Metodo Monte Carlo

5.7 Analisi Monte Carlo

La probabilità che un elemento di costo o di ricavo, la vita utile, oppure la probabilità che il VAN o il TIR di una serie di flussi di cassa assumano un certo valore, vengono in genere interpretate in termini di frequenza relativa sul lungo periodo con cui quei valori si verificano, oppure in termini di una probabilità stimata soggettivamente che essi possano avere luogo. I fattori e gli elementi che producono risultati probabilistici sono detti variabili aleatorie o casuali.

Come discusso nei Capitoli precedenti, una decisione relativa ad un’attività progettuale che richieda competenze ingegneristiche, ha a che fare con una o più alternative. Gli importi del flusso di cassa di ciascuna alternativa spesso sono il risultato di somme, prodotti e quozienti di variabili aleatorie quali i costi di esercizio, i ricavi, le variazioni del capitale ed altri elementi economici. In queste circostanze, le misure di redditività dei flussi di cassa saranno anch’esse delle variabili aleatorie.

Le principali informazioni relative a queste variabili, utili nei processi decisionali, sono il valore atteso e la varianza; quest’ultimo in particolare nella valutazione di progetti alternativi.

Tali parametri vengono utilizzati per evidenziare l’incertezza che caratterizza ogni iniziativa. Di conseguenza, in condizioni di incertezza, le decisioni vengono solitamente prese utilizzando la variabilità degli indicatori economici.

5.7.1 Metodo Monte Carlo

L’attuale sviluppo dei computer e dei relativi pacchetti software ha portato ad una maggiore diffusione della simulazione Monte Carlo, quale importante strumento nell’analisi del rischio di un progetto.

Per problemi complessi, la simulazione Monte Carlo riproduce la distribuzione probabilistica di variabili aleatorie, così da imitare la casualità implicita del programma originale.

In questo modo, dalla distribuzione statistica dei risultati delle simulazioni è possibile trarre indicazioni per la soluzione di problemi decisionali complessi.

Per condurre un’analisi di simulazione, il primo passo consiste nel costruire un modello analitico che rappresenti la reale situazione decisionale. Ciò può essere relativamente semplice, come formulare un’equazione che esprime il VAN relativo al progetto di un componente per una catena di montaggio, oppure molto più complesso come esaminare gli effetti economici di una proposta di regolamentazione ambientale destinata alle industrie pesanti.

Il secondo passo prevede di ricostruire la distribuzione di probabilità di ciascuna variabile aleatoria del modello, sulla base di dati soggettivi o storici. Si passa così a generare in modo casuale un insieme di valori d’ingresso del modello a partire dalla distribuzione di probabilità di ogni variabile aleatoria, e questo insieme viene in seguito utilizzato per determinare il risultato di una simulazione del modello. Dalla ripetizione di questo processo di simulazione per un elevato numero di volte, è possibile ottenere una serie di risultati dei vari esperimenti (espressi tramite i valori assunti dall’indicatore economico prescelto). Questi risultati possono essere impiegati per ricostruire le frequenze di uscita dei possibili valori dell’indicatore economico, che a loro volta possono essere utilizzate per rappresentare la densità di probabilità dell’indicatore, ed ottenere così una descrizione statistica completa, sebbene approssimata, del problema in esame.

Come accennato, la simulazione Monte Carlo risulta particolarmente utile nel caso di problemi decisionali complessi comprendenti variabili aleatorie. Questo accade quando, tra i fattori che descrivono il problema, vi siano numerose variabili aleatorie, sia discrete che continue, che possono anche essere dipendenti o legate l’una all’altra. In tutti questi casi, quasi mai sono utilizzabili procedimenti analitici che permettano di ricavare le descrizioni statistiche delle variabili di uscita a partire da quelle d’ingresso.

57 Un elemento chiave del procedimento di simulazione Monte Carlo riguarda la generazione di una successione di valori delle variabili di ingresso che ne riproduca in modo sufficientemente accurato l’andamento probabilistico. Il procedimento per realizzare ciò varia da caso a caso.

Si supponga per esempio, che la distribuzione di probabilità della vita utile del componente di un macchinario sia stimata come riportato in Tabella 5.7.1.1. In tal caso si ha a che fare con una variabile aleatoria discreta. La vita utile può dunque essere simulata stabilendo che, ad ogni valore che essa può assumere, corrisponda un insieme di numeri casuali uniformemente distribuiti¹⁶ scelto in modo tale da riprodurre le rispettive probabilità di accadimento previste.

