La modellazione analitica del fenomeno

Lo studio della resistenza termica di contatto e la ricerca di modelli atti a predirne l’en-tit`a nel computo degli scambi termici tra i diversi componenti di un sistema ha avuto un forte impulso negli ultimi decenni, parallelamente allo sviluppo di applicazioni (tipica-mente nell’elettronica e nella microelettronica) in cui `e fondamentale riuscire a dissipare la maggior quantit`a possibile di calore in spazi minuscoli. Ad esempio, in letteratura, sono numerosi gli articoli relativi ai fenomeni di interfaccia presenti tra oggetti in materiale ceramico e dissipatori in alluminio, situazione che si presenta spesso nel raffreddamento dei componenti elettronici. Tali studi mirano a valutare anche l’influenza della pressio-ne di contatto e della sostanza contenuta pressio-negli interstizi (aria, grassi termici, composti conduttivi, elastomeri e nastri adesivi).

Poich´e lo studio del contatto termico coinvolge numerosi fenomeni e parametri di influenza, sono necessarie le seguenti ipotesi [26]:

ˆ Le propriet`a fisiche e termiche dei solidi a contatto sono isotrope;

ˆ Lo spessore dei solidi a contatto `e molto maggiore della rugosit`a e delle ondulazioni superficiali;

ˆ Il contatto `e statico, ovvero non sono presenti vibrazioni;

ˆ Viene considerato solo il primo ciclo di carico, in modo che non si abbiamo fenomeni di isteresi;

ˆ La pressione di contatto rapportata alla micro-durezza dei materiali varia tra 10−6÷ 10⁻¹;

ˆ Il flusso termico non `e troppo grande (inferiore di 108 W/m²).

Si riporta di seguito la procedura illustrata in [25] per il calcolo della resistenza termica all’interfaccia di due elementi con superfici caratterizzate da irregolarit`a conforme (secondo la classificazione riportata in figura4.6), al variare della pressione di contatto (nel campo di pressioni 0, 035 ÷ 0, 35 MPa, corrispondente a 5 ÷ 50 psi, tipico delle applicazioni di microelettronica). Questo metodo, sviluppato inizialmente per il contatto metallo-metallo, `e stato verificato successivamente con esperimenti in vuoto per il contatto metallo-plastica, con temperatura di interfaccia nel range 20 ÷ 70°C e pressioni nel range 0, 5 ÷ 5, 0 MPa.

Fig. 4.6: Classificazione dei tipi di contatto tra le superfici [25].

Il presente modello, rispetto ad altre alternative, presenta una formulazione piuttosto semplice e consente di arrivare, in pochi passaggi, ad una soluzione quantitativa del pro-blema. Per contro, in termini di precisione, risente delle forti semplificazioni adottate per descrivere il fenomeno in esame e di alcuni parametri la cui determinazione risulta diffi-coltosa e/o approssimativa. Ad esempio non `e incluso nel modello il contatto tra superfici ondulate, convesse o concave (rappresentate in figura4.6) che introdurrebbe notevoli com-plicazioni; inoltre, poich´e nella maggior parte delle interfacce l’effetto della trasmissione del calore per irraggiamento `e trascurabile o non esiste, tale contributo non viene considerato nell’analisi.

In [25] la conducibilit`a termica specifica all’interfaccia tra due superfici con irregolarit`a conforme h_{interf accia}`e data dalla somma di due contributi, legati rispettivamente alla con-duzione attraverso le asperit`a superficiali a contatto hcontact e alla conduzione attraverso i gaps h_gap.

h_{sp,interf accia}= h_sp,contact+ h_sp,gap (4.3.7) Per applicazioni in vuoto il termine hsp,gap `e nullo, dal momento che l’unica forma di trasmissione del calore possibile `e l’irraggiamento; nel seguito, quindi, tale termine sar`a trascurato.

