Termodinamica delle interazioni forti ad alte temperature

Indice

1 Introduzione 5

1.1 Scopo della tesi . . . 6

2 Richiami di Cromodinamica Quantistica 11 2.0.1 Il gruppo SU(3)c: l’azione di Yang-Mills . . . 11

2.0.2 La libertá asintotica . . . 13

2.1 Quantizzazione con Path Intregral . . . 16

2.1.1 Path Integral in QFT: variabili bosoniche . . . 18

2.1.2 Path Integral in QFT: variabili fermioniche . . . 21

2.1.3 formulazione euclidea di una QFT . . . 23

2.1.4 Temperatura finita . . . 25

2.1.5 Densitá finita . . . 26

2.2 Formulazione su reticolo di una teoria di gauge . . . 27

2.2.1 Campi scalari su reticolo . . . 28

2.2.2 Fermioni su reticolo . . . 30

2.2.3 Doubling Problem . . . 31

2.2.4 Fermioni di Wilson . . . 32

2.2.5 Fermioni di Kogut-Susskind . . . 32

2.2.6 La "rooting procedure" . . . 34

2.2.7 Campi di Gauge su reticolo . . . 35

2.2.8 Azioni improved e smearing . . . 37

2.3 Potenziale chimico su reticolo . . . 39

2.4 Effetti sistematici su reticolo e limite continuo . . . 39

2.4.1 LCP . . . 42

2.4.2 Regione di scaling a2 per fermioni staggered . . . 45

3 Termodinamica delle interazioni forti 49 3.1 Transizioni di fase . . . 49

3.2 Simmetrie e transizioni di fase in QCD . . . 53

3.2.2 Fenomenologia nel caso di masse fisiche . . . 58

3.2.3 Termodinamica a densitá finita . . . 60

3.2.4 La transizione di Roberge-Weiss . . . 61

3.3 Freeze-Out nelle collisioni tra ioni pesanti . . . 65

3.3.1 Suscettivitá generalizzate . . . 67

3.3.2 Il modello HRG . . . 68

4 Metodi numerici utilizzati 71 4.1 Algoritmo Metropolis e Heat-Bath . . . 75

4.2 Autocorrelazione . . . 76

4.3 Metodi di studio a µ finita. . . . 78

4.3.1 Metodo dello sviluppo di Taylor . . . 78

4.3.2 Metodo del potenziale chimico immaginario . . . 80

5 Risultati Numerici 85 5.1 Setup utilizzato e algoritmi . . . 86

5.2 Risorse di calcolo utilizzate . . . 90

5.3 Stima delle suscettivitá a densitá nulla . . . 91

5.4 Confronto tra metodo diretto e metodo del potenziale chimico immaginario . . . 98

5.5 Effetti di Cut-Off ultravioletti . . . 101

5.6 Determinazione dei parametri sul freeze-out adronico . . . 103

5.7 Raggio di convergenza . . . 110 6 Conclusioni 113 A Algoritmi Utilizzati 117 A.1 Algoritmo φ . . . 118 A.2 L’algoritmo RHMC . . . 121 A.3 Integratori . . . 123

B Metodo degli estimatori rumorosi 127

C Metodo Jackknife 131

Capitolo 1

Introduzione

Storicamente le interazioni forti sono state introdotte con l’obiettivo di spiegare la stabilitá nucleare. Prima dell’avvento della Cromodinamica Quantistica sono stati proposti molti mo-delli fenomenologici, la maggior parte con l’intento di rispondere alla domanda su quale fosse il tipo d’interazione tra nucleoni. Nel 1935, Yukawa , per primo, propose l’idea dell’esistenza di un mesone mediatore per l’interazione p-n, di massa ≈ 140M ev, poi identificato col pione nel 1949. Da quel momento molti sono stati i modelli proposti per migliorare l’accordo con i risultati sperimentali, ma nessuno di questi sembrava essere completamente soddisfacente, dal momento che in alcun modo partiva da principi primi. Negli anni ’60 a SLAC gli esperimenti sul Deep Inelastic Scattering in urti elettrone-protone mostrarono inequivocabilmente che i protoni avevano una struttura interna non banale e che per impulsi trasferiti sufficientemente grandi la sezione d’urto del processo soddisfaceva lo scaling di Bjorken e pertanto i suoi costituenti elementari dovevano comportarsi come particelle libere a distanze sufficientemente piccole. A queste particelle R. Feynman diede il nome di partoni. L’esistenza dei quark venne postulata da Gell-Mann e Zweig nel 1970 per dare una spiegazione al fatto che le masse adroniche cono-sciute sembravano raggrupparsi in multipletti caratterizzati da alcuni numeri quantici, (Isospin e Stranezza) che sembravano essere conservati in molti processi. Questi multipletti avevano la stessa forma di alcune, ma non tutte , le rappresentazioni del gruppo SU(3), in particolare sembravano mancare in natura adroni che si disponessero nella rappresentazione fondamentale del gruppo. L’idea alla base della loro ipotesi é che esistessero 3 particelle fino ad allora non osservate che popolassero la rappresentazione fondamentale del gruppo e che gli stati adronici osservati non fossero altro che stati legati di queste particelle a cui diedero il nome di quark , identificate poi con i partoni di R. Feynman.

L’ipotesi precedente non fu indolore. Poichè i quark dovevano essere dei fermioni, sembrava che la risonanza ∆ + + costituita da 3 quark up con spin parallelo violasse il teorema di spin-statistica. Per risolvere questo puzzle , nel 1965 Moo-Young Han e Yoichiro Nambu introdussero, per i quark, un nuovo grado di libertá chiamato poi carica di colore che segnò l’avvento della Cromodinamica Quantistica (spesso abbrevviato con QCD). Per rendere conto del fatto che

non vi fosse alcuna evidenza sperimentale di una carica di colore non nulla , venne proposta la cosiddetta ipotesi di confinamento che stabiliva che tutti gli adroni esistenti in natura dovessero essere complessivamente neutri rispetto al colore.

E’ stato utilizzato tutto il formalismo matematico della teoria di campo, giá applicato con suc-cesso all’elettrodinamica quantistica , per descrivere le interazioni tra queste esotiche particelle ed in particolare si é cercato di estendere il concetto di teoria di Gauge anche al caso di una teoria non abeliana come la QCD Questo portó subito l’attenzione sulle teorie di Yang-Mills, le uniche a possedere la cosiddetta proprietá di libertá asintotica, per la quale due quark posti a distanza molto piccola cessano di interagire e si comportano approssimativamente come parti-celle libere , in accordo con quanto osservato a Slac.

Nella teoria , i mediatori dell’interazione sono 8 gluoni , particelle non massive che a differenza dei fotoni che non hanno carica elettrica , sono invece portatrici di una carica di colore. Il problema del confinamento risultava peró ancora aperto. Stabilita matematicamente la di-namica delle interazioni, doveva esistere un qualche meccanismo che impedisse ai quark di allontanarsi indefinitamente l’uno dall’altro. In questo regime (di bassa energia) , le usuali tecniche di analisi , applicate con successo alla QED , perdono di significato se applicate alla teoria di Yang-Mills che manifesta a scale di energia sufficientemente basse un comportamento non perturbativo.

L’avvento di calcolatori sempre piú potenti ha permesso negli ultimi decenni di indagare nu-mericamente il problema grazie alla cosiddetta formulazione su reticolo della Cromodinamica Quantistica (Lattice QCD). Grazie a questa formulazione é possibile regolarizzare gli integrali di cammino di Feynman tramite i quali sono espresse tutte le osservabili del sistema e in parti-colare questo puó essere fatto senza rompere la simmetria di Gauge della teoria.

Gli integrali multi-dimensionali che ne conseguono vengono valutati solitamente con l’utilizzo di tecniche di campionamento Montecarlo che risultando computazionalmente molto dispendiose richiedono l’ausilio di supercalcolatori.

I problemi ancora aperti, sono legati soprattutto allo studio delle proprietá della materia in condizioni di equilibrio termico e in presenza di un potenziale chimico non nullo. Questi proble-mi risultano essere particolarmente rilevanti per lo studio dell’evoluzione dell’universo primor-diale e per i meccanismi interni di oggetti particolarmente densi e caldi come le stelle di neutroni.

1.1

Scopo della tesi

L’interesse attuale é legato sopratutto alla ricostruzione del diagramma di fase nel piano (T, µ) in relazione al fatto che al variare delle condizioni di temperatura e potenziale chimico la

ma-teria adronica possa manifestare proprietá peculiari. Negli ultimi anni grazie al potenziamento delle risorse di calcolo accessibili si é riusciti a rispondere ad alcuni interrogativi. Ad esem-pio sappiamo che al variare della temperatura a potenziale chimico nullo , il sistema passa per

T ≈ 150M ev da una fase (di bassa temperatura) in cui i quark sono confinati negli stati adronici

, ad una fase (di alta temperatura) in cui si comporta come un gas libero di quark e gluoni

QGP. Sembra inoltre accertato che il passaggio da una fase all’altra non manifesti alcuna

cri-ticitá (crossover) e che quindi non sia legato all’esistenza di una transizione di fase che in molti avevano postulato.

