Per mezzo degli Automi Cellulari è stato introdotto un approccio nuovo nella modellazione di fenomeni complessi che evolvono sulla base di leggi locali. Le potenzialità degli AC nella modellazione e simulazione di sistemi fisici complessi sono state mostrate dai Gas Reticolari e dai modelli di Boltzmann su reticolo che sono stati applicati, peraltro, alla simulazione della turbolenza dei fluidi. Tuttavia il loro ambito d’applicabilità non include, in generale, fenomeni macroscopici, come l’evoluzione di frane, di colate laviche o detritiche, dei fenomeni di infiltrazione di acqua e/o contaminanti nel suolo, che evolvono in contesti puramente tridimensionali (anche se Rothman, 1988, e Di Pietro, 1993, hanno mostrato che questi metodi si applicano al flusso macroscopico di tipo Darcy nel saturo).
Negli ultimi decenni sono stati proposti numerosi modelli empirici basati sugli AC per la simulazione di fenomeni macroscopici complessi, ad esempio per la simulazione dell’erosione del suolo (Smith, 1991; Murray & Paola, 1994; D’Ambrosio et al., 2001), dei flussi lavici
(Barca et al.,1994;Miyamoto & Sasaki, 1997;Crisci et al.,2003), dei flussi detritici (Segre &
Deangeli,1995;Malamud & Turcotte,1999;Di Gregorio et al., 1999a). Tra gli studi proposti
ad oggi per la modellazione a livello macroscopico del flusso d’acqua in mezzi non saturi tramite gli Automi Cellulari, il lavoro pubblicato da Mendicino (2006) rappresenta il primo esempio di modellazione in idrologia in grado di sviluppare un modello tridimensionale capace di simulare il flusso dell’acqua nel suolo non saturo.
Anche se in linea di principio l’AC è sufficiente alla modellazione e simulazione di fenomeni naturali che evolvono su scala macroscopica, la loro complessità suggerisce un’estensione dell’originario paradigma.
Formulazione discreta diretta per lo sviluppo del modello Eco-Idrologico accoppiato con gli automi cellulari
valori sono assunti costanti per tutto l’arco della simulazione ed insieme ad altri eventuali parametri solitamente necessari ai fini della simulazione, costituiscono l’insieme P dei parametri dell’AC.
Lo stato della cella deve tenere in considerazione tutte le caratteristiche che sono ritenute rilevanti per l’evoluzione del sistema. Nell’approccio in esame ogni caratteristica corrisponde a un sottostato, i cui valori devono formare un insieme finito del tipo Q = {Q1,Q2,…,Qn}.
L’insieme Q di tutti i possibili valori dello stato della cella è, dunque, espresso come prodotto cartesiano degli elementi di S:
1 2 ... n
Q=Q´Q ´ ´Q (4.37)
Per consentire una efficace descrizione dei vari fenomeni naturali, ogni sottostato è rappresentato da un numero che può assumere un valore intero appartenente a un insieme finito di valori o un valore reale ed in questo caso lo stato diventa continuo. Inoltre, tale rappresentazione dello stato è adatta per modellare il fenomeno tramite un linguaggio di programmazione cellulare (Spezzano & Talia, 1998) ed è rappresentato da un insieme di variabili, una per ogni sottostato, appartenenti ad uno dei tipi di dati fondamentali o composti del linguaggio.
Gli stati degli automi variano secondo regole locali che sono dette funzione di transizione; in un dato passo temporale, infatti, lo stato dell’automa dipende dal suo stato e da quelli delle celle vicine determinati al passo precedente. Gli automi si dicono sincroni in quanto hanno identiche funzioni di transizione, applicate simultaneamente a ciascuna cella del sistema. All’inizio della simulazione, gli stati degli automi rappresentano le condizioni iniziali del sistema, che evolvono per passi discreti di tempo durante il processo tramite l'applicazione della funzione di transizione. In questo modo, l’evoluzione globale del sistema è ottenuta dall’evoluzione di tutte le celle dell’AC. Poiché ogni cella usa la stessa struttura di vicinato, anche la cella sul contorno del dominio fisico possiede un vicinato di celle che sono esterne al dominio stesso. Per convenzione, il bordo delle celle è ipotizzato isolato, al fine di formare un dominio chiuso.
La funzione di transizione • dell’AC deve valutare tutti i processi responsabili del cambiamento dei valori dello stato della cella, che sono considerati rilevanti per l’evoluzione del sistema e può essere suddivisa in p processi elementari che a loro volta si ripartiscono in
trasformazioni interne, T1,T2,…,Tp, e interazioni locali, I1,I2,…,Iq.
