6.3 Test case per l’analisi della stabilità numerica
6.3.2 Test case numerici ed individuazione di due criteri per la scelta del
I cambiamenti nei valori della pendenza del terreno, della copertura vegetale, dell'altezza delle depressioni e dell'intensità delle precipitazioni portano a diversi gradi di variazioni negli idrogrammi delle portate in uscita dalla struttura. Questi idrogrammi, in cui la soluzione
Applicazione del modello
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ottenuta è ovviamente priva di oscillazioni, e le entità sono molto diverse per ciascun test case, sono riportate nella figura 6.10.
Figura 6.10. Idrogrammi ottenuti per i diversi test case numerici: (a) variazione della pendenza; (b) variazione della copertura della vegetazione; (c) variazione dell’altezza delle depressioni; (d) variazione
della precipitazione.
In realtà, le modifiche degli idrogrammi ottenuti variando l’inclinazione sono piuttosto piccole quando la portata di picco aumenta, mentre sono più evidenti nella fase di recessione, come evidenziato nel riquadro presente nella figura 6.9a. Tuttavia, i valori delle portate di picco ottenute per lo scenario RS sono state raggiunte anche in altri test case, quindi è ragionevole che le differenze non siano molto evidenti per il test case S25, nonostante in quest’ultimo le inclinazioni originali siano state ridotte di molto.
Applicazione del modello
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l'acqua infiltrata nel terreno ritornerà di nuovo nell'atmosfera per mezzo della traspirazione delle piante. Nel test case V75 in cui è presente una maggiore quantità di vegetazione, l’acqua smette di defluire dalla sezione di chiusura dopo 14400 s dall'inizio della simulazione.
L’aumento dell'altezza delle depressioni porta a ritardare il deflusso in superficie, come rappresentato nella figura 6.9c, in quanto le depressioni presenti si comportano come piccoli invasi. Quando questi invasi sono riempiti, la portata tende rapidamente a seguire il comportamento del test case RS, in cui hds = 0.
Infine, la variazione dell'intensità di precipitazione cambia l'entità dei volumi idrici coinvolti nel processo del deflusso. Infatti, con questi test case, rappresentati nella figura 6.9d si hanno variazioni maggiori negli idrogrammi. Raddoppiando o triplicando la precipitazione si raggiunge un nuovo picco della portata intorno a 3600 s dall’inizio della simulazione, mentre le portate maggiori sono registrate sempre a 7200 s ma sono raddoppiate o triplicate rispetto al caso originale.
Per ciascuna delle simulazioni realizzate è stato eseguito un controllo del bilancio idrico
step-by-step, trovando in ogni caso un valore di acqua residuo complessivo compreso tra
0.