I problemi piú interessanti sono legati invece allo studio del diagramma di fase a densitá finita (µB 6= 0). La convinzione generale é che all’aumentare del potenziale chimico il crossover pre-sente a µ_B = 0 degeneri per qualche µ_B = µ_B∗ in un punto critico oltre il quale si estende un ramo di transizioni di fase del prim’ordine un pò come accade nel diagramma di fase liquido-vapore. La domanda circa l’esistenza di un simile punto critico risulta essere da tempo senza risposta.

Negli ultimi anni , grazie a progetti come quelli della collaborazione Star a RHIC o Alice(Cern), é possibile indagare sperimentalmente le proprietá della materia adronica in condizioni di tem-peratura estreme. L’urto tra ioni pesanti come Au − Au o P b − P b permette la formazione di regioni particolarmente calde in cui quark e gluoni si comportano come un gas non interagente. Il raffreddamento della regione a causa dell’espansione , permette il processo di riadronizzazio-ne e si assume che esista una dimensioriadronizzazio-ne critica della regioriadronizzazio-ne per qualche valore di (Tf, µf) in cui questa sia sufficientemente diluita da rendere trascurabili le interazioni adroniche. Le abbondanze esistenti in (Tf, µf) chiamato punto di chemical freeze-out , possono essere allora misurate da una serie di rivelatori posti intorno alla regione d’urto. L’analisi event-by-event delle fluttuazioni nelle abbondanze prodotte , permette la ricostruzione dei momenti delle di-stribuzioni delle cariche conservate NB, NQ, NS (che rappresentano rispettivamente il numero barionico , la carica elettrica e la stranezza) consentendo di valutare , se l’assunzione é corretta, le fluttuazioni generate nel momento di freeze-out.

Nell’esperimento , variando l’energia √s nel centro di massa degli ioni in collisione é possibile

l’esplorazione di vari punti (Tf(√s), µf(√s) con l’obiettivo di avvicinarsi il piú possibile

all’e-lusivo punto critico per poterlo osservare.

Le fluttuazioni delle cariche conservate , corrispondono analiticamente a derivate successive in µ_B dell’energia libera del sistema chiamate suscettivitá generalizzate che, grazie ad argomenti basati sul gruppo di rinormalizzazione, devono manifestare un andamento sempre piú critico all’aumentare dell’ordine delle derivate, in presenza di una transizione di fase del second’ordine. E’ possibile pertanto confrontare direttamente i risultati dell’esperimento con le previsioni della Cromodinamica.

Non appena si inserisce un potenziale chimico nella teoria su reticolo , viene meno peró la possibilitá di utilizzare le usuali tecniche di analisi Montecarlo a causa del famoso problema

del segno. La ricostruzione dell’energia libera F del sistema a µ_B finito, procede usualmente attraverso uno sviluppo in serie di Taylor , in cui i coefficienti corrispondono alle suscettivitá calcolate a densitá nulla. Il calcolo diretto di queste quantitá puó diventare computazional-mente molto dispendioso all’aumentare dell’ordine delle derivate, pertanto risulta importante investigare sulla possibilitá di utilizzo di metodi alternativi per la loro valutazione. In questo lavoro di tesi ci concentreremo sul metodo del potenziale chimico immaginario che basa la sua efficacia sul ripristino della possibilitá di utilizzo degli usuali metodi di analisi numerica ope-rando la sostituzione µ → iµ.

Il metodo é già stato utilizzato efficacemente per altri scopi mentre per la determinazione delle suscettivitá a densitá nulla esiste soltanto qualche lavoro preliminare su reticoli molto modesti e considerando la Q.C.D. con Nf = 2 flavour degeneri. La novitá di questa tesi consiste nell’e-stendere questi lavori al piú fisico setup N_f = 2 + 1 in cui si considera anche la presenza del quark strange , in particolare ci poniamo i seguenti obiettivi:

I) Confrontare direttamente i due metodi. Vogliamo innanzitutto capire se a fissato tempo macchina complessivo il nostro metodo puó essere piú preciso del calcolo diretto.

II) E’ noto che le determinazioni dirette di suscettivitá di ordine n > 2 soffrono di lacking of

self-averaging ovvero gli errori nelle stime aumentano con il volume spaziale del reticolo.

L’utilizzo del nostro metodo dovrebbe eliminare questa eventualitá per cui effettueremo un’analisi al variare di V per capire come si comporta l’errore.

III) Effettuare un confronto tra le nostre stime e i dati forniti dalla collaborazione Star. in particolare vogliamo vedere come le determinazioni di (T_f, µf) ottenute con il metodo diretto giá presenti in letteratura si confrontano con le nostre.

IV) Valutare le discrepanze con il modello fenomenologico HRG (Hadron Resonances Gas

Model) e il raggiungimento del limite di QGP ad alte temperature.

V) Fornire una stima per la collocazione del punto critico.

I capitoli seguenti sono così articolati: nel capitolo 2 verrá fatta una introduzione alle teorie di Gauge e su come si studiano i problemi in teoria di campo in presenza di temperatura e potenziale chimico finito. Parleremo diffusamente della formulazione su reticolo della QCD , delle problematiche che possono sorgere e dei metodi d’indagine che si utilizzano. Nel capitolo 3 verrá fornito un quadro generale del diagramma di fase della QCD facendo riferimento in particolare alle simmetrie della teoria. Nel capitolo 4 verranno analizzate le tecniche di analisi Monte Carlo comunemente utilizzate, dei problemi che sorgono introducendo un potenziale

chimico e delle possibili soluzioni. Nel capitolo 5 verranno presentati i risultati ottenuti. In appendice sono invece riportati i dettagli degli algoritmi utilizzati.

Capitolo 2

Richiami di Cromodinamica

Quantistica

2.0.1 Il gruppo SU(3)c : l’azione di Yang-Mills

Le interazioni forti sembrano essere ben descritte dalla Cromodinamica Quantistica. Come nel settore elettro-debole del Modello Standard, la Lagrangiana che descrive l’ interazione si ricava promuovendo la simmetria globale dell’azione libera a simmetria locale. Una trasformazione é detta locale se punti distinti dello spazio trasformano in maniera indipendente l’uno dall’altro. Il gruppo di simmetria per la Cromodinamica Quantistica (Q.C.D.) é SU(3). La sua algebra ha 8 generatori, dati in rappresentazione fondamentale da Ta = λ₂a (a=1,..,8), dove λa sono le matrici di Gell-Mann. I generatori del gruppo soddisfano le seguenti regole di commutazione:

[Ta, Tb] = ifabcTc (2.1a)

Tr (Ta, Tb) = 1

2δab (2.1b)

dove le costanti di struttura fabc sono completamente antisimmetriche nei 3 indici, e ogni elemento del gruppo si scrive come:

U = exp   N2−1 X a=1 θaTa   (2.2)

L’azione libera per i campi di materia (N_f quark di spin 1₂) é data da:

L = Nf X f =1 ¯ ψf(i /∂ − Mf)ψf (2.3)

dove ogni ψ_f é un tripletto di SU(3) e la somma é estesa a tutti i flavour. La Lagrangiana precedente é invariante sotto trasformazioni globali di SU(3)

   ψ 7−→ U ψ ¯ ψ 7−→ ¯ψU† (2.4)

ma non sotto trasformazioni locali, ottenute ammettendo una dipendenza dalle coordinate dei parametri della trasformazione: θa→ θa(x). La trasformazione indotta da:

G(x) = exp   N2₋₁ X a=1 θa(x)Ta   (2.5)

é detta trasformazione di Gauge. Il problema della (2.3) é nel termine derivativo che valuta la differenza tra campi in punti distinti, anche se infinitamente vicini, che per quanto detto trasformano in maniera diversa. É necessario dunque modificare questo termine in modo tale che l’azione fermionica risulti invariante sotto trasformazioni locali. Il metodo utilizzato é quello dell’ accoppiamento minimale. Innanzitutto si ricerca una funzione U_C(y, x), funzione del cammino C che connette i punti (x,y), detta di trasporto parallelo, tale da soddisfare le seguenti richieste:

• U_C ∈ SU(3)

• ∀ cammino C00 = C0◦ C, U_C00 = U

C0UC • ∀ cammino C, U−C = U_C†

• U0(y, x) = G(y)U (y, x)G(x)†

Ł’ultima proprietá assicura che U(y,x)ψ(x) ∼ ψ(y) sotto trasformazioni locali ed inoltre, i bilineari costruiti frapponendo la funzione di trasporto parallelo tra gli operatori di campo, risultano invarianti di Gauge. La forma esplicita della funzione U_C(y, x) é data da:

