questo lavoro di tesi vogliamo far vedere é che il metodo puó essere particolarmente efficace se applicato alla determinazione delle suscettivitá generalizzate a potenziale chimico nullo. Avere a disposizione suscettivitá di grado sempre piú alto, determinate con precisione sempre migliore, consente di fornire parametri sul freeze-out adronico ad alta precisione, cosa , come giá discusso, di primaria importanza per l’osservazione dell’elusivo punto critico nel piano T − µ_B.

L’idea di fondo é quella di partire dallo sviluppo dell’energia libera F (T, V, µ) della QCD (per semplicitá di scrittura considero per ora il caso di un unico flavour), in potenze del potenziale chimico immaginario µ : F (T, V, µ) =X n an n! _µ T n (4.31) A causa della simmetria del sistema per coniugazione di carica, l’energia libera deve essere inva- riante per cambio di segno del potenziale chimico µ → −µ, pertanto nello sviluppo precedente sono diversi da 0 soltanto i coefficienti con indice n pari. Utilizzando la (4.31), é possibile scrivere le suscettivitá generalizzate a potenziale chimico immaginario come :

χn(T, µ) = 1 V ∂nF (T, V, µ) ∂ _Tµ
n   µ= +∞ X i=n ai(T ) (i − n)! _µ T (i−n) (4.32)

i coefficienti ai come é immediato verificare, corrispondono alle suscettivitá generalizzate calco- late a densitá nulla a_i(T ) = χ_i(T, µ = 0) e come é chiaro dalla formula precedente χ_n(µ) dipende da tutte le suscettivitá a densitá nulla di ordine i > n. Mentre a potenziale chimico nullo, le suscettivitá di ordine dispari sono identicamente nulle a causa della simmetria per coniugazione di carica, questo non é piú vero per le χn(T, µ) con µ 6= 0.

Quello che vogliamo far vedere, é che disponendo di una griglia di punti nel piano complesso su cui calcolare le χ_n(T, µ) e fittando contemporaneamente tutte le χ_n(T, µ) a nostra disposizione utilizzando lo sviluppo polinomiale (4.32), é possibile ricavare informazioni sulle suscettivitá a densitá nulla di ordine piú elevato. L’obiettivo finale é quello di avere una statistica abbastanza elevata, che ci permetta di fornire queste suscettivitá con precisione superiore a quelle con cui attualmente sono conosciute.

Lavori preliminari, con questo obiettivo, sono giá presenti in letteratura. In [30] considerando una teoria con N_f = 2 fermioni degeneri in massa, é mostrato come, avendo a disposizione anche solo una statistica modesta sia possibile ricavare suscettivitá di ordine molto elevato se paragonato allo sforzo computazionale fatto. In questa tesi, come faremo vedere nel capitolo successivo, estenderemo questo studio alla teoria con N_f = 2 + 1 flavour.

Prima di discutere i risultati, é importante far vedere come il calcolo delle suscettivitá successive a densitá nulla é collegato ai risultati sul freeze-out.

Abbiamo detto nella sezione (4.3.1) del capitolo precedente, che nelle collisione tra ioni, fis- sato il valore di uno dei potenziali chimici accoppiato alle cariche conservate, i restanti due sono determinati dai vincoli sulle densitá hNsi = 0 e hN_hNQi

Bi = r =

Z

A. Tipicamente vengono fatti collidere nuclei P b − P b o Au − Au per i quali il rapporto Z_A ≈ 0.4. Analiticamente le densitá delle cariche conservate sono date da:

NX = 1 V T3 ∂lnZ(µ, T ) ∂ ˆµX (4.33) dove X ∈ {B, Q, S} e ˆµX = µ_TX. Dati i vincoli, possiamo sviluppare i potenziali ˆµQ, ˆµS in potenze del potenziale chimico barionico ˆµB:

ˆ µQ= q1µˆB+ q3µˆ3B+ O  µ5_B (4.34a) ˆ µS = s1µˆB+ s3µˆ3B+ O  µ5_B (4.34b)

Espandendo le densitá in potenze dei potenziali chimici come nella (4.32) fino al terz’ordine, imponendo i precedenti vincoli su NQ e NS e utilizzando gli sviluppi (4.34a, 4.34b), troviamo 4 equazioni con cui possiamo determinare i 4 parametri {q₁, q3, s1, s3}.

