La determinazione delle suscettivitá a densitá nulla e di ordine sempre piú alto permette di ricostruire lo sviluppo in serie di Taylor dell’energia libera F (T, V, µ) in potenze di µ .
I coefficienti dello sviluppo in potenze di F possono essere utilizzati per determinare l’eventuale punto critico a µBfinita. Se la transizione di fase é continua ci aspettiamo infatti una divergenza per qualche µB di:
∂2F (T, V, µB) ∂ (µB/T )2 = X (npari) χBn+2 n! · µ B T n (5.22) e per determinare il carattere della serie si puó far uso ad esempio del criterio del rapporto che ci dice che per una serie di potenze pari (come quella precedente) a coefficienti positivi , il raggio di convergenza é dato dal seguente limite:
ρ = lim n→∞ρn= limn→∞ s n · (n − 1) ∗ χB n χB n+2 (5.23) Nel nostro caso abbiamo particolare interesse a stimare il raggio di convergenza della serie 5.22 poco sotto la temperatura critica data da T ≈ 150Mev.
Ci aspettiamo infatti che la linea di pseudo-transizioni di fase che parte da µB = 0 termini in un punto critico a µB finita oltre il quale si estende un ramo di transizioni di fase discontinue come mostrato in figura 5.17 simile al diagramma di fase liquido-vapore. La curvatura della
T /Tc ρ2 ρ4 0.95 1.44(1) 3.4(3) 0.87 1.46(6) 5(7)
Tabella 5.9: In tabella sono mostrate le nostre stime dei primi due coefficienti ρ2 e ρ4 per le prime due temperature a disposizione sotto la temperatura critica.
linea pseudo-critica in µB= 0 é negativa pertanto ci si aspetta per piccoli potenziali µB che:
Tc(pseudo)(µB) = Tc(pseudo)(µB= 0) " 1 − k · µ B T 2# (5.24) con k positivo.
Sotto la temperatura critica , il metodo del potenziale chimico immaginario puó essere usato piú efficacemente dal momento che non incontrando transizioni o pseudo-transizioni di fase pos- siamo esplorare tutto il piano complesso.
Le due temperature rilevanti a questo scopo, con i dati a nostra disposizione, sono T = 135, 143Mev per le quali abbiamo calcolato le densitá e le suscettivitá fino a µ/T = 0.4π. Questo ci ha permesso di ricavare le suscettivitá del numero barionico di ordine 2-4-6. In ta- bella 5.9 sono mostrate le nostre stime per il raggio di convergenza a queste due temperature. Le nostre determinazioni , avendo a disposizione pochi coefficienti, sono ancora parziali (le de- terminazioni ρn non sono stabili) e probabilmente stiamo stimando un raggio di convergenza piú grande di quello effettivo. Infatti la determinazione del potenziale chimico di freeze-out precedente ci fa sospettare che l’eventuale punto critico si trovi in µf
Tf ≈ 1.
Nel futuro, estenderemo questo studio esplorando il piano immaginario fino a µ = 0.6π e oltre, cercando di ottenere una stima delle suscettivitá barioniche di ordine 8,10 e successive.
Figura 5.17: Diagramma di fase per la QCD nel piano (T, µB). A destra le linee di transizione di
fase nel piano complesso , a sinistre quelle nel piano a µB reale. Una divergenza nella derivata seconda dell’energia libera segnalerebbe la presenza del punto critico che vorremmo osservare.