UC = P  exp  −ig Z C dxµAµ(x)  (2.6) dove l’operatore P indica l’ordinamento dei cammini e Aµ(x) sono matrici hermitiane a traccia nulla che possono essere decomposte nella base delle matrici di Gell-Mann T_a:

Aµ(x) =

X

Aa_µ(x)T_a (2.7)

I parameteri Aa_µ(x) (a=1,..,8), prendono il nome di campi di Gauge o Connessioni e corrispon-dono agli 8 gluoni della Cromodinamica. Le loro proprietá di trasformazione, si ottengono utilizzando l’ultima proprietá della funzione di trasporto. Si ha:

Aµ→ A0µ(x) = G(x)Aµ(x)G(x)†−

i

g(∂µG(x))G(x) (2.8)

e l’azione invariante si ottiene sostituendo la derivata ordinaria con la cosiddetta derivata covariante, tramite la seguente sostituzione nella 2.3:

∂µ→ Dµ= ∂µ− ig

X

a

Per permettere ai campi di Gauge di propagare, é necessario introdurre nella Lagrangiana un termine derivativo e invariante di Gauge nei campi Aa_µ(x) . Il metodo standard e’ quello di definire il tensore di campo Fµν come:

Fµν(x) = −

i

g[Dµ(x), Dν(x)] = ∂µAν(x) − ∂νAµ(x) − ig[Aµ(x), Aν(x)] (2.10)

che ha le seguenti proprietá di trasformazione:

Fµν(x) → F

0

µν(x) = G(x)Fµν(x)G(x)† (2.11) e di inserire nella Lagrangiana (2.3) un termine del tipo αTr [FµνFµν]. Per analogia con la QED si adotta la normalizzazione α = −1₂. Ovviamente un’altra scelta della normalizzazione si traduce soltanto in una ridefinizione della costante di accoppiamento. L’azione risultante dal processo di accoppiamento minimale fa parte di una classe di azioni inviarianti sotto trasfor-mazioni locali del piú generico gruppo SU(N), note come azioni di Yang-Mills, che hanno la seguente forma generale:

LY −M = − 1 2Tr [FµνF µν_{] + ¯ψ} β,b  iγµ_βα(Dµ)_ba− mδβα,ba  ψα,a (2.12)

dove gli indici greci e latini sono rispettivamente indici di Dirac e di colore e Ψ(x) é un vettore ad N componenti che trasforma come la rappresentazione fondamentale del gruppo SU(N). Introducendo N_f flavour, si ottiene l’azione della Cromodinamica, che costituisce il punto di partenza per lo studio delle interazioni forti.

LQCD = X f −1 2Tr [FµνF µν_{] + ¯ψ}f β,b  iγ_βαµ (Dµ)_ba− mδβα,ba  ψf_α,a (2.13) 2.0.2 La libertá asintotica

Il funzionale d’azione a cui siamo arrivati, possiede un certo numero di proprietá:

• La Lagrangiana conserva la paritá, fatto che sembra essere confermato dalle osservazioni. • I termini d’interazione coinvolgono soltanto gli indici di colore e non quelli di flavour. Le in-terazioni forti sembrano infatti agire allo stesso modo su tutti i quarks, indipendentemente dal flavour.

• Nel limite chirale la Lagrangiana é invariante sotto l’azione del gruppo

SU (Nf)LNSU (Nf)R che agisce sugli indici di flavour. Partendo da questa Lagrangiana é possibile studiare perturbativamente i contributi di violazione di simmetria e ottenere ad esempio relazioni tra le masse adroniche partendo da principi primi.

Sebbene queste proprietá siano importanti, non sono sufficienti a dimostrare l’effettiva capacitá dell’azione (2.13) nel descrivere la dinamica delle interazioni forti. Nel tentativo di spiegare il motivo per cui soltanto alcune rappresentazioni del gruppo SU (3)_f fossero popolate dagli stati adronici osservati, é stato infatti introdotto il principio del confinamento:

Soltanto le rappresentazioni di SU (3)_f, scomponibili in rappresentazioni irriducibili conten-tenenti la rappresentazione 1,corrispondono a stati adronici osservabili in natura.

Questo principio, introdotto "a mano" nella teoria, che vieta la possibilitá di osservare singoli quark, deve essere conseguenza della natura delle interazioni forti, e la Lagrangiana (2.13) deve dare innanzitutto delle indicazioni sul meccanismo che porta al confinamento. Un’ osservazione cruciale in questo senso,che é alla base della teoria della rinormalizzazione, sta nel fatto che in QFT le interazioni non soltanto sono responsabili dei processi di scattering e decadimento, ma modificano i parameteri da cui dipendono le funzioni d’onda di singola particella (determinati dalla quantizzazione della parte quadratica dell’azione). In particolare le masse e le costanti di accoppiamento osservate sperimentalmente, non coincidono con i parametri della Lagrangiana di partenza, detti parametri bare, ma sono determinati tenendo conto dei contributi delle in-terazioni . Rinormalizzare una teoria vuol dire esattamente, capire quali sono le masse delle particelle in gioco, quali sono le costanti di accoppiamento osservate e come queste dipendono dalle energie dei processi. Questa procedura, in genere, elimina anche il problema delle diver-genze che si incontrano nello sviluppo perturbativo, oltre il livello ad albero. La procedura di rinormalizzazione é preceduta da quella di regolarizzazione. Per poter trattare gli integrali di-vergenti che compaiono si introduce un regolarizzatore (ottenuto ad esempio con un cut-off nello spazio degli impulsi o modificando la dimensione dello spazio-tempo) e chiameremo Λ l’insieme dei parametri introdotti nella procedura di regolarizzazione. Le costanti rinormalizzate si otten-gono imponendo le cosiddette condizioni di rinormalizzazione nel limite in cui il regolarizzatore é rimosso. Nel nostro caso siamo interessati alla forma della costante d’accoppiamento di Gauge rinormalizzata g(k2), detta running coupling constant. All’ordine 1 loop, dopo aver scalato i campi di Gauge (Aa_µ→ gAa

mu), questa si ottiene calcolando tutti i contributi alla polarizzazione di vuoto, definita come la somma di tutti i grafici 1PI con due gambe esterne gluoniche amputa-te. A differenza della Q.E.D. che ha un gruppo di simmetria abeliano, la QCD ha anche vertici d’interazione a 3 e 4 gluoni e vertici ghost-ghost-gluone, questi ultimi introdotti nella procedura di gauge-fixing dall’azione di Faddev-Popov (sezione 2.1.1). I contributi al propagatore gluonico sono , dunque , di 3 tipi: diagrammi con 1 loop fermionico (comune alla QED), diagrammi con 1 loop gluonico e diagrammi con 1 loop di ghost. I 3 diagrammi di Feynman sono mostrati in figura 2.1 La conservazione della simmetria di Gauge nella procedura di rinormalizzazione, conduce alle cosiddette identitá di Ward-Takahashi che vincolano la forma del propagatore. La sua forma generale é data da :

Figura 2.1: In figura sono mostrati i 3 contributi alla self energia del gluone. Da sinistra verso

destra troviamo il diagramma con 1 loop fermionico , quello con 1 loop gluonico e quello con 1 loop di ghost. Γµν_ab(k)reg = 1 g2δab  1 + g2P (k2, Λ)reg   gµνk2− kµkν (2.14) dove P_reg(k2, Λ) gµνk2− kµ_kν

é la polarizzazione di vuoto ad un 1 loop regolarizzata. La costante di accoppiamento running é definita come:

1 g(k2₎2 = 1 g2  1 + g2 lim Λ→∞  P (k2, Λ)reg− P (µ2, Λ)reg  (2.15)

dove µ é detto punto di sottrazione e corrisponde al punto dello spazio degli impulsi a cui é fissato il valore della costante di accoppiamento. Il calcolo dei diagrammi precedenti conduce al risultato (i campi fermionici sono considerati massless):

αs(k2) = g2(k2) 4π = αs 1 + as 12π(11Nc− 2Nf) ln k2 µ2 (2.16)

L’andamento di αs(k2) é mostrato in figura (2.2) . La peculiaritá dell’azione (2.13) si manifesta nel segno del coefficiente del logaritmo. In natura Nc= 3 e Nf = 6 pertanto (11Nc− 2Nf) > 0. Indipendentemente dalla scelta del punto di sottrazione , la costante di accoppiamento running cosi determinata, diventa piccola per impulsi trasferiti sufficientemente grandi (giustificando l’approccio perturbativo), mentre diventa arbitrariamente grande per k2 → 0 invalidando il calcolo a 1 loop e impedendo un approccio perturbativo a basse energie. Il fenomeno appena descritto prende il nome di Libertá asintotica (schiavitú infrarossa per l’andamento a piccoli impulsi) e la sua scoperta valse a Gross, Wilczek e Politzer il premio Nobel nel 2004. Il fatto che la costante running cresca a piccoli impulsi é strettamente legata al problema del confinamento. Se cerchiamo infatti, partendo ad esempio da uno stato legato quark-antiquark, di allontanare le due cariche di colore per osservarle singolarmente, ci aspettiamo un aumento dell’energia potenziale con la distanza relativa , finché non diventa piú conveniente per il sistema produrre una coppia quark-antiquark per schermare la carica di colore. Questo renderebbe impossibile osservare singoli quark.