Il termine hsp,contact prende il nome di conducibilit`a termica specifica di contatto ed `e espresso dalla relazione seguente, detta di Yovanovich:

h_sp,contact= 1, 25 · k_s·^m σ ^{· (} P Hc )^0,95 [W/m²K] (4.3.8) dove:

ˆ ks `e la media armonica delle conducibilit`a termiche dei due materiali che costitui-scono l’interfaccia:

k_s= 2 · ^{k1· k2}

ˆ m `e la pendenza media assoluta delle asperit`a all’interfaccia: m =

q

m²₁+ m²₂ (4.3.10)

ˆ σ `e la media quadratica delle rugosit`a delle superfici a contatto: σ =

q

σ²₁+ σ²₂ (4.3.11)

ˆ P `e la pressione di contatto

ˆ Hc `e la microdurezza superficiale del materiale pi`u tenero tra i due a contatto. Come gi`a evidenziato, si intuisce come la determinazione di alcuni dei parametri ri-chiesti sia tutt’altro che agevole. La pendenza delle asperit`a superficiali, ad esempio, non `e generalmente un dato fornito. Tale parametro pu`o comunque essere approssimato dalla seguente relazione, valida per 0, 216 µm ≤ σ ≤ 9, 6 µm:

m = 0, 125 · (σ · 10⁶)^0,402 (4.3.12)

La rugosit`a delle superfici a contatto pu`o essere misurata con opportuni strumenti o stimata, entro certi margini, in base al tipo di lavorazioni subite dal materiale. La mi-crodurezza, invece, `e un parametro di difficile determinazione perch´e dipende da diversi parametri geometrici e fisici. `E evidente quindi che la conducibilit`a termica di contatto calcolata con la relazione 4.3.8 fornisce un dato indicativo, certamente affetto da errori: esso sar`a utilizzato come riferimento per le simulazioni numeriche e le esperienze speri-mentali descritte nei successivi paragrafi. Possono invece essere fatte delle interessanti considerazioni circa l’andamento della conducibilit`a termica di contatto (o della resistenza termica di contatto) al variare dei parametri di influenza, come illustrato, ad esempio, nella precedente figura 4.2.

Applicazione del modello analitico ad un caso pratico

Si riporta ora un esempio di applicazione della formula 4.3.8 ad un caso pratico. Ci`o consente di valutare immediatamente quali siano i vantaggi ed i limiti dell’approccio di Yovanovich e di capire se esso possa essere efficacemente utilizzato per predire le resistenze termiche di interfaccia nei problemi che saranno affrontati nel seguito.

I due materiali tra i quali si `e deciso di stimare la resistenza termica di contatto sono il Tantalio<sup>1</sup> e il Nitruro di Boro<sup>2</sup>. La motivazione dietro a questa scelta `e duplice: da un lato

1Il Tantalio `e un metallo di transizione raro, duro e duttile, lucido, di colore blu-grigio, molto resistente alla corrosione, soprattutto all’attacco degli acidi, ed `e un buon conduttore di calore ed elettricit`a. Per temperature al di sotto dei 150°C, infatti, pu`o essere considerato del tutto immune agli attacchi chimici, perfino a sostanze estremamente aggressive come l’acqua regia, e pu`o essere intaccato soltanto dall’acido fluoridrico, da soluzioni acide contenenti lo ione fluoruro e da triossido di zolfo libero. Il tantalio, inoltre, ha un punto di fusione molto alto, superato soltanto dal tungsteno e dal renio (punto di fusione 3 290 K, punto di ebollizione 5 731 K) [29].