Capitolo 6
Conclusioni
In questo lavoro di tesi ci eravamo proposti l’obiettivo di studiare le proprietá della materia adronica a temperatura e potenziale chimico finito. Lo abbiamo fatto utilizzando il metodo della continuazione analitica a potenziale chimico immaginario che consiste nello studiare la teoria non fisica con µ → iµ prolungando successivamente indietro i risultati a µ >= 0. In particolare , per la stima delle suscettivitá generalizzate a densitá nulla abbiamo esplorato il piano (iµu, iµd, iµs) per valori dei potenziali chimici lontani dai punti di non analiticitá rap- presentati dalle transizioni di R.W. e pertanto abbiamo calcolato le densitá e le suscettivitá del second’ordine su una griglia di punti limitandoci per T > Tc a µ(max)/T = 0.3π e per
T < Tc a µ(max)/T = 0.4π che come la nostra analisi suggeriva evitava la presenza di punti critici. Tramite un fit polinomiale a queste quantitá abbiamo ricavato i valori delle suscettivitá di ordine 2 e 4 a µ = 0. Per valutare gli errori sistematici associati al troncamento della serie é stato scritto un programma in grado di generare il polinomio interpolante con ordine arbitrario tenendo conto della simmetria u ↔ d esistente nel nostro setup. Aumentando l’ordine abbiamo verificato l’indipendenza dei nostri risultati dal grado del polinomio.
Analizzando i tempi macchina delle nostre simulazioni abbiamo confrontato l’efficienza del me- todo del calcolo diretto con quello da noi adottato. E’ stato ricavato che per la stima delle suscettivitá diagonali di ordine due l’efficienza dei due metodi risulta sostanzialmente compati- bile mentre la stima delle suscettivitá miste risulta nel nostro caso circa un ordine di grandezza piú rapida. Ci aspettiamo che sulle suscettivitá di ordine 4 e successive il guadagno sia ancora maggiore.
Abbiamo mostrato inoltre che gli effetti dovuti al lacking of self averaging sono completamente assenti nelle nostre stime sia nel quart’ordine che nel sesto. Riteniamo che in futuro questa pos- sa essere una forte discriminante nello scegliere tra i due metodi. Il confronto per le suscettivitá del second’ordine con un lavoro giá presente in letteratura in cui viene utilizzato il metodo del calcolo diretto e la nostra stessa discretizzazione su reticolo ci ha permesso di affermare che:
• La maggior parte dei risultati sono compatibili con quelli da loro riportati entro 2σ. Rile- viamo soltanto una piccola discrepanza nella suscettivitá mista χus2 ad alta temperatura imputabile alla loro scelta Ns/Nt= 3.
• La stima delle suscettivitá miste del second’ordine da noi riportata risulta essere larga- mente piú precisa specialmente intorno alla temperatura critica. In accordo con quanto ottenuto precedentemente , questo fatto sembra suggerire che é proprio nella valutazione di queste quantitá che il metodo del potenziale immaginario risulta piú efficiente.
Considerando il range di temperature esplorate , abbiamo notato che i punti piú difficili risul- tano essere quelli poco sopra Tc. A queste temperature , la presenza di una linea pseudo-critica a piccoli µB ci ha obbligato a restringere il range di potenziali chimici da utilizzare a causa di alcuni problemi di stabilitá del fit al variare dell’ordine. E’ probabile che questa rappresenti una seria limitazione in futuro , al calcolo delle suscettivitá di ordine piú alto.
Abbiamo confrontato inoltre i dati ottenuti , con le previsioni sia del modello fenomenologi- co HRG che con il limite asintotico di Stefan-Boltzmann. Per quanto riguarda il primo anche alla temperatura piú bassa a disposizione T ≈ 0.87Tc non c’è completo accordo in molte delle quantitá confrontate e allo stato attuale non sappiamo se possa essere un parziale fallimento del modello oppure l’effetto di un artefatto reticolare delle nostre osservabili. In futuro , soltanto l’estrapolazione al continuo potrá chiarire questa cosa. In ogni caso sopra la temperatura criti- ca, le discrepanze diventano molto piú significative , come aspettato. Il limite di QGP risulta, invece, ben raggiunto da tutte le nostre osservabili.