Figura 2.2: Andamento della costante di accoppiamento running a 1 loop.

essendo una scala di energia fisica, tutti i vertici rinormalizzati non devono dipendere da questa scelta. La traduzione analitica di questa condizione sono le equazioni di Callan-Symanzik che ci dicono come modificare i parametri bare della Lagrangiana per mantenere la fisica costante. Questo si traduce in una relazione del tipo g(µ). Si ha nel caso della Q.C.D. :

β(g) = −µ∂g ∂µ = a1g 3_{+ O(g}5_{) (2.17)} con a₁= _16π12  11 3Nc− 2 3Nf 

. β(g) é la nota funzione di Gell-Mann e Low. Integrando la 2.17, si ottiene g(µ) a meno di una costante d’integrazione ΛQCD con le dimensioni di una energia. Sperimentalmente il suo valore é di circa 200Mev e rappresenta la scala di energia per la quale la costante running é circa unitaria. Un calcolo a loop successivi consente di ricavare gli altri coefficienti dello sviluppo in serie di g. Soltanto i primi due, peró , sono indipendenti dallo schema di rinormalizzazione.

2.1

Quantizzazione con Path Intregral

Accanto al formalismo operatoriale, per la quantizzazione di una teoria di campo quantistica, é possibile utilizzare il metodo del Path-Integral che evita l’interpretazione dei campi come ope-ratori in uno spazio di Hilbert, e unita alla formulazione euclidea, permette una regolarizzazione non perturbativa, che é quella utilizzata in lattice QCD. Il formalismo dell’integrale sui cammi-ni, é stato introdotto inizialmente in meccanica quantistica ordinaria e un breve riassunto sulla sua derivazione é utile a capire la sua applicazione in QFT.

Si consideri dunque, un sistema quantistico con n coordinate canoniche {qa} e impulsi coniugati {p_{b}. Siamo interessati a ricavare un’espressione per la funzione di Green del sistema (~ = 1):}

K(q0, t0, q, t) = hq0|e−iH(t

0

−t)_{|qi = hq}0

dove |q,ti sono autostati dell’operatore di posizione in rappresentazione di Heisenberg:

Qα(t) = eiHtQαe−iHt (2.19)

Per ottenere una rappresentazione integrale dell’espressione 2.18, il primo passo é quello di dividere l’intervallo temporale [t, t0] in N intervalli di lunghezza  = t

0

−t

N e di introdurre per ogni punto τ_n = n (n=1...,N-1), un set completo di autostati di posizione. La funzione di Green (2.18) si riscrive come :

K(q0, t0, q, t) =

Z N −1 Y

α=1

dqαhq0|e−iH|qN −1ihqN −1|e−iH|qN −2i > ... < q1|e−iH|qi (2.20)

dove dqα=Q

ndqαn. Per valutare gli elementi di matrice che compaiono, si introduce un set com-pleto di autostati dell’impulso a destra e sinistra di ogni e−iHe supponendo che l’hamiltoniana H sia della forma:

H = 1

2

X

α

P_α2+ V (q) (2.21)

si ottiene, per  abbastanza piccoli, l’espressione:

hq0|e−iH(t 0 −t)_{|qi ≈}_√1 2πi nNZ N −1 Y α0=1 dqα 0 eiS[q] (2.22) dove: S[q] =  N −1 X α=0 L(qα, ˙qα) (2.23a) L(qα, ˙qα) = 1 2 X n ˙ q_n(α)2− V (qα) (2.23b) ˙ qα_n = q α+1 n − qnα  (2.23c)

L’interpretazione della rappresentazione (2.22) é molto semplice. Il propagatore é la somma, pesata da exp (iS[q]), di tutti i cammini ottenuti connettendo con segmenti, i punti (τ_a,qa) e (τa+1,qa+1) al variare delle coordinate qa . Supponendo di poter prendere il limite  → 0 e

n → ∞ in modo da mantenere costante il prodotto, si arriva all’espressione formale:

hq0|e−iH(t 0 −t)_{|qi =}Z q 0 q DqeiS[q] (2.24)

L’integrale nella 2.24 contiene il fattore oscillante eiS[q] che rende complicato la sua valutazione numerica. Per ovviare a questo problema nella sezione (2.1.1) sará necessario fare un opportuno prolungamento analitico nell’euclideo, dove la presenza di un esponenziale smorzato al posto di uno oscillante renderá utilizzabile tecniche di sampling Montecarlo per la sua valutazione.

2.1.1 Path Integral in QFT: variabili bosoniche

In meccanica quantistica N.R. tutta l’informazione sulla teoria é contenuta nella funzione di Green K(q0, t0, q, t). Data la funzione d’onda Ψ(q, t) e conoscendo il funzionale di Green del

sistema, la sua evoluzione temporale é completamente determinata. In teoria quantistica dei campi, tutta l’informazione é contenuta invece nelle funzioni di correlazione:

G(x1, x2, ...., xn) = hΩ|T (ψ(x1)..ψ(xn)) |Ωi (2.25) dove Ω é il ground state del sistema e T indica il prodotto ordinato temporalmente. Nel T-ordinato bosonico si dispongono gli operatori da sinistra a destra in ordine di tempi descrescenti, nel caso fermionico si fa la stessa cosa includendo un fattore (−1)l dove l é il numero di scambi di operatori da fare per metterli nel corretto ordine temporale. Nella 2.25 gli operatori di campo sono in rappresentazione di Heisenberg. Utilizzando le 2.25 e le formule di riduzione LSZ [1] é possibile calcolare tutte le sezioni d’urto dei processi descritti dalla teoria. Siamo dunque interessati ad una rappresentazione Path-Integral per queste espressioni. Partiamo dal caso bosonico, in cui la formula finale sará una semplice generalizzazione di quella ricavata nella sezione precedente. Innanzitutto vale la corrispondenza:

qa(t) → φs(x) (2.26)

dove s é un indice che identifica il tipo di campo bosonico considerato (reale, complesso, spin 1, ecc..). La formula 2.24 si modifica in:

hφ_f(~x, tf)|φi(~x, ti)i = N Z φ(~x,tf)=φf(~x,tf) φ(~x,ti)=φi(~x,ti) [Dφ] ei Rtf ti dt R d3_xL (2.27) Per calcolare il valore del prodotto T ordinato sullo stato di vuoto é utile avere una rappresen-tazione per la seguente quantitá

hφ_f(~x, tf)|T {Ψ(x1)Ψ(x2)...Ψ(xn)} |φi(~x, ti)i (2.28) in cui xn = ( ~xn, τn) e sia gli operatori ψ(x) che gli stati φ(~x, t) sono in rappresentazione di Heisenberg. Per farlo, si riscrive innanzitutto la precedente come:

hφ_f(~x)|eiH(tf−τ1)_{Ψ( ~x}

1)eiH(τ1−τ2)Ψ( ~x2)...eiH(τn−1−τn)Ψ( ~xn)eiH(τn−ti)|φi(~x)i (2.29) con tf > τ1> τ2> ... > τn> ti. Inserendo a destra e sinistra di ogni Ψ un set completo di stati

φ(~x) e utilizzando il fatto che gli operatori di campo sono diagonali in questa base,si arriva,

grazie alla [2.27] all’espressione:

hφf(~x, tf)|T [Ψ(x1)Ψ(x2)...Ψ(xn)] |φi(~x, ti)i = Z φ(~x,tf)=φf(~x,tf) φ(~x,ti)=φi(~x,ti) [Dφ] φ(x1)..φ(xn)e −iRtf ti dtL (2.30)

A questo punto dobbiamo legare le formule 2.27 e 2.30 alle funzioni di correlazione. Per farlo, si parte dalla (2.30),si inserisce un set completo di autostati dell’hamiltoniana e si considera l’evoluzione temporale del sistema. Per fare in modo che nella serie domini soltanto il termine proporzionale allo stato di minima energia si aggiunge una piccola parte immaginaria al tempo reale:

t → te−i (2.31)

e si considerano i limiti ti→−∞

tf→+∞. L’operazione porta alla seguente identitá:

hΩ|T [φ(x1)φ(x2)...φ(xn] |Ωi = lim ti→−∞ tf→+∞ hφf(~x, tf)|T [φ(x1)φ(x2)...φ(xn)] |φi(~x, ti)i hφ_f(~x, tf)|φi(~x, ti)i (2.32)

da cui la rappresentazione Path-Integral delle funzioni di correlazione bosoniche:

lim ti→−∞ tf→+∞ Rφ(~x,∞e−i)=φf(~x) φ(~x,−∞e−i_)=φ i(~x)[Dφ] φ(x1)..φ(xn)exp n iR∞e−i −∞e−idt R d3_xLo Rφ(~x,∞e−i)=φf(~x) φ(~x,−∞e−i_)=φ i(~x)[Dφ] exp n iR∞e−i −∞e−idt R d3_xLo (2.33)