2

Il Nitruro di Boro `e un composto chimico binario, che `e formato da boro ed azoto nelle stesse propor-zioni. Esso esiste in diverse forme polimorfiche tra le quali una `e analoga al diamante e una alla grafite.

essi costituiscono due possibili soluzioni rispettivamente per i fili e gli isolatori del Beam Profiler che sar`a descritto nel successivo capitolo; dall’altro erano gi`a disponibili presso i Laboratori e si prestavano quindi alla successiva esecuzione di un test pratico, descritto nel paragrafo 4.4, per confrontare i risultati ottenuti con i due metodi. Nello specifico:

ˆ Il Tantalio era disponibile in lastre di diverse dimensioni e spessori. Con riferimento alle esigenze del successivo test sperimentale illustrato in4.4, si `e deciso di utilizzare una lamina di spessore 4 mm e lunghezza opportuna;

ˆ Il Nitruro di Boro era disponibile in tondini di diverso diametro e lunghezza. Si `

e deciso di utilizzare un cilindretto di diametro 20 mm e pari altezza, riuscendo in questo modo a sfruttare del materiale di recupero e a contenere quindi i costi complessivi.

Si immagina quindi di porre il cilindretto di BN a contatto con la lastra di Ta e di far scorrere un certo flusso termico tra i due materiali. L’area di contatto apparente `e pari all’area di base del cilindretto; l’area di contatto reale, invece, dipende dai numerosi fattori elencati nel paragrafo 4.3. Le tabelle4.1 e 4.2riportano le caratteristiche dei due materiali utilizzati.

Materiale: Tantalio (Ta)

Area normale 3,1416 ·10⁻⁴ m²

Spessore 0,004 m

Conducibilit`a termica 58,5 W/mK Rugosit`a superficiale 1,6 µm

Tab. 4.1: Caratteristiche della lastra di Tantalio utilizzata nel test sperimentale.

Materiale: Nitruro di Boro (BN)

Area normale 3,1416 ·10⁻⁴ m²

Spessore 0,02 m

Conducibilit`a termica 31,5 W/mK Rugosit`a superficiale 1,6 µm

Tab. 4.2: Caratteristiche del cilindro di Nitruro di Boro utilizzato nel test sperimentale. In particolare, l’allotropo simile alla grafite, conosciuto come boro nitruro esagonale, h-BN, α-BN o g-BN (BN grafitico), e chiamato grafite bianca, `e utile come lubrificante, a basse o alte temperature (fino a 900 °C in atmosfera ossidante) e in situazioni in cui la conduttivit`a elettrica o la reattivit`a chimica della grafite pu`o essere problematica. A causa della forte elettronegativit`a degli atomi di azoto, gli elettroni che nella forma della grafite sono un sistema disordinato sono concentrati attorno agli stessi atomi di azoto, portati fuori dalla banda conduttiva, quindi senza avere un ruolo nella conduzione elettrica, n´e assorbendo luce visibile. L’h-BN (nitruro di boro esagonale) pu`o essere usato in ceramiche, leghe, resine, plastiche, gomme ed altri materiali, fornendo le sue caratteristiche lubrificanti. Tali materiali sono utilizzabili per scopi quali i cuscinetti a sfera, a cilindri o altri tipi di meccanismi che agevolano lo scorrimento. Plastiche addizionate di BN servono per diminuire l’espansione termica, aumentare la conduttivit`a termica, aumentare l’iso-lamento elettrico, e negli organi meccanici in movimento a contatto permettono una usura ridotta delle superfici a contatto. Il boro nitruro esagonale `e stabile fino a 1000°C in aria, 1400 °C nel vuoto e 2800 °C in gas inerti. `E uno dei migliori conduttori termici fra gli isolanti elettrici. `E chimicamente inerte e non viene bagnato da materiali fusi (es. alluminio, rame, zinco, ferro e acciaio, germanio, silicio, boro, criolite, vetro e sali di alogeni) [29].