Confrontando i nostri dati con i risultati della collaborazione Star sulle fluttuazioni della carica elettrica in seguito a urti Au − Au per le tre energie√s = 27, 39, 62.4 è stato possibile estrarre
il potenziale chimico e la temperatura di chemical freeze-out. Per queste 3 energie i prodotti
Sqσq della distribuzione della carica elettrica sono compatibili tra loro entro 2σ , fatto che ci ha costretto a stimare soltanto una temperatura media di freeze-out. La grande indetermina- zione su questa osservabile domina l’errore complessivo nell’estrazione del potenziale chimico
µf. Non é nemmeno chiaro che artefatti aspettarsi. In linea di principio i punti a T piú bassa risultano essere piú ostici dal momento che il valore del cumulante é dominato dal contributo pionico il cui spettro é distorto dal taste-simmetry-breaking. Sembra inoltre che il confronto con modelli fenomenologici come HRG sia ancora da preferirsi. In quel caso , il fatto che venga- no confrontate direttamente le molteplicitá adroniche , affette sperimentalmente da errori piú piccoli , rende la stima molto piú precisa. In futuro , il raggiungimento di energie sempre piú al- te impedirá il confronto con il modello che come é noto dà risultati non affidabili per T > 0.95Tc.
utilizzando le suscettivitá fino al sest’ordine. Al momento é probabile che ne stiamo sovrasti- mando il valore , dato che un diretto confronto con quanto ricavato per µfB ci porta a pensare, se l’ipotesi µfB ≈ µ(crit.)B é corretta che debba essere µ
(crit.)
f
Tcrit f
≈ 1. Un’altra possibilitá é che un valore alto del raggio di convergenza sia legato al fatto che a queste temperature non sia in realtá presente alcuna divergenza.
Per il futuro , riteniamo , dati i risultati raggiunti , di poter intraprendere due strade:
1) Estendere le misure fatte in questo lavoro sul 323· 8 , anche sui reticoli 403· 10 e 483· 12. Questo ci permetterá di estrapolare tutte le quantitá al continuo e fare delle affermazioni piú sicure. E’ stimabile (seppur ottimisticamente) che il tempo necessario ad eseguire tutte le misure fatte in questo lavoro , anche sui due reticoli piú grandi è circa 6 volte quello da noi impiegato.
2) Abbiamo verificato che sotto la temperatura critica il metodo risulta essere piú efficace. Una possibilitá é allora quella di esplorare tutto il piano complesso fino a µ(max)/T = 2π
fittando tutte le suscettivitá fino a ordine 8 o anche 10 dando una stima piú accurata sulla collocazione del punto critico.
Appendice A
Algoritmi Utilizzati
In questa appendice illustreró gli algoritmi utilizzati per simulare la QCD con Nf = 2 + 1 fer- mioni in formulazione staggered.
I valor medi delle osservabili, sono stati calcolati utilizzando metodi Montecarlo, attraverso una opportuna combinazione dei metodi di aggiornamento visti nel capitolo 4 e di metodi di dina- mica molecolare (Hybrid Monte Carlo).
Ricapitolando, gli integrali che vogliamo calcolare sono stati scritti come:
hOi =
R
[dU ]e−Sgauge[U ]det M [U ]Nf4 O[U ]
Z (A.1)
e sono interpretabili come valore di aspettazione dell’osservabile O sulla distribuzione di proba- bilitá:
e−Sgauge[U ]det M [U ]Nf4
Z (A.2)
Nella seguenti sezioni analizzeremo prima il cosiddetto algoritmo φ, un algoritmo esatto in grado di campionare efficacemente la (A.2) nel caso in cui si riferisca ad una teoria con Nf = 4 fermioni staggered; daremo poi, una piccola descrizione del primo algoritmo storicamente utilizzato per simulare la teoria con numero di flavour generico, noto come algoritmo R, che ha la pecca di introdurre un errore sistematico che deve essere correttamente estrapolato a 0 . Infine sará analizzo il cosidetto algoritmo RHMC Rational Hybrid Monte Carlo, che costituisce una modifica dell’algoritmo φ in grado di mantenere l’esattezza dell’algoritmo e parallelamente la possibilitá di studiare il caso di un numero generico di quark, praticamente, con lo stesso sforzo computazionale dell’algoritmo R. Quest’ultima sará la versione utilizzata nelle nostre simulazioni.