Notiamo esplicitamente che la costante di normalizzazione N (infinita) si elide nel rapporto, e questo rende almeno in linea di principio ben definita la quantitá nel membro destro. In realtá, come nel caso non relativistico, una valutazione esatta dell’integrale funzionale precedente é possibile soltanto per Lagrangiane quadratiche nei campi e nuovamente la presenza del fattore oscillante eiS non assicura in generale la convergenza. Nello studio di una teoria interagente, le uniche possibilitá, sono quelle di procedere con uno sviluppo perturbativo oppure di regolariz-zare lo spazio-tempo su reticolo. Nell’approccio perturbativo, Data una Lagrangiana L(φ, ∂_µφ)

si considera la sua scomposizione in parte quadratica e interagente L = L0 + Lint. La parte quadratica come al solito determina il contenuto in particelle della teoria. Le funzioni di cor-relazione 2.25 si possono ottenere, per una qualsiasi teoria, definendo il funzionale generatore

Z[J ] come: Z[J ] = Z [Dφ]exp  i Z d4x (L + J (x)φ(x))  (2.34) e utilizzando la seguente identitá facilmente verificabile:

Gn(x1, x2, ..., xn) = (−i)n Z[0] ∂nZ[J ] ∂J (x1)∂J (x2)..∂J (xn)     J =0 (2.35) Per una teoria non interagente, il funzionale generatore puó essere valutato esattamente, a meno della costante moltiplicativa N . In questo caso, infatti , l’azione si puó scrivere come

R

d4xR

d4y1₂φ(x)K(x, y)φ(y) e l’integrale Gaussiano vale:

Z[J ] ∝ √ 1 detKe 1 2 R d4_xd4_{yJ (x)K}−1_{(x,y)J (y)} (2.36) Lo sviluppo perturbativo si ottiene considerando la seguente identitá:

Z[J ] = eiSI[_∂J∂ ]_Z

dove Z₀[J ] é il funzionale generatore della teoria libera, e come nel formalismo operatoriale, é possibile utilizzare le tecniche dei diagrammi di Feynmann per la valutazione delle funzioni di correlazione. Una considerazione a parte va fatta per le teorie di Gauge. L’esistenza di questa simmetria infatti rende impossibile calcolare il propagatore. Il motivo risiede nel fatto che come abbiamo visto nella formula 2.36, il propagatore si ottiene invertendo l’operatore quadratico K(x,y) . L’esistenza di modi zero normalizzabili rende la matrice non invertibile e il propagatore non definito. Questo costituisce un problema nella misura in cui siamo intenzionati a fare calcoli perturbativi. Questo non é la strada che seguiró pertanto daró solo un breve riepilogo della procedura di Gauge-Fixing. Partiamo dalla funzione di partizione in teoria di pura Gauge:

Z =

Z

[dA]eiSG _(2.38)

dove [dA] é la misura invariante di Haar di SU(3). Per garantire l’invarianza di Gauge del Path-Integral deve essere invariante di Gauge anche la misura. Questo vuol dire che data una trasformazione di Gauge indotta da G(x), deve essere [d(GAG†)] = [dA] e questo é vero a patto che ∀ U ∈ SU(3) d(U V ) = d(V U ) = d(V ). Questa proprietá é soddisfatta dalla misura precedente. Un’osservazione importante nella costruzione della procedura di Gauge-Fixing, sta nell’osservare che nell’integrale precedente i cammini su cui si integra risultano ridondanti, in particolare vogliamo escludere l’integrazione sui ,non fisici, gradi di libertá di Gauge. Per farlo si introduce una condizione (che fissa la Gauge) del tipo Fa[A] = Ca(x) dove Ca(x) sono funzioni arbitrarie. Stabilendo la forma funzionale di F possiamo imporre i vari tipi di Gauge (Coulomb, Lorenz, temporale, assiale,..). Si definisce allora:

4−1_F [A] =

Z

[dU ]δFa[AU] − Ca(x) (2.39) dove [dU ] é la misura invariante di Haar e l’integrazione é sull’orbita di Gauge. Utilizzando questa misura 4_F[A] é esplitamente invariante di Gauge. Si inserisce, allora , nel P-I 2.38 l’identitá scritta come 1 = 4_F[A]R

[dU ]δFa_[AU_{] − C}a_(x)_{. Si ha:} Z = Z [dA]4_F[A] Z [dU ]δFa[AU] − Ca(x)eiSG _(2.40)

Con una trasformazione di Gauge con matrice U† si ottiene:

Z =

Z

[dU ]

Z

[dA]4F[A]δ (Fa[A] − Ca(x)) eiSG (2.41) In questo modo si riesce a fattorizzare il volume (infinito) dell’orbita di Gauge, che puó ora essere eliminato senza alterare il valor medio delle osservabili Gauge-invarianti. La funzione delta puó essere eliminata moltiplicando la funzione di partizione Z per una costante scritta come R [dC]e−2αi R d4_xC2 a(x) _ottenendo: Z = Z [dA]4_F[A]ei[SG−_2α1 Rd4xFa2] _(2.42)

Il termine 4_F[A] é un determinante: 4_F[A(x)] = det     ∂F ∂A     F =0 = det Mab(x) (2.43)

L’idea di Faddev e Popov é di utilizzare una regola di integrazione sulle variabili di Grassman (che vedremo nella prossima sezione) per scrivere det M = R

[d¯cdc]eiSghost_{, dove c}

a e ¯ca sono nuovi campi, scalari e anticommutanti detti ghost-field e Sghost =R d4x¯ca(x)Mab(x)cb(x). La funzione di partizione a cui si arriva é:

Z = Z [dA][D¯cDc]ei[SG−_2α1 R d4_xF2 a+Sghost] _(2.44)

Con questa nuova azione efficace, avendo rotto la simmetria di Gauge (senza modificare il valor medio delle osservabili fisiche) é possibile definire il propagatore gluonico e sviluppare la teoria perturbativa.

2.1.2 Path Integral in QFT: variabili fermioniche

Introduciamo ora il formalismo delle variabili di Grassman e le regole di integrazione di Berezin per arrivare alla scrittura delle funzioni di correlazione fermioniche in termini di Path-Integral. Innanzitutto notiamo che il prodotto T-ordinato fermionico contiene il fattore (−1)l dove l in-dica il numero di scambi da fare per ordinare temporalmente gli operatori. Questo ci dice che se una scrittura del tipo [2.33] é possibile anche per campi fermionici, le variabili d’integrazione

φ(x), commutanti nel caso bosonico, devono ora essere sostituite da variabili anti-commutanti.

Introduciamo, 2N variabili di Grassman:

ηi i=1,....,n ¯

ηi i=1,....,n caratterizzate dalle seguenti regole di commutazione:

{η_i, ηj} = ηiηj + ηjηi = 0 { ¯ηi, ¯ηj} = η¯iηj + ¯¯ ηjη¯i = 0

{ ¯ηi, ηj} = η¯iηj + ηjη¯i = 0 (2.45) Ogni funzione delle variabili di Grassman η si puó sviluppare in serie di potenze contenente un numero finito di termini:

g(η) = g0+ X i giηi+ X i6=j gijηiηj+ .... + g12...Nη1η2....ηN (2.46)

In particolare per una funzione Gaussiana nelle variabili ¯ηi, ηj vale il seguente sviluppo:

e− ¯ηiMijηj _{= (1 − ¯η}

Con l’obiettivo di arrivare a una scrittura per le funzioni di correlazione simile alla 2.35, intro-duciamo delle regole d’integrazione e derivazione. Innanzitutto, vogliamo dare un significato ad una scrittura del tipo:

Z N Y i=1 dηif (η) (2.48a) ∂f (η) ∂ηi (2.48b) Per farlo definiamo le seguenti regole di integrazione:

Z

dηi = 0 (2.49a)

Z

dηiηi= 1 (2.49b)

La derivata destra e sinistra di una funzione f (η) é introdotta nel seguente modo. Si svilluppa f in serie di potenze come in 2.46, si sposta a destra(sinistra) la variabile su cui si deriva utilizzando le regole di anticommutazione e infine si utilizza:

∂→ ∂ηi ηi = 1 (2.50a) ηi ∂← ∂ηi = 1 (2.50b)

Dal momento che in seguito tornerá utile, calcoliamo l’integrale della funzione Gaussiana 2.47:

I[M ] =

Z N Y

i=1

d ¯ηidηie− ¯ηiMijηj (2.51) Dopo aver sviluppato l’esponenziale, l’unico termine che contribuisce é quello in cui compaiono tutte le 2N variabili a causa della 2.49a, ovvero:

X

i1i2..iN

M1i1M2i2..MN iNηi1η¯1ηi2η¯2....ηiNη¯N (2.52)

dove la somma é estesa a tutti i termini con indici i₁...iN differenti. A causa delle regole di anticommutazione 2.45, questo si puó riscrivere come:

η1η¯1η2η¯2....ηNη¯N   X i1i2..iN i1i2..iNM1i1M2i2..MN iN   (2.53)

dove i1i2...iN é il tensore completamente antisimmetrico ad N indici. Ricordando la definizione

di determinante e utilizzando le regole 2.49a si arriva al risultato:

I[M ] = detM (2.54)

L’analogo del funzionale generatore Z[J] del caso bosonico, si ottiene aggiungendo all’azione un termine lineare nei campi ηi, ¯ηj.