Si procede quindi al calcolo dei parametri che compaiono nell’equazione4.3.8: k_s= 2 · ^{kT a· kBN} k_{T a}+ k_BN ^{= 40, 95 W/mK} σ = q σ2 T a+ σ2 BN = 2, 263 µm = 2, 263 · 10⁻⁶ m mTa = 0, 125 · (σTa · 10⁶)^0,402= 0, 151 [ ] m_BN = 0, 125 · (σ_BN · 10⁶)^0,402 = 0, 151 [ ] m =^qm2 T a+ m2 BN = 0, 214 [ ]

Come gi`a accennato al paragrafo 4.3.1, la determinazione di H<sub>c</sub>, microdurezza su-perficiale del materiale pi`u tenero, risulta tutt’altro che agevole. Le criticit`a riscontrate riguardano i seguenti aspetti:

ˆ Carenza di dati in letteratura relativi alla specifica coppia di materiali presa in esame. Infatti, la maggior parte degli articoli si riferisce a quei materiali tipici dell’elettronica (alluminio, rame, siliconi e altri materiali polimerici);

ˆ Carenza di dati in letteratura relativi alla microdurezza superficiale. Sono pi`u frequenti, invece, le informazioni relative alla durezza dei materiali;

ˆ Presenza di diverse scale di durezza (o di microdurezza) atte a quantificare le carat-teristiche dei materiali. Ne consegue la difficolt`a di confrontare in modo preciso le informazioni espresse in scale di misura differenti.

Per il Nitruro di Boro si `e fatto riferimento al Technical Note fornito dall’azienda INTELLION, da cui `e stato acquistato il materiale. In esso viene riportata la durezza Knoop³ in [kg/mm²].

Durezza Knoop_BN = 15, 51 ÷ 24, 19 [kg/mm²]

Maggiori informazioni sono state trovate in letteratura per il Tantalio: in particolare, `e stato possibile trovare in [29] il valore di durezza nella stessa scala Knoop utilizzata per il Nitruro di Boro.

Durezza Knoop_{T a}= 200 ÷ 400 [kg/mm²]

In base ai dati raccolti, il materiale pi`u tenero risulta essere il Nitruro di Boro. Per le caratteristiche della prova Knoop e per le esigenze della presente analisi si `e deciso di utilizzare tale valore per il parametro H_c che compare nella formula4.3.8.

Hc= 20 kg/mm²= 196 M P a

3

Il test di durezza Knoop `e un test di microdurezza, utilizzato in particolare per materiali molto friabili o per fogli sottili, dove pu`o essere realizzata soltanto una piccola incisione per le misure. Per i dettagli del test si rimanda a [29].

In definitiva, applicando l’equazione4.3.8, si ha:

h_sp,contact= 1, 25 · 39, 66 · ^{0, 214}

2, 263 · 10−6 · (^{P [M P a]}

196 ⁾

0,95 [W/m²K]

Per valutare l’influenza della pressione di contatto sullo scambio termico all’interfaccia si `e fatto variare il parametro P nell’equazione 4.3.8e sono stati ricavati i corrispondenti valori di conduttanza termica specifica di contatto e di resistenza termica specifica di contatto. In figura4.7sono riportati i risultati ottenuti mentre in figura4.8`e rappresentato il diagramma della resistenza termica specifica di contatto in funzione della pressione di contatto.

Fig. 4.7: Andamento della resistenza termica specifica di contatto R_c,sp, in [m²∗ K/W ], al variare della pressione di contatto, in [MPa].

Come ordine di grandezza, i risultati ottenuti appaiono in buon accordo con quelli di figura 4.3, trovati in [21]. Dal grafico in figura 4.8, inoltre, si osserva che l’andamento della resistenza termica specifica di contatto `e asintotico: essa diminuisce al crescere della pressione di contatto ma con velocit`a via via minore. Facendo riferimento al caso in esame, si pu`o quindi affermare che per pressioni superiori a 1 ÷ 1, 25 MPa (corrispondenti ad una forza di serraggio dei due materiali di 300 ÷ 400 N) la resistenza termica di contatto assume il valore minimo; poich´e esso si mantiene costante non ha alcun senso aumentare ulteriormente la pressione di contatto.

4.3.2 Esempio di simulazione numerica del contatto termico e verifica