A.1
Algoritmo φ
L’algoritmo φ [37] permette di descrivere la teoria nel caso Nf = 4. In questo caso, gli integrali da calcolare sono dati formalmente da:
hOi =
R
[dU ]eSgauge[U ]det M [U ]O[U ]
Z (A.3)
Come osservato, i metodi Metropolis e Heat-Bath, non sono efficacemente applicabili in questo caso a causa della non localitá della matrice fermionica M. Nell’algoritmo, questa viene trattata, notando innanzitutto che Mnm accoppia soltanto siti primi vicini M =
2m Deo Doe 2m in cui
Deo, Doe collega soltanto siti pari con siti dispari e dalla forma esplicita della matrice M é chiaro che D†eo= −Doe . La matrice M†M si puó scrivere allora come:
M†M = 4m2− DeoDoe 0 0 4m2− DoeDeo = Mee 0 0 Moo (A.4)
e per simmetria vale det Mee= det Moo.
Ora, dal momento che detM†M = (det M )2 si ha anche che det M = det Mee = det Moo. L’idea, nell’algoritmo φ, é quella di introdurre un campo scalare complesso φ definito soltanto sui siti reticolari pari e di utilizzarlo per riscrivere il determinante fermionico come:
det M =
Z
DφDφ∗e−φ∗(M†M)
−1
φ (A.5)
Il valor medio di O si riscrive come: hOi = R D [U, φ, φ∗] e−Sgauge[U ]−φ∗(M†M) −1 φO[U ] Z (A.6)
L’aggiornamento dei campi di Gauge U, nell’algoritmo, viene fatta utilizzando parallelamente metodi di dinamica molecolare MD method e algoritmi di tipo Heat-Bath.
Si introducono dei momenti fittizi Hj;µ coniugati ai campi di Gauge Uj;µ che ne determinano la seguente evoluzione temporale:
˙
Uj;µ = iHj;µUj;µ (A.7)
e per fare in modo che nell’evoluzione i campi di Gauge non perdano la proprietá di essere elementi di SU (3) si impone che le Hj;µ siano matrici hermitiane a traccia nulla. I momenti introdotti, possono essere campionati da una distribuzione di probabilitá P(H) arbitraria. Per semplicitá si sceglie P (H) ∝ e−12TrH
2
.
La distribuzione di probabilitá da cui vogliamo estrarre un campione diventa allora:
P [U, H, φ, φ∗] = exp{−12TrH2− Sgauge[U ] − φ∗M†M−1φ} Z (A.8a) Z = Z D [U, H, φ, φ∗] exp{−1 2TrH 2− S gauge[U ] − φ∗ M†M−1φ} (A.8b)
ed é chiaro che non stiamo modificando i valor medi (A.6) dal momento che l’integrale in DH fattorizza e si elide tra numeratore e denominatore.
L’aggiornamento delle variabili nell’algoritmo procede nel seguente modo:
I campi H e φ sono aggiornati tramite Heat-Bath. Per il campo H questo viene fatto scrivendolo come H = λaHa dove le matrici λa sono gli 8 generatori di SU(3) e vale Trλaλb = 2δab. Con questa riscrittura P(H) é data da:
P (H) =Y
a
e−H2a (A.9)
e i coefficienti Ha si estraggono da una distribuzione gaussiana centrata in 0 con deviazione standard σ = √1
2.
Per l’aggiornamento dei campi φ, a fisso U, si definisce innanzitutto il vettore R = M†−1φ.