Z[ρ, ¯ρ] =

Z

[d¯ηdη] expn− ¯ηiMijηj+ ¯ηiρi+ ¯ρiηi

o

dove le sorgenti (ρ_i, ¯ρj) sono elementi dell’algebra di Grassman. Definiamo a questo punto le funzioni di correlazione come:

G(η_i1, ..., ηin; ¯η_i0 1, ..., ¯ηi 0 n) =   ∂ ∂ ¯ρi1 ... ∂ ∂ ¯ρin Z[ρ, ¯ρ] ∂ ∂ρ_i0 1 ... ∂ ∂ρ_ii n   ρ= ¯ρ=0 (2.56)

introducendo ora l’azione fermionica libera:

SF =

Z

d4x ¯ψ(x) (iγµ∂µ− M ) ψ(x) (2.57a) É facile vedere che le funzioni di correlazione definite nella 2.56 coincidono con quelle ottenute in seconda quantizzazione. Chiaramente l’integrale su variabili di Grassman non si puó in alcun modo valutare numericamente. Questo non costituisce un problema dal momento che anche nel caso di accoppiamento ai campi gluonici, l’azione fermionica é bilineare nei campi Ψ(x),Ψ(x)¯ L’integrale Gaussiano si sa fare, per cui le funzioni di correlazione in QCD,come vedremo, saranno sempre scrivibili come Path-Integral su c-numeri a patto di definire un’azione efficace.

2.1.3 formulazione euclidea di una QFT

Come giá accennato la rappresentazione Path-Integral delle funzioni di correlazione nello spazio di Minkowski non si presta a valutazione numerica a causa del fattore oscillante che impedisce la sua interpretazione come densitá di probabilitá nello spazio delle configurazioni. Il problema é risolto nell’ambito della formulazione euclidea delle teorie di campo. Il punto fondamentale su cui si poggia la formulazione é la possibilitá di eseguire il prolungamento analitico t → −iτ o in rappresentazione degli impulsi k₀ → ik₀. Consideriamo ad esempio la funzione di correlazione a due punti per una teoria scalare, di massa m, in assenza di interazioni:

G2(k) =

i

p2_{− m}2_{+ i} (2.58)

La prescrizione +i ci dice come spostare i poli nel piano complesso per ottenere il propagatore causale e compatibile con la positivitá dell’energia. Il prolungamento analitico é possibile,grazie a questa prescrizione, dal momento che é possibile deformare l’asse reale nell’asse immaginario con una rotazione in senso antiorario nello spazio degli impulsi, senza incontrare punti di non-analiticitá (rotazione di Wick). Dal momento che ogni funzione di correlazione, grazie al teorema di Wick, é scrivibile come somma di prodotti di propagatori, anche per queste é possibile il suddetto prolungamento. Quello a cui vogliamo arrivare dunque é una rappresentazione di tipo Path-Integral per le funzioni di correlazione prolungate nell’euclideo. Partendo da questa rappresentazione é possibile, come vedremo, una regolarizzazione non perturbativa. Le quantitá che vogliamo rappresentare con un P-I sono dunque:

hΩ|T [φ_a1(~x, τ1)φa2(~x, τ2)...φan(~x, τn)] |Ωi (2.59) dove: φai(~x, τi) = e Hτi_φ ai(~x)e −Hτi _(2.60)

Il propagatore 2.58, prolungato nell’euclideo assume la forma:

GE₂(k) = 1

kµkµ+ m2

(2.61) dove ora gli indici µ sono indici euclidei ( kµkµ= k20+ ~k2). Dal momento che il tensore metrico euclideo é l’identitá non distinguiamo piú indici covarianti da quelli controvarianti. Utilizzando la nota formula sul valore dell’integrale gaussiano, si vede facilmente che definendo:

GE₂(x₁, x2) = Z [Dφ] φ(x₁)φ(x₂)e−SE _(2.62a) SE[φ] = 1 2 Z d4xφ(x)−∂µ∂µ+ M2  φ(x) (2.62b)

Si ottiene il corretto propagatore euclideo e si puó definire analogamente al caso Minkowskiano un funzionale generatore che riproduce tutte le funzioni di correlazione prolungate a tempi immaginari. Nel caso di teoria scalare interagente invece, consideriamo un’azione del tipo:

S_M = Z d4x1 2∂µφ(x)∂ µ_{φ(x) −} m2 2 φ 2_{(x) + V (φ(x)) (2.63)} In seconda quantizzazione le funzioni di correlazione per la teoria completa si ottengono da:

hΩ|T [φ(x₁)...φ(x_n)] |Ωi = h0|Thφint(x1)...φint(xn)ei R d4xV (φint(x))i_|0i h0|T (eiRd4xV (φint(x))_)|0i (2.64) dove |0i é il vuoto della teoria libera e φ_int(x) sono gli operatori in rappresentazione d’inte-razione. La continuazione analitica si ottiene come prima sostituendo gli operatori φ(~x, t) = eiHtφ(~x)e−iHt con φ_E(~x, τ ) = eHτφ(~x)e−Hτ. La formula per le funzioni di correlazione euclidee si puó scrivere,in questo caso, come:

hΩ|T [φ(~x, τ1)...φ(~x, τn)] |Ωi = h0|Thφint(~x, τ1)...φint(~x, τn)e− R dτRd3_xV E(φint(~x,τ ))i_|0i h0|The− R dτRd3_{xV (φ} int(x))i_|0i (2.65) dove VE(φ) = −V (φ), ed utilizzando quanto ottenuto nel caso non-interagente si ha:

GE(x1, x2, ...., xn) =

R

[dφ] φ(x₁)φ(x₂)...φ(x_n)e−SE

R

[dφ] e−SE (2.66)

e per la teoria interagente le formule sono analoghe a quelle precedente. Notiamo esplicitamente che il potenziale dell’azione di Minkowski appare ora con segno diverso. Il prolungamento euclideo per la parte fermionica e per la parte di pura Gauge di 2.13 conduce alle seguenti espressioni: S_F(eucl) = Z d4x ¯Ψ(x)γ_µE∂µ+ M  Ψ(x) S_G(eucl) = 1 4 Z d4xF_µνE(x)F_µνE(x) (2.67) dove γ_µE sono le matrici gamma euclidee e soddisfano {γ_µE, γ_νE} = 2δ_µν e il tensore di field-strength euclideo é dato da:

Fµν = ∂µAν− ∂νAµ (2.68)

2.1.4 Temperatura finita

Dal momento che siamo interessati a studiare le proprietá termodinamiche del sistema descritto dalle 2.67, vogliamo ricavare un’espressione per i valor medi termici e a densitá non nulla, scrivibile come integrale sui cammini. In questa sezione verrá trattato il caso T6=0 e nella seguente sará analizzata l’introduzione di un potenziale chimico. Consideriamo un sistema quanto-meccanico in equilibrio termico con un reservoir di calore alla temperatura T. La funzione di partizione del sistema é data da:

Z(T, V ) = Tre−βH (2.69) dove β é l’inverso della temperatura (KB= 1) e i valor medi di un’osservabile O sono dati da:

hOi = 1

ZTr



Oe−βH (2.70)

Calcolando la traccia nella base di autostati delle coordinate |qi si ha:

Z(T , V) = hq|e−βH|qi (2.71)

e la rappresentazione P-I per la funzione di partizione é data da: Z =

Z

[Dq] e−

Rβ

0 L(q) (2.72)

con condizione al bordo periodiche q_a(β) = q_a(0). L’introduzione di una temperatura diversa da 0 si traduce quindi in una compattificazione della dimensione temporale. La generalizzazione della 2.72 a campi bosonici in QFT é immediata. Si ha:

Z(T , V) =

Z

[Dφ] e−SEβ _(2.73)

con φ(x, 0) = φ(x, β) e l’indice β nell’azione indica che l’integrale nella direzione temporale é nell’intervallo [0, β]. Se l’azione precedente é reale ed inferiormente limitata,affermazione non sempre vera come vedremo(almeno la prima),a patto di introdurre una costante additiva che puó essere incorporata in una ridefinizione della costante di normalizzazione N della funzione di partizione, si ha :

S_Eβ ≥ 0 (2.74)

e i valori di aspettazione termici di un’osservabile O (hOi_T) possono essere interpretati e calcola-ti, come valor medio di un’osservabile classica sull’ensemble delle configurazioni dei campi φ(x) con densitá di probabilitá data da e−SβE con le precedenti condizioni al bordo. Questo

permet-te,come sará spiegato diffusamente piú avanti, l’utilizzo di metodi di importance sampling per la sua valutazione numerica. Nel caso di campi fermionici, la formula precedente é ancora valida, a patto che i campi soddisfino condizioni al bordo antiperiodiche. Una dimostrazione dettaglia-ta di quesdettaglia-ta affermazione é fornidettaglia-ta in [2], ora mi limiteró a fornirne una spiegazione non rigorosa.