Per i coefficienti all’ordine leading il risultato é:

q1 = rχB₂χS₂ − χBS 11 χBS11  −χBQ₁₁ χS₂ − χBS 11 χ QS 11   χQ₂χS₂ − χQS₁₁ χ₁₁QS− rχBQ₁₁ χS₂ − χBS 11 χ QS 11  (4.35a) s1 = − χQS₁₁ χS 2 q1− χBS₁₁ χS 2 (4.35b) Per l’estrazione della temperatura e del potenziale barionico (Tf, µf_B) al freeze-out, abbiamo bisogno di fissare due osservabili sensibili alle loro variazioni. Le suscettivitá non sono parti- colarmente adatte alla determinazione, dal momento che dipendono dal volume della regione di freeze-out che non abbiamo a disposizione. Per questo motivo, solitamente si scelgono come osservabili i cosiddetti rapporti di cumulanti definiti da:

RX_nm= χ X n χX m (4.36) e legati ai momenti delle distribuzioni delle cariche conservate, osservate nell’analisi urto per urto. Ad esempio per i primi due coefficienti vale RX₁₂ = NX

σ2

X

R₃₁X = σ3XSX

NX dove σX, SX sono

rispettivamente la varianza e la skewness della distribuzione della carica X.

In particolare vengono scelti i rapporti R12e R31relativi alla carica elettrica Q che risulta essere quella piú facilmente osservabile in laboratorio.

Utilizzando le seguenti espansioni:

χX

n(T, ˆµB) = χXn(T, 0) + O ˆµ2B

χX_n(T, ˆµB) = h χXB_n1 (T, 0) + q1χXQn2 (T, 0) + s1χXSn3 (T, 0) i ˆ µB+ O ˆµ3B
n dispari

é facile ricavare l’ordine leading nello sviluppo di RQ₁₂ e RQ₃₁ in serie di ˆµB :

R₁₂Q(T, ˆµB) = χQB₁₁ (T, 0) + χQ₂(T, 0)q₁(T ) + χQS₁₁ (T, 0)s₁(T, 0) χQ₂(T, 0) µˆB+ O  ˆ µB3  (4.37a) RQ₃₁(T, ˆµB) = χQB₃₁ (T, 0) + χQ₄(T, 0)q₁(T ) + χQS₃₁ (T, 0)s₁(T ) χQB₁₁ (T, 0) + χQ₂(T, 0)q1(T ) + χQS11 (T, 0)s1(T ) + Oµˆ2_B (4.37b)

All’ordine leading (LO) il rapporto R₃₁ é indipendente dal potenziale chimico e puó dunque essere utilizzato per estrarre la temperatura Tf di freeze-out. Data Tf si utilizza R12 per de- terminare µB.

I restanti cumulanti, sono a questo punto indipendenti da parametri e possono essere utiliz- zati per testare l’assunto di equilibrio termodinamico del sistema o come test per evidenziare l’esistenza di un andamento critico.

Capitolo 5

Risultati Numerici

Nei capitoli precedenti abbiamo affrontato il problema di scrivere i valor medi di nostro interesse a temperatura e densitá finita sotto forma di integrali su tutti i possibili cammini effettuati dai gradi di libertá del nostro sistema, a loro volta pesati da una distribuzione di probabilitá e−S. Avendo a disposizione una potenza di calcolo limitata, é possibile studiare la QCD numerica- mente soltanto su reticoli di dimensioni finite. Ricordiamo che in un reticolo avente dimensione spaziale N_s e dimensione temporale N_t la temperatura del sistema é data da T = _N1

ta e il

volume da V = (Nsa)3 mentre il valore del lattice spacing a é determinato implicitamente dai valori delle masse dei quark utilizzate e dal valore della costante di accoppiamento di Gauge

β. Volendo procedere verso il limite continuo é necessario aumentare il valore di β e modificare

le masse dei quark muovendosi lungo la LCP (per mantenere le masse adroniche fissate al loro valore sperimentale) e d’altra parte aumentare il numero di siti in dimensione temporale e spa- ziale per mantenere il volume e la temperatura costante.