Formulazione discreta diretta per lo sviluppo del modello Eco-Idrologico accoppiato con gli automi cellulari
dovuti soltanto alle interazioni tra i sottostati della cella stessa, oppure allo scorrere del tempo. In altri termini le trasformazioni interne non dipendono dallo stato delle celle del vicinato ma solo dallo stato della cella centrale. Le interazioni locali determinano, invece, il cambiamento dei valori dei sottostati della cella dovuti all’interazione con le celle del vicinato.
Per ogni trasformazione interna Ti (i = 1,2,…,p) è definita una funzione: ' : i i i T QT QT
s
® (4.38) dove i T Q e ' i TQ sono prodotti cartesiani di elementi di S.
Allo stesso modo, per ogni interazione locale Ij (i = 1,2,…,q) è definita una funzione: ' : j j j m I QI QI
s
® (4.39) dove j I Q e ' j IQ sono prodotti cartesiani di elementi di S ed m è il numero di celle del
vicinato.
L’evoluzione del sistema è ottenuta applicando, secondo un ordine che dipende dalle caratteristiche del fenomeno modellato, le trasformazioni interne e le interazioni locali a ogni cella dell’AC. Questa assunzione deve essere verificata empiricamente nella fase di simulazione.
In alcuni casi è necessario considerare qualche tipo di input che tenga conto di influenze non descrivibili in termini di leggi locali dell’AC, come la presenza di fenomeni franosi in modelli di simulazione di flussi detritici, o l’afflusso meteorico alla superficie in modelli di infiltrazione nel suolo. In tal caso, vengono definite nel modello una o più funzioni speciali e/o addizionali.
È bene sottolineare che la scelta del passo temporale e spaziale deve essere fatta in relazione ai processi elementari considerati. Nell’operare tale scelta, a causa dell’elevata complessità dei fenomeni considerati, è possibile incorrere in alcuni problemi: la dimensione più opportuna per la cella potrebbe essere diversa per diversi processi elementari; inoltre alcune interazioni locali potrebbero richiedere clock più piccoli rispetto ad altri processi
Formulazione discreta diretta per lo sviluppo del modello Eco-Idrologico accoppiato con gli automi cellulari
In conclusione, l’Automa Cellulare usato per la modellazione di fenomeni macroscopici complessi e di conseguenza, per il modello Eco-Idrologico sviluppato nel seguente lavoro di tesi è formalmente definito nel seguente modo (Di Gregorio & Serra, 1999, D’AMBROSIO, 2003): , , , , , , d AC=< ddd, , ,, , ,, , ,, , ,Q P XQ PQ P XQ P X
s
Eg
> (4.40) dove:(
)
{
1, ,...,2 | 1, 2,...,}
d d k i i i i i k d = º{
(
111 222,...,)
| Î " =1, 2,...,}
d d))
|| k i(
i i i))
|i k 1, 2,...,d i(
i1111 2222,...,,...,)
|||=
{
ii(
ii1111, ,...,, ,...,2222,...,))
|||||| è l’insieme dei punti del reticolo d-dimensionale che definisce lo spazio cellulare dell’AC; è l’insieme dei numeri interi;1 2 ... n
Q=Q´Q ´ ´Q è l’insieme finito degli stati dell’automa elementare, espresso come prodotto cartesiano dei sottostati Q1,Q2,…,Qn;
{
1, 2,..., l}
P= p p p è l’insieme finito dei parametri dell’AC;
{
0, ,...,1 m1}
X =
x x
x
- è l’insieme finito degli m vettori d-dimensionali xj ={
x xj1, j2,...,xjd}
che definiscono V X i(
,) {
= +ix
0,i+x
1,...,i+x
m-1}
, l’insieme delle coordinate delle celle vicine alla generica cella i di coordinate (i1,i2,…,id); X è detto indice o relazione di vicinanza;•: Qm ! Q è la funzione di transizione deterministica dell’automa elementare. Essa è
decomposta nelle trasformazioni interne,
1, 2,..., p
T T T
s s
s
e nelle interazioni locali,1, 2,..., q
I I I
s s
s
. Per ogni interazione localek
I
s
può essere definita una particolare relazione di vicinanzak
I
X (k = 1,2,…,q). In tal caso vale
1 2 ... q I I I X =X ÈX È ÈX ; 1 2 ... d s
E=E ÈE È ÈE Í d è l’insieme delle celle di dd
soggette a influenze esterne;
{
1, 2,..., s}
g
=g g
g
è l’insieme finito delle funzioni che definiscono gli input esterni per l’AC;(
)
: 1, 2,...,
i Ei Q Q i s