Consideriamo la funzione di correlazione termica a 2 punti: Ga,b(x, y; T ) = hψa(~x, t) ¯ψb(~y, 0)iT ≡ 1 ZTr h e−βHTΨa(~x, t) ¯Ψb(~y, 0) i (2.75) dove β = 1/T . Supponiamo 1 < t < β per cui possiamo omettere l’ordine temporale.

Dal momento che l’hamiltoniana é il generatore delle traslazioni temporali si ha: ¯

Ψ_b(~y, 0)e−βH = e−βHΨ¯_b(~y, β) (2.76) da cui , utilizzando la ciclicitá della traccia si ha:

Ga,b(x, y; T ) = 1 ZTr h e−βHΨ_b(~y, β) ¯Ψ_b(~x, t)i1<t<β= −1 ZTr h e−βHTΨ_a(~x, t) ¯Ψ_b(~y, β)i (2.77) e pertanto: hψ_a(~x, t) ¯ψb(~y, 0)iT = −hψa(~x, t) ¯ψb(~y, β)iT (2.78) Questo giustifica come in una rappresentazione P-I , i campi fermionici debbano soddisfare con-dizioni al bordo antiperiodiche.

La funzione di partizione per la Q.C.D. é data in definitiva da: Z(T, V ) = N

Z

[dU ] d ¯ΨdΨexpn−S_QCD,Eβ o (2.79) Un commento a riguardo. Volendo calcolare perturbativamente l’integrale precedente, conti-nuiamo ad avere i soliti problemi di definizione del propagatore gluonico. In questo caso bisogna introdurre nell’azione il termine di Faddev-Popov come visto in 2.44. Nella teoria discretizzata su reticolo , come vedremo , non sará necessario.

2.1.5 Densitá finita

Affrontiamo ora il problema dell’introduzione di un potenziale chimico. In M.Q. non relativistica il numero di particelle (massive), in un sistema chiuso, é sempre conservato. E’ il principio di conservazione della massa. In una teoria relativistica come é noto, questa legge é sostituita dalla legge di conservazione dell’energia che permette la creazione e la distruzione di particelle nelle interazioni. Le Lagrangiane dei campi di materia (sia scalari che spinoriali) sono invarianti sotto trasformazioni del gruppo U(1). La corrente di Noether associata a questa simmetria é ad esempio data nel caso di campo spinoriale da:

Jµ(x) = ¯Ψ(x)γµΨ(x) (2.80)

e la carica conservata corrispondente: Q =

Z

Sviluppando i campi fermionici in operatori di creazione e distruzione é facile vedere che que-sta corrisponde alla differenza tra numero di particelle e numero di antiparticelle e costituisce l’analogo classico della legge di conservazione della massa. Come sappiamo infatti in QFT é sempre possibile la creazione di coppie. Classicamente l’introduzione di un potenziale chimico é eseguita aggiungendo all’azione un termine del tipo µN_T dove N é il numero di particelle del sistema. Nel caso di una teoria di campo, per studiare sistemi in cui Q 6= 0 , introduciamo il potenziale chimico accoppiandolo alla carica di Noether associata alla simmetria precedente. Nella Lagrangiana fermionica aggiungiamo dunque il termine:

µ TJ 0 ₌ µ TΨ † (x)Ψ(x) (2.82)

Introducendo i campi di Gauge, la funzione di Gran Partizione per la Cromodinamica Quanti-stica,in definitiva,é data da:

Z(T, V, µ) =

Z

[dU ] d ¯ΨdΨexpn−S_QCDβ (µ)o (2.83) dove S_QCDβ (µ) é ottenuta aggiungendo alla Lagrangiana di QCD Euclidea il termine 2.82.

2.2

Formulazione su reticolo di una teoria di gauge

Gli integrali funzionali che abbiamo ottenuto, come abbiamo giá detto, possono essere valutati in due modi, attraverso uno sviluppo perturbativo oppure attraverso la discretizzazione su reticolo. La scelta dell’uno o dell’altro approccio dipende in generale dal problema che vogliamo studiare e in particolare dalla scala di energia del processo. Il calcolo a 1 loop della β function fornisce in maniera naturale una scala di energia, il cui valore sperimentale é di ΛQCD ≈ 200M ev, e la costante di accoppiamento varia con la scala µ in accordo con la formula 2.16 per valori di

g non troppo grandi. Volendo studiare le proprietá termiche del sistema descritto dalla 2.13

é lecito chiedersi per quali range di temperature l’approccio perturbativo é giustificato. Per farlo bisogna capire come la costante di accoppiamento g rinormalizza a T6=0. La tecnica dei diagrammi di Feynmann per T=0 puó essere utilizzata, con le dovute differenze [3] ,anche per una QFT accoppiata ad un bagno termico. Il calcolo ad 1 loop della costante di accoppiamento running "termica" per valori dell’impulso k ≈ T ha un andamento del tipo [4]:

as(k2 ≈ T2, T2) → as(T2) ≈ 12π (11Nc− 2Nf) ln T 2 Λ2 QCD (2.84)

Per temperature dell’ordine di di 102M ev, la costante d’accoppiamento varia troppo lentamente

con la temperatura per rendere valido un approccio perturbativo. Quello che si fa in questo caso é una discretizzazione delle coordinate spazio-temporali introducendo un reticolo con spaziatura finita. Introduciamo dunque una lunghezza caratteristica "a" (lattice spacing). il reticolo sará

il luogo dei punti dello spazio euclideo con coordinate x_µ= an_µ dove n ≡ (n₀, n1, n2, n3) é una quaterna di numeri interi. I campi prendono valore soltanto sui siti del reticolo:

Ψ(x) → Ψ(na) (2.85)

e l’integrazione nello spazio é sostituita da:

Z

d4x → a4X

n

(2.86) La presenza di un lattice spacing finito, introduce un cut-off negli impulsi dell’ordine di 1_a(é un regolarizzatore) ed elimina le divergenze ultraviolette nell’integrale di Feynman. Un primo problema é capire che fine fanno le simmetrie dell’azione nel continuo. La discretizzazione dello spazio-tempo rompe necessariamente l’invarianza O(4) dell’azione euclidea e bisogna capire in generale quali simmetrie possono essere ancora conservate nel processo di discretizzazione e quali inevitabilmente verranno perse. Come vedremo nelle sezioni successive, sará possibile utilizzare un’ azione su reticolo in grado di preservare l’invarianza di Gauge della teoria, mentre la discretizzazione dei campi fermionici vieterá , per ragioni di principio, l’invarianza sotto il gruppo chirale anche nel limite di quark massless. Affronteremo poi il problema della scelta dell’azione. In generale l’unica proprietá da soddisfare é che nel limite in cui il lattice spacing viene rimosso, le osservabili calcolate su reticolo tendano al corretto valore fisico. Questo ci permetterá di considerare vari tipi di azione e di scegliere quelle con proprietá di convergenza al continuo migliori.