A questo punto calcolata una osservabile per vari valori del lattice spacing si cerca con un ansatz polinomiale in a2 _{di estrapolare il risultato al continuo seguendo le linee guida che abbiamo giá} mostrato nel capitolo (2).

In questo lavoro, vogliamo mostrare come il metodo del potenziale chimico immaginario possa es- sere utilizzato efficacemente per calcolare le suscettivitá generalizzate a densitá nulla χ_ijk(µ = 0) superando tutte le difficoltá che porterebbe il calcolo diretto di queste osservabili.

Principalmente le nostre simulazioni sono state fatte sul reticolo di dimensioni 323· 8 facendo un’analisi al variare della temperatura delle suscettivitá. Abbiamo inoltre verificato per qualche temperatura l’indipendenza dei risultati dal volume spaziale del reticolo, mentre l’estrapolazio- ne al continuo delle nostre osservabili é stata fatta soltanto per un valore della temperatura per controllare la validitá dei nostri risultati. L’estrazione del precedente limite per tutte le temperature studiate, é rimandato, a causa dei lunghi tempi macchina, a lavori successivi.

5.1

Setup utilizzato e algoritmi

L’algoritmo da noi utilizzato per simulare la QCD con N_f = 2 + 1 flavour é una variante del- l’algoritmo φ noto come RHMC e illustrato diffusamente in appendice (A). L’algoritmo ci ha permesso di studiare la teoria con un numero di flavour arbitrario senza violare la reversibilitá e quindi senza introdurre ulteriori errori sistematici da dover tenere sotto controllo. Le nostre simulazioni sono state fatte utilizzando le masse fisiche dei quark. Come suggerito dalla lette- ratura si é inoltre utilizzato un "aspect ratio" Ns

Nt = 4 per evitare la presenza di effetti dovuti al

volume finito del reticolo utilizzato. Abbiamo peró verificato , sul reticolo con Nt= 6 l’effettiva compatibilitá dei risultati al variare del volume spaziale.

Come giá detto, il nostro obiettivo é stato quello di calcolare un numero limitato di deriva- te dell’energia libera rispetto ai potenziali chimici immaginari µ_u, µd, µs:

∂i+j+kF (T, µ_u, µd, µs) ∂µi u∂µ j d∂µks (5.1)

e di utilizzare l’ansatz presente in formula (4.32) per ottenere tramite best-fit il valore di un gran numero di suscettivitá generalizzate a densitá nulla.

Per farlo abbiamo pertanto deciso di utilizzare le densitá e le suscettivitá di ordine 2, calcolabili a partire dagli sviluppi 4.27.

Per ogni configurazione generata, il calcolo di queste osservabili richiede la valutazione delle tracce delle seguenti 3 matrici per ogni flavour utilizzato:

Tr  M−1∂M ∂µi  Tr " M−1∂ 2_M ∂µ2_i # Tr  M−1∂M ∂µi M−1∂M ∂µi  (5.2)

dove al solito M rappresenta la matrice fermionica. Le tracce sono state valutate stocastica- mente utilizzando il metodo degli "estimatori rumorosi" mostrato in appendice che ha richiesto l’utilizzo di un numero n_e di vettori campionati da una distribuzione gaussiana.