Considerando che le probabilità sono espresse con numeri a due cifre, è possibile assegnare ad ogni risultato un insieme di numeri interi casuali tra 0 e 99, come riportato in Tabella 5.7.1.1. Successivamente, si simula il verificarsi di un evento scegliendo un numero casualmente con un appropriato procedimento. Come indicato in Tabella 5.7.1.1, si decide per esempio che all’estrazione di un numero compreso tra 00 e 19 venga associata una vita utile di tre anni.

Tabella5.7.1.1 - Distribuzione di probabilità della vita utile ed assegnazione di numeri casuali. Numero di anni, N (valori possibili) p(N) (∑ i ' 100 ^{Numeri casuali} 3 0.20 00-19 5 0.40 20-59 7 0.25 60-84 10 0.15 85-99

Se le variabili aleatorie sono di altro tipo, ed in particolare sono continue con una data distribuzione di probabilità, l’approccio da seguire è differente.

Per esempio, se la distribuzione di probabilità che descrive una variabile aleatoria di ingresso è normale, in questo caso l’estrazione casule si basa sulla media e sulla deviazione standard della distribuzione di probabilità, e su osservazioni estratte da una distribuzione normale standard (Random Normal Deviates, RND), che consistono in una serie di numeri casuali tratti da una distribuzione normale con media nulla e deviazione standard unitaria. Un elenco ridotto di RND tipiche viene riportato in Tabella 5.7.1.2. Nel caso di variabili aleatorie normalmente distribuite il valore assegnato casualmente alla variabile di ingresso per un esperimento (valore estratto) si basa sull’equazione seguente:

Valore estratto media mRND · deviazione standardq

Per esempio, si supponga che un certo flusso di cassa annuale netto segua una distribuzione normale, con una media µ di € 50.000 ed una deviazione standard σ di € 10.000, come illustrato in Figura 5.7.1.1.

In Tabella 5.7.1.3 sono elencati i flussi di cassa simulati su un periodo di cinque anni. Mediamente il flusso di cassa netto annuo ammonta ad € 248.850 5⁄ , pari a € 49.770. Questo valore approssima la media nota di € 50.000 con un errore dello 0,46%.

16 I numeri casuali uniformemente distribuiti sono tali che ciascun numero ha la stessa probabilità di essere estratto.

Università degli Studi di Padova – Dipartimento di Ingegneria Elettrica Marco Tarabotti

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Figura 5.7.1.1 - Flusso di cassa annuo con una distribuzione normale.

Tabella 5.7.1.2 - Osservazioni estratte da una distribuzione normale standard (RND).

-1.565 0.690 -1.724 0.705 0.090

0.062 -0.072 0.778 -1.431 0.240

0.183 -1.012 -0.844 -0.227 -0.448

-0.506 2.105 0.983 0.008 0.295

1.613 -0.225 0.111 -0.642 -0.292

Tabella5.7.1.3 - Esempio di utilizzo della RND.

Anno RND Flusso di cassa netto annuo

m50.000 ['d 10.000 q 1 0.090 50.900 2 0.240 52.400 3 -0.448 45.520 4 0.295 52.950 5 -0.292 47080

Altre distribuzioni continue prevedono procedimenti di estrazione diversi. Se la distribuzione di probabilità che descrive un evento associato ad una data variabile di ingresso è continua e uniformemente distribuita tra un valore minimo A ed un valore massimo B, si può seguire un’altra procedura ancora per l’estrazione casuale del valore a tale variabile. In quest’ultimo caso, il valore usato nella simulazione può essere determinato attraverso la formula:

72: 8 84< 7<<: _['^['

Amr q

Dove [' è un numero casuale uniformemente distribuito tra 0 e ['_A. Questa equazione va usata quando la variabile aleatoria di ingresso è sicuramente compresa tra un valore minimo A e massimo B, e si ritiene che ciascun valore all’interno dell’intervallo possa essere assunto equiprobabile (ovvero non si è in grado di fare ipotesi diverse).

0 0,00001 0,00002 0,00003 0,00004 0,00005 0 25000 50000 75000 100000 D e n si tà d i p ro b a b il it à