La transizione di Roberge-Weiss

Consideriamo quindi la presenza di un potenziale chimico immaginario accoppiato ad ogni specie di quark. Introduciamo quindi 3 potenziali chimici iµu, iµd, iµs da accoppiare rispettivamente ai quark u,d,s. Indagare le simmetrie e le eventuali transizioni di fase, anche se non fisiche, che avvengono nel piano complesso sará fondamentale da una parte per capire la struttura delle osservabili calcolate a potenziale chimico immaginario dall’altra per individuare il dominio di analiticitá e quindi il range di potenziali chimici utilizzabili nelle simulazioni per cui é possibile un prolungamento analitico. Per fare questo é innanzitutto utile capire come l’esistenza di un potenziale chimico immaginario modifica la dinamica delle interazioni. Consideriamo lo sviluppo per grandi masse ottenuto nella sezione precedente. La matrice fermionica poteva essere sviluppata in serie di (_mˆ1

f) e il primo contributo non banale alla traccia era dato dal

prodotto dei link temporali ˆU_(i,~n),0 lungo un percorso chiuso lungo l’asse temporale (ricordiamo che a causa delle condizioni al bordo periodiche sui campi bosonici ˆU(0,~n),ˆµ= ˆU(β,~n),ˆµ.

Se é presente un potenziale chimico non banale, ogni link temporale in avanti, nella matrice fermionica, é moltiplicato per un fattore di fase eiµ(latt),f _{e l’accoppiamento alle masse del loop}

di Polyakov é modificato in: − ˆm−Nt f Tr[ReL] → − ˆm −Nt f TrRe h e(iµ(latt),fNt)_Li_{= − ˆm}−Nt f TrRe  eiµfT L  (3.19) Gli stati favoriti energeticamente sono quelli per cui L é diretto come exp −iµf

T

e l’effetto di un potenziale chimico immaginario é quello di ruotare il campo magnetico effettivo accoppiato al loop di Polyakov di un angolo −µf

T ≡ −θf. E’ interessante capire cosa succede, quando i potenziali chimici θ_f = θ (uguali tra loro), sono tali per cui il campo magnetico effettivo punta esattamente tra due dei 3 stati di vuoto del loop di Polyakov come mostrato ad esempio in figura (3.5). Questo accade per valori di θ_f dati da:

θRW = (2n + 1)π/3 con n ∈ N (3.20)

che definiscono delle linee verticali nel piano (T,θ) dette linee di Roberge-Weiss e mostrate in figura (3.6). In questo caso i 2 stati del loop di Polyakov sono degeneri ed energeticamente favoriti rispetto al terzo (é antiparallelo al campo magnetico effettivo) ed esiste una simmetria esatta Z(2) (riflessione rispetto all’asse del campo magnetico effettivo) indipendentemente dal valore delle masse dei quark. Questa simmetria é realizzata alla Wigner-Weyl per temperature abbastanza basse ed é rotta per temperature maggiori di una temperatura T_cRW. La transizione di fase corrispondente prende il nome di transizione di Roberge-Weiss.

Concentriamoci ad esempio sulla linea di Roberge-Weiss θ = π. Il campo magnetico effettivo é antiparallelo all’asse reale e un buon parametro d’ordine per la transizione é la parte immaginaria

Figura 3.5: In nero sono mostrati i tre stati di vuoto del loop di Polyakov, orientati come le

radici terze dell’unita. In rosso, uno dei valori del campo magnetico indotto dal potenziale chimico immaginario, per i quali é presente una degenerazione residua tra gli stati.

del loop di Polyakov hIm[L]i. La riflessione lungo l’asse reale é equivalente ad effettuare il complesso coniugato delle variabili di link. La simmetria in θ = π é dunque la coniugazione di

carica. Se consideriamo invece, un potenziale chimico poco diverso, θ = π + δθ , la simmetria

Z(2) é rotta esplicitamente da un termine del tipo:

−(θ − π)Im[L] (3.21)

come si puó vedere facilmente sviluppando la (3.19) intorno a θ = π. Il sistema é dunque equivalente a un modello di Ising 3D in campo esterno dato da h = (θ − π). Attraversando una linea di Roberge-Weiss a T fissata variando il potenziale chimico, ci sono allora due possibilitá a seconda della temperatura T:

I T < T_cRW: il Loop di Polyakov cambia settore in maniera regolare

II T > T_cRW: si ha una transizione di fase del prim’ordine e il Loop di Polyakov é discontinuo nel passare da un settore all’altro

Figura 3.6: Schematizzazione del diagramma di fase nel piano T − θ. Le linee in grassetto

(R.W. lines) corrispondono a transizioni di fase del prim’ordine. L’ordine della transizione di fase lungo le linee tratteggiate dipende invece dalla massa dei quark e dal numero di flavour utilizzati. Nella figura é mostrato lo scenario in cui l’end-point di R.W. rappresenta un punto critico in cui culmina il prolungamento analitico della linea pseudocritica esistente a µ_B reale.