La scelta del numero di configurazioni da generare e del numero di vettori casuali da utilizzare ha richiesto un’analisi preliminare:

In appendice (B) é mostrato come l’errore sulle osservabili da noi calcolate dipenda in generale da due fattori. Il primo é legato alla fluttuazione dell’osservabile dovuta al fatto che viene stimata attraverso un algoritmo Montecarlo, la seconda é dovuta alla sua fluttuazione su una

singola configurazione a causa della valutazione stocastica delle tracce. E’ ragionevole suppore che le fluttuazioni dovute a queste due sorgenti di errore sommino in quadratura, pertanto, uti- lizzando ne vettori casuali e generando nc configurazioni ci aspettiamo per l’errore sulla nostra osservabile la seguente dipendenza:

σtot = v u u t √σm nc !2 + √σe ncne !2 (5.3)

La scelta del numero di vettori random da utilizzare é allora suggerita dalla formula precedente. Se infatti per qualche ne l’errore σtot é dominato dalla fluttuazione intrinseca dell’osservabile (_√σm

nc), un ulteriore aumento del numero di vettori random utilizzato porterá ad aumento esiguo

dell’accuratezza della misura e per diminuire l’errore risulta piú conveniente aumentare il nume- ro di configurazioni generate nc. E’ inoltre importante tenere sotto controllo i tempi macchina: Supponiamo infatti di fare n_ccampionamenti, uno ogni n_ttraiettorie e supponiamo che il tempo necessario a fare una traiettoria e quello richiesto per la valutazione delle tracce utilizzando un singolo vettore random siano rispettivamente τ_(tr.) e τ_e.

Dobbiamo scegliere se per aumentare l’accuratezza della nostra misura é piú conveniente aumen- tare il numero di configurazioni generate oppure il numero di vettori random utilizzati. L’errore totale aumentando il numero di configurazioni scalerá sempre come √1

nc, mentre aumentando

ne l’errore scala con √1_nc soltanto nel caso in cui la fluttuazione dovuta all’uso degli estimatori rumorosi risulta essere quella dominante. In quest’ultimo caso, la scelta piú efficiente risulta essere quella che fa diminuire il tempo di simulazione, in particolare se risulta:

ne· τe >> τ(tr.)· nt (5.4) é piú conveniente aumentare il numero di campionamenti piuttosto che di vettori random, mentre nel regime opposto aumentare n_e sará la scelta ottimale.

Il risultato della nostra analisi é riportato in tabella (5.1) dove per ogni temperatura é indicato il setup utilizzato nelle nostre simulazioni e nella maggior parte dei casi sono state utilizzate 256 copie per ogni flavour.

Nella tabella precedente sono escluse le configurazioni generate in termalizzazione ed il numero di traiettorie da scartare é stato scelto analizzando l’evoluzione "temporale" di alcune osservabili fino al raggiungimento del loro valore di equilibrio come ad esempio mostrato in figura (5.1). Per ogni temperatura riportata in tabella abbiamo fatto un’analisi preliminare dei punti nello spazio (µu, µd, µs) sui quali era piú conveniente calcolare le suscettivitá.

La scelta della griglia di punti da analizzare per ogni temperatura é stata dettata sostan- zialmente da due fattori:

T (Mev) β ml ms nc 135 3.61 0.002831 0.07971 120 143 3.63 0.002621 0.07378 120 160 3.67 0.002270 0.0639 120 170 3.69 0.002126 0.5984 120 200 3.755 0.001763 0.04963 120 230 3.815 0.001516 0.04267 120 260 3.87 0.001341 0.03775 120 300 3.94 0.001168 0.3287 120 350 4.0225 0.0009920 0.2792 120

Tabella 5.1: Scelta dei parametri utilizzati nelle simulazioni al variare della Temperatura. In tut-

to il range di temperature analizzato abbiamo campionato una configurazione ogni 10 traiettorie per diminuire la correlazione tra le misure.

I Per tutti i potenziali chimici analizzati il sistema in (T, µ_i) deve trovarsi nella stessa fase del sistema in (T, µi = 0). Soltanto in questo caso, infatti, é sensato un ansatz polinomiale per le suscettivitá a µ immaginario, nel quale é implicita la richiesta di analiticitá delle nostre osservabili. E’ dunque necessario esplorare soltanto regioni nel piano immaginario lontane dalle linee di Roberge-Weiss (3.20).

II La griglia di punti nello spazio (µ_u, µd, µs) deve consentire la determinazione di tutte le suscettivitá a densitá nulla da stimare che pertanto devono comparire almeno una volta come parametri negli sviluppi (4.32) che utilizziamo nel nostro fit globale.