2.2.1 Campi scalari su reticolo

Cominciamo col discretizzare l’azione euclidea di un campo scalare reale. Scegliendo ~ = c = 1 le masse hanno le dimensioni di una energia e le lunghezze le dimensioni dell’inverso di una energia. I campi bosonici hanno dimensione in massa 1 e i campi spinoriali dimensione 3₂. Introduciamo quindi le seguenti quantitá adimensionate ˆm = am e ˆφ(a~n) = aφ(a~n). Per

discre-tizzare l’equazione di Klein Gordon euclidea , dobbiamo discrediscre-tizzare la derivata su reticolo. I modi piú immediati di scrivere una quantitá che nel limite a → 0 tenda a ∂mu sono i seguenti:

• derivata simmetrica: ˆ∂S

µφ(na) =ˆ

ˆ

φ(na+ˆµa)− ˆφ(na−ˆµa)

2 • derivata forward: ˆ∂_µFφ(na) =ˆ φ(na+ˆˆ µa)− ˆ₂ φ(na)

• derivata backward: ˆ∂_µBφ(na) =ˆ φ(na)− ˆˆ φ(na−ˆ₂ µa)

dove ˆµ indica il versore lungo µ. La derivata seconda puó essere discretizzata immediatamente

con un operatore hermitiano:

Eφ(x) → 1 a4ˆEφ(na)ˆ (2.87a) ˆ Eφ(na) =ˆ X µ h ˆ

Indichiamo per comoditá di scrittura: ˆφn ≡ φ(na) e analogo per ¯ˆ ψ(na). L’integrazione nel continuo é sostituita su reticolo dalla 2.86, pertanto in termini delle quantitá adimensionali appena definite, l’azione discretizzata di un campo scalare é data da:

S(latt)= 1 2  ˆ m2_{+ 8} X n ˆ φnφˆn− 1 2 X n,ˆµ φnφn+µ (2.88)

Notiamo che il lattice spacing non compare nell’azione scritta in termini di campi e masse adimensionate. Questo sará sempre vero dal momento che l’azione non ha dimensioni. Possiamo chiederci se il sistema descritto dalla 2.88, nel limite in cui il lattice spacing viene rimosso, descrive effettivamente un campo scalare. Questo sará vero se per ogni osservabile calcolata su reticolo, il suo valore limite per a → 0 coincide con quello continuo. Come giá detto, tutta la dinamica di una teoria di campo é contenuta nelle funzioni di correlazioni, per cui é necessario verificare che le funzioni di correlazione su reticolo, tendono al corretto valore continuo. Come esercizio, facciamo il calcolo per la funzione di correlazione a due punti e verifichiamo esplicitamente che tende alla 2.67. Su reticolo, la funzione di correlazione a due punti é definita come:

h ˆφnφˆmi = Z Y n d ˆφnφˆnφˆme−S L E[ ˆφ] (2.89)

l’integrazione é soltanto sui punti reticolari e questo elimina, il problema delle divergenze ultra-violette. Riscrivendo l’azione su reticolo come forma quadratica in ( ¯φn, φn), si ha:

S(latt)_{[ ¯ψ] =} 1

2φˆnMnmφˆm con Mnm ≡ ( ˆm2+ 8)δn,m−

P

µ(δn,mµ) + δˆ n,m+ˆµ Utilizzando il funzionale generatore é facile vedere che:

h ˆφnφˆmi = Mnm−1 (2.90)

L’inversa della matrice M si calcola facilmente in trasformata di Fourier discreta:

Mnm = Z π −π d4kˆ (2π)4M (k)e iˆk(n−m) _(2.91a) M (k) = 4X µ sin2 ˆ kµ 2 + ˆm (2.91b)

dove ˆk = ak. Invertendo si arriva a: M_nm−1 = Z π −π d4ˆk (2π)4 eiˆk(n−m) 4P µsin2 ˆ kµ 2 + ˆm2 (2.92)

Per studiare il limite continuo reintroduciamo le dimensioni. h ˆφnφˆmi ha dimensioni in massa 2 e il propagatore fisico si ottiene dal seguente limite:

G2(x, y) = lim a→0 Z π a −π a d4k (2π)4 eik(x−y) P µ  2 asin( kµa 2 ) 2 + ˆm2 (2.93)

Il termine nell’integrale contenente sinkµa

2 avendo davanti un fattore 1

a2 é soppresso in tutti i

punti in cui il seno non si annulla. Nella zona di Brilloun [−π_a,π_a], questo succede soltanto in

kµ = 0. In questa regione possiamo sviluppare il seno al prim’ordine, e prendendo il limite

a → 0 otteniamo: G2(x, y) =R−∞∞ d 4_k (2π)4e ik(x−y) k2_+m2

che coincide con il propagatore 2.61.

2.2.2 Fermioni su reticolo

Discretizziamo ora i campi fermionici procedendo come nel caso scalare. I campi spinoriali hanno dimensioni in massa3₂ per cui la combinazione adimensionale é data da: ˆψn,α= a

3

2ψ_α(na)

(analogo per ψ¯ˆn), dove gli indici greci sono indici di Dirac. Discretizziamo la derivata prima usando la derivata simmetrica:

∂µψα(x) → 1 a52 ˆ ∂µψˆn,α (2.94a) ˆ ∂µψˆn,α = ˆ ψn+ˆµ,α− ˆψn−ˆµ,α 2 (2.94b)

L’azione euclidea discretizzata nel caso spinoriale é data da:

S_F,E(latt)=X n,m ¯ ˆ ψn,αKnm,αβψˆm,β (2.95a) Knm,αβ = 1 2 X µ (γ_µ)_αβ[δ_m,n+µ− δ_m,n−µ] + ˆmδnmδαβ (2.95b) le matrici γµ sono le matrici gamma euclidee. Ripetiamo come nel caso scalare, il calcolo della funzione di correlazione a due punti e vediamo se nel limite continuo tende al propagatore fisico. Come prima, la misura d’integrazione é discretizzata come:

D ¯ψDψ → 1 a3 Y n,α dψ¯ˆn,α Y m,β ¯ ˆ ψm,β ≡ 1 a3D ¯ ˆ ψD ˆψ (2.96)

e la funzione a due punti su reticolo é data da: h ˆψn,αψ¯ˆm,βi = DψD ˆ¯ˆ ψ ˆψn,αψ¯ˆm,βe−S (latt) F,E [ ˆψ, ¯ ˆ ψ] DψD ˆ¯ˆ ψe−S (latt) F,E [ ˆψ, ¯ ˆ ψ] (2.97)

Il calcolo della funzione precedente puó essere eseguito utilizzando le solite regole di derivazione del funzionale generatore. Si ha che:

h ˆψn,αψ¯ˆm,βi = Knm,αβ−1 (2.98) L’inversione si fa come prima passando in trasformata di Fourier. Il risultato é:

K_nm,αβ−1 = Z π −π d4pˆ (2π)4 −i(γµ)αβpˆµ+ ˆM δα,β P µsin2pˆµ+ ˆM2 ei ˆp(n−m) (2.99)

Il limite continuo si ottiene reintroducendo variabili dimensionate e considerando a → 0. La funzione di correlazione spinoriale ha dimensione in massa 3, pertanto il propagatore fisico é dato dal seguente limite:

Gαβ(x, y) = lim a→0 Z π_a −π a d4_p (2π)4 −i(γ_µ)_αβpµ+ M δα,β 1 a2 P µsin2(pµa) + M2 eip(x−y) (2.100)

per a → 0 il termine proporzionale a sin(pµa) va a zero in tutti in punti in cui il seno é diverso da 0. A differenza del caso scalare, questo avviene non solo al centro, ma anche ai bordi della zona di Brillouin (pµ = ±π_a). Il propagatore cosi ottenuto, prolungando di nuovo nello spazio di Minkowski ha 16 poli aggiuntivi, che corrispondono a nuovi stati di singola particella non descritti dall’azione nel continuo e con diverse proprietá chirali. Il problema noto come Doubling-Problem é strettamente legato all’anomalia assiale e nelle sezioni successive verranno analizzate le cause e i metodi suggeriti in letteratura per superare parzialmente il problema.

2.2.3 Doubling Problem

Il problema del raddoppiamento del numero di fermioni descritti dall’azione 2.95a (ci sono 2d fermioni aggiuntivi se d é la dimensione dello spazio euclideo) nel limite continuo é legato al fatto che nel discretizzare l’azione é sparita l’anomalia assiale U(1) della teoria continua. Una simmetria é detta anomala quando pur essendo una simmetria della Lagrangiana non produce una corrente conservata. L’anomalia assiale é legata al ben noto teorema di Adler-Beckiw, che vieta la possibilitá di conservare contemporaneamente nel processo di rinormalizzazione la simmetria di Gauge e la simmetria assiale. In particolare l’anomalia assiale é originata dal fatto che nel Path-Integral la misura d’integrazione nelle variabili di Grassman D ¯ψDψ non é

invariante sotto trasformazioni del gruppo U (1)A che agisce sugli spinori di Dirac nel seguente modo:    ψ 7−→ eiγ5_ψ ¯ ψ 7−→ ¯ψe−iγ5 (2.101) Questo é vero soltanto in una formulazione continua con un numero di gradi di libertá non numerabile, pertanto discretizzando l’azione su reticolo l’anomalia é sparita. Il compito dei 16 fermioni aggiuntivi é quello di eliminare l’anomalia nel limite continuo. Nielsen e Ninomiya [5] hanno formulato nel 1981 un teorema che identifica una serie di proprietá che non possono essere soddisfatte contemporaneamente dall’azione fermionica su reticolo:

• L’azione su reticolo conserva la simmetria sotto il gruppo chirale nel limite di quark massless

• L’azione é locale, nel senso che accoppia soltanto un numero finito di siti vicini. • nel limite continuo l’azione non é affetta dal raddoppiamento