Dal momento che e−φ∗(M†M)
−1
φ = e−R∗R
per campionare correttamente é sufficiente estrarre le componenti Ri dalla distribuzione P (Ri) ∝ e−R
∗
iRi e calcolare:
φ = M†R (A.10)
I campi di Gauge U vengono a questo punto fatti evolvere deterministicamente tramite l’hamil- toniana effettiva: Hef f [U, H, φ∗, φ] = 1 2TrH 2+ S gauge[U ] + φ∗ M†M−1φ (A.11) a φ fissato.
Le equazioni del moto si trovano imponendo δHef f = 0 e il vincolo che durante l’evoluzione temporale H rimanga a traccia nulla. I risultati del calcolo, mostrati in dettaglio in [37], sono:
i ˙Hjµ= β 3Uj,µVj,µ− 2Uj,µ X ν Uj+ˆµ,νPj+ˆµ+ˆν,j− X ν6=µ Uj+ˆ† µ+ˆν,νPj+ˆµ+ˆν,j T A (A.12) se j é pari i ˙Hjµ= β 3Uj,µVj,µ− 2Uj,µ X ν Pj+ˆµ+,j−ˆνUj−ˆν,ν− X ν6=µ Pj+ˆµ,j+ˆνUj,ν† T A (A.13) se j é dispari, dove: • ˙Hj,µ= ∂H∂tj,µ
• TA indica la parte antihermitiana a traccia nulla di una matrice: AT A = 12
A − A†− 1 6Tr A − A† • Pil = χiχ∗j e χi = M†M−1 ij φj • Vn,µ =Pν6=µUn+µ,νUn+ν,µ† Un,ν†
Durante l’evoluzione deterministica, in ogni punto della traiettoria nello spazio {U, H} é richiesta la valutazione di χi =
M†M−1
ij φj e l’efficacia dell’algoritmo dipende dalla difficoltá di calcolo di questa quantitá. Trovare χi é equivalente a dover risolvere il sistema lineare:
M†Mχ = φ (A.14)
che come abbiamo visto puó essere fatto numericamente utilizzando il metodo del gradiente
coniugato.
Riorganizzando quanto visto, nell’algoritmo φ si deteterminano i campi φ e H attraverso un algoritmo Heat-Bath e si inizializza la procedura scegliendo un valore randomico dei campi di Gauge. A fisso φ si utilizzano le equazioni del moto precedenti e la A.7) per far evolvere il campo U e i momenti coniugati H per un tempo fittizio ∆t. Si estraggono allora i valori dei campi a fine traiettoria e si fa un refresh delle variabili H, φ con un Heat-Bath. Si ripete la procedura un numero di volte uguale alla dimensione del campione che vogliamo estrarre. La parte di dinamica molecolare dell’algoritmo φ visita l’ipersuperficie a Hef f fissato nello spazio degli stati Ω rendendo l’algoritmo esplicitamente non ergodico. La combinazione di una parte di dinamica molecolare e di una parte di aggiornamento di tipo Heat-Bath fa si che l’algoritmo risultante sia invece complessivamente ergodico.
Nella realtá dei fatti, risulta impossibile risolvere esattamente le equazioni del moto (A.12 e A.13). Quello che si fa invece, é discretizzare le equazioni precedenti introducendo un "passo temporale" finito δτ = ∆tN e integrarle poi numericamente in qualche modo. Chiaramente la di- scretizzazione ha come effetto il fatto che le traiettorie descritte non appartengono esattamente alle ipersuperfici a Hef f costante, rendendo l’algoritmo non esatto. Come discuteremo nella sezione A.4 é possibile peró imporre un certo numero di vincoli sugli integratori numerici uti- lizzabili in modo tale che, inserendo un test Metropolis alla fine di ogni traiettoria, sia possibile ripristinare l’esattezza dell’algoritmo.