Sembra invece essere accertato che l’ordine della transizione, muovendosi lungo una linea di RW(Roberge-Weiss), in cui il potenziale chimico assume uno dei valori mostrati in (3.20), di- penda dal valore delle masse dei quark oltre che dal numero di flavour utilizzati. E’ di particolare interesse, l’ordine di questa transizione nel caso N_f = 2. In [23] é mostrato che per masse suffi- cientemente piccole o sufficientemente grandi, la transizione sembrerebbe essere del prim’ordine, mentre nella regione intermedia la transizione é continua. Il valore fisico delle masse dei quark rientra nel range in cui la transizione di fase é del prim’ordine. L’end-point critico (T_cRW, θRW) rappresenta, in questo caso un punto triplo (come nel diagramma di fase solido-liquido-vapore) da cui partono 3 linee di transizione di fase del prim’ordine. La linea di transizione di fase che si estende verso potenziali chimici immaginari sempre piú piccoli, puó intersecare l’asse θ = 0 oppure terminare in un end-point critico per qualche valore finito del potenziale chimico imma- ginario. Ci si aspetta che la transizione di fase in θ = 0 sia, piú probabilmente, un crossover se la linea di transizioni di fase che parte dall’end-point di Roberge-Weiss termina in un punto (T∗, µ∗) con (µ∗)2 < 0 come mostrato in figura (3.7). Un’analisi di cosa succede nel piano

immaginario puó in questo modo essere utile per stabilire nel caso N_f = 2, di grande rilevanza fisica, l’ordine della transizione.

Recentemente [24] é stato studiato invece l’ordine dell’end-point di Roberge-Weiss con Nf = 2+1 flavour e con masse fisiche. L’indagine ha mostrato come l’end-point sia in questo caso un punto critico ed é stata stimata una temperatura critica T_cR.W.(N_f = 2 + 1) = 208(5)M ev. Nell’ar- ticolo é riportata inoltre una determinazione della linea pseudocritica Tc(pseudo)(µB) ottenuta come sviluppo in potenze di µ_B fino al sest’ordine , che ha permesso di avvalorare l’idea che l’end-point si trovi esattamente nel punto in cui il ramo di transizioni di R.W. del prim’ordine incontra il prolungamento analitico della linea pseudocritica , come mostrato in figura 3.6.

Figura 3.7: Possibile andamento dei rami di transizione di fase del prim’ordine nel piano T −µ2_.

Quanto detto finora sulle linee di RW é valido soltanto utilizzando uguali potenziali chimici (µu = µd= µs). Nel caso generale, la situazione si complica notevolmente. Ogni flavour accop- pia al loop di Polyakov con un termine del tipo (3.19). Se i potenziali chimici µ_f sono diversi tra loro, si puó pensare che ogni termine accoppi con un campo magnetico diretto come θ_f. Nel caso generale esisteranno, delle linee critiche di Roberge-Weiss nello spazio T − θ_f non piú verticali e non determinabili sulla base di considerazioni teoriche come quelle viste.

Le osservabili O(θf) in QCD, calcolate a potenziale chimico immaginario, sono soggette ad un certo numero di vincoli, come conseguenza del fatto che l’energia libera F (T, V, θ_f) deve essere simmetrica sotto un certo numero di trasformazioni che elenco brevemente:

I invarianza CP: l’energia libera deve essere invariante per cambio di segno di tutti i potenziali chimici F (T, V, −θf) = F (T, V, θf).

II l’energia libera deve essere una funzione periodica di periodo 2π in ogni potenziale chimico

θf. Faccio notare infatti che l’introduzione di un potenziale chimico immaginario é equi- valente ad una rotazione di angolo θ_f, nelle condizioni al bordo temporale, per i campi fermionici e una rotazione di angolo multiplo di 2π corrisponde all’identitá.

III l’energia libera deve essere invariante per traslazione dei potenziali chimici θ_f → θ_f+2nπ/3. Una trasformazione di questo tipo si puó infatti eliminare con una trasformazione del centro, lasciando il resto dell’azione e la misura nel Path-Integral invariata (simmetria di Roberge-Weiss [25] ).

IV nel caso di due flavour degeneri, l’energia libera deve essere invariante per scambio dei rispettivi potenziali chimici.