Abbiamo scelto dunque di esplorare le seguenti 6 linee: 1) µs= µd= 0 , µu 6= 0 2) µ_u= µ_d= 0 , µ_s6= 0 3) µu= µd6= 0 , µs= 0 4) µ_u= −µ_d6= 0 , µ_s= 0 5) µu= µd= µs6= 0 6) µ_u= −µ_d= µs 6= 0

che ci permettono di stimare, utilizzando i valori di tutte le suscettivitá del primo e del se- cond’ordine a µ immaginario, almeno tutte le suscettivitá a densitá nulla fino al sest’ordine. Per stabilire invece fino a dove é possibile spingersi lungo queste linee prima di incontrare un punto critico, bisogna analizzare il diagramma di fase in QCD nel piano (T, µi).

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 h ¯ ψψ i n_(traj.)

Figura 5.1: Storico del condensato chirale h ¯ψψi. Dopo circa 200/300 traiettorie il condensato raggiunge il suo valore di equilibrio.

Ricordiamo che in QCD con N_f = 2 + 1 flavour a densitá nulla e con masse dei quark fisiche é stato stabilito [22] che il sistema ha una pseudo-transizione di fase (crossover) per T ≈ 155M ev e inserendo un potenziale chimico immaginario, come ottenuto in [31], la temperatura pseudo- critica aumenta. La presenza di punti pseudocritici non rappresenta peró una limitazione di principio, dal momento che tutte le osservabili, nell’attraversare questi punti non manifestano non-analiticitá. Una brusca variazione nelle suscettivitá , dovuta all’attraversamento della li- nea pseudo-critica, puó peró portare a χ2_{/(n.d.f.) troppo grandi se si utilizza come funzione} interpolante un polinomio di grado abbastanza basso e quindi ad una non corretta determi- nazione a densitá nulla. Per questo motivo , i punti a temperatura poco sopra T_c (nel nostro caso T ≈ 160, 170Mev) hanno meritato particolare attenzione e in alcuni casi é stato necessario escludere dal fit i punti in cui il sistema ritornava nella fase confinata.

E’ importante stabilire inoltre la collocazione delle linee di Roberge-Weiss nel piano (T, µi) dal momento che corrispondono a transizione di fase vere e proprie.

Nel capitolo (2) abbiamo detto che nel caso µu = µs = µd = µ le linee di Roberge-Weiss si trovano in µ = π₃ o suoi multipli dispari, lungo le quali il sistema ha una transizione di fase per

T ≈ 200M ev. Lungo le altre 5 linee precedenti, non é invece possibile determinare analitica-

mente la loro posizione.

loop di Polyakov L del tipo:

H(θ_i) = −h · Ree−iθi_L _(5.5)

ci aspettiamo che per valori arbitrari di θ_i tali che θ_i

< π₃ il loop di Polyakov é sempre reale.

Questa affermazione é stata verificata ad esempio in [31] , dove é stata ricavata la collocazione della prima pseudo-linea di RW nel caso µ_u= µ_d= µ_l e µ_s = 0, come mostrato in figura (5.2). Il valore del potenziale chimico µl per cui si ha la transizione di fase, ora dipendente dalla temperatura , soddisfa sempre µRW_l (T ) > 0.3π.

Figura 5.2: In figura é mostrato l’andamento delle ’pseudo-linee’ di Roberge-Weiss nel caso

µu = µd= µl e µs= 0. Dal grafico é chiaro che rispetto al caso µu = µd= µs la transizione di

fase si ha sempre per θl> π₃

La nostra scelta conservativa é stata allora la seguente:

• Per T < Tc≈ 155Mev non si incontrano punti di non analiticitá per cui é possibile esplo- rare tutto il piano complesso. Il fatto che l’energia libera sia periodica in ogni potenziale chimico immaginario rende peró utili soltanto i punti tali per cui θi < 2π.

• Per T > Tc ≈ 155Mev abbiamo esplorato le linee precedenti con la restrizione θi ≤ 0.3π, escludendo eventualmente dal fit per 155 < T [M ev] < 200 i punti oltre la linea pseudo-critica.