L’algoritmo φ, pur avendo il pregio di essere un algoritmo esatto, permette di simulare uni- camente la QCD con un numero di flavour pari a 4. Prima di discutere l’algoritmo che viene attualmente utilizzato per ovviare al problema, diamo un breve accenno al primo metodo com- parso in letteratura che ha permesso di simulare la QCD con un numero di quark arbitrario, noto come algoritmo R [37].
In questo algoritmo, invece di introdurre i campi pseudofermionici φ, gli autori hanno pensato di riscrivere la distribuzione di probabilitá (A.2) come:
e−Sgauge[U ]det M [U ]Nf4
Z =
e−Sgauge[U ]+Nf4 Tr ln M†M
dove l’operatore M†M é definito soltanto sui siti pari del reticolo. Come prima si introducono i
momenti coniugati ai campi di Gauge e si determinano le equazioni del moto del sistema. Come mostrato in [37] le equazioni risultanti contengono tracce di matrici in cui compareM†M−1
che impongono il calcolo ad ogni passo della traiettoria di tutti gli elementi dell’inversa di M†M
e non l’inversa applicata ad un vettore come nel caso dell’algoritmo φ. Invertire completamente questa matrice, risulta particolarmente dispendioso e per valutare le tracce vengono utilizzati i cosiddetti estimatori rumorosi che verranno discussi in A.4. L’uso di metodi stocastici per la valutazione di tracce, rende l’algoritmo inesatto; la distribuzione campionata PR contiene una dipendenza dal passo temporale δτ del tipo:
PR= Peq+ O(δτ3) (A.16)
Per estrarre i corretti valor medi da simulazioni con algoritmo R, é necessario ripetere le simula- zioni con intervalli temporali δτ sempre piú piccoli e cercare di estrapolare poi il limite δτ → 0. Il fatto di dover ripetere di volta in volta ogni simulazione, rappresenta il piú grande difetto dell’algoritmo.
A.2
L’algoritmo RHMC
L’algoritmo RHMC (Rational Hybrid Monte Carlo) [38] rappresenta una modifica degli algo- ritmi Hybrid Monte Carlo, che permette di simulare in maniera esatta la QCD con un numero arbitrario di flavour.
I valor medi delle osservabili, nel caso di Nf fermioni degeneri sono dati dalla formula (A.2) che introducendo i campi pseudofermionici φ diventa:
hOi = R D [U, φ, φ∗] e−Sgauge[U ]−φ∗(M†M) −Nf 4 φ O[U ] Z (A.17)
Applicando gli stessi metodi visti per l’algoritmo φ, introducendo i momenti fittizi H si arriva a delle equazioni del moto in cui é richiesta la valutazione della matriceM†Mα ad un vettore, in cui la difficoltá principale é quella di riuscire a calcolare esattamente la matriceM†M−
Nf
4
. L’idea di base nell’algoritmo é quella di trovare una approssimazione f (x) per xα, valida sullo spettro di (M†M ), x ∈ [λmin, λmax], che renda il calcolo piú agevole. L’esattezza dell’algorit- mo non é violata se richiediamo che l’errore ∆ ≡ max{x ∈ [λmin, λmax]
f (x) − xa|} dovuto
all’approssimazione fatta sia piú piccolo della floating point precision utilizzata nell’implemen- tazione dell’algoritmo. Le funzioni approssimanti f (x) piú utilizzate sono le funzioni polinomiali (PHMC) e le funzioni razionali (RHMC). Quest’ultime sembrerebbero decisamente piú adatte allo scopo, per cui attualmente l’algoritmo RHMC risulta essere quello largamente piú diffuso. L’efficacia dell’algoritmo si basa innanzitutto sulla possibilitá di poter calcolare dei coefficienti
ci, pi in modo tale che valga: xα≈ f (x) = N um(x) Den(x) = N X i=1 ci x + pi (A.18) La scrittura di un algoritmo in grado di farlo é stata fatta da M. Clark ed A.D. Kennedy [38] e si basa su un’implementazione dell’algoritmo Remez , che calcola, in un certo sottospazio, il mi- glior approssimante per una funzione su un intervallo, nel senso della norma L∞. Assumendo di aver calcolato f (x) per α = −Nf
4 , é possibile sostituire nella (A.17)
M†M−
Nf
4
→ fM†M, senza introdurre ulteriori errori sistematici. A questo punto, per la parte di dinamica moleco- lare dell’algoritmo, si puó procedere esattamente come nel caso dell’algoritmo φ. Si introducono di nuovo i momenti fittizi H che vengono campionati da una distribuzione P (H) ∝ e−12TrH
2
e le equazioni del moto si ottengono immediatamente dalle (A.12 e A.13) tramite la sostituzione:
Pij → Pij =Pkck
χkiχk∗j dove χki ≡M†M + pk
−1
ij φj
Nell’evoluzione dinamica é richiesta, in ogni punto della traiettoria, la soluzione degli N sistemi lineari:
M†M + pk
x = φ (A.19)
Dal momento che l’applicazione del gradiente coniugato risulta essere la parte piú dispendiosa dell’algoritmo, sembrerebbe che non ci siano grandissimi vantaggi nell’utilizzo di RHMC. In realtá si puó mostrare (vedere [39]) che nel caso di matrici del tipo (A.19) che differiscono l’una dall’altra per un termine proporzionale all’identitá é possibile utilizzare dei metodi di soluzione noti come Multi-Shift Solvers in grado di risolvere contemporaneamente tutti gli N sistemi precedenti, praticamente allo stesso sforzo computazionale della soluzione del sistema con |pk| minore.
Per quanto riguarda invece l’aggiornamento dei campi φ tramite Heat-Bath, notiamo che sarebbe sufficiente estrarre un vettore R complesso distribuito come P (R) ∝ e−R∗R e poi calcolare φ tramite:
φ =M†M
Nf
8
R (A.20)
Dal momento che, come abbiamo detto, calcolareM†Mαrisulta particolarmente complicato, possiamo trovare un’espansione razionale per M†M
Nf
8
e utilizzando questa approssimazione calcolare la (A.20). A differenza dell’espansione per x−Nf4 quella per x
Nf
8 deve essere valutata
soltanto nel punto d’inizio della traiettoria (l’unico in cui dobbiamo eseguire un Heat-Bath) e in quello terminale, in cui per eseguire il test Metropolis é necessario valutare la variazione di azione efficace ∆Hef f. Questo algoritmo risulta essere quello largamente piú utilizzato per simulare la QCD con un numero arbitrario di flavour. Nella prossima sezione, analizzeremo il problema degli integratori numerici utilizzabili per la soluzione delle equazioni del moto (A.12 e A.13). In
particolare, esisterá una classe di integratori che consentiranno, nonostante la discretizzazione, di ottenere un algoritmo completamente reversibile.
A.3
Integratori
Si puó mostrare che la completa reversibilitá dell’algoritmo, é mantenuta, risolvendo le equa- zioni del moto in maniera approssimata, se si utilizzano i cosiddetti integratori simplettici
Data una Hamiltoniana H(p, q), supponiamo di aver risolto approssimativamente le equazio- ni del moto e di aver determinato le coordinate e i momenti al tempo tqf, pfa partire dalle condizioni iniziali per t=0 qi, p?i
. Se valgono le seguenti proprietá:
• Invarianza per inversione temporale : (qi, p0) → (qf, pf)se e solo se(qf, −pf) → (qi, −pi). • Conservazione del volume nello spazio delle fasi nell’evoluzione temporale
l’integratore utilizzato é detto simplettico e il suo utilizzo in RHMC rende l’algoritmo perfet- tamente reversibile a patto di introdurre un test Metropolis a fine traiettoria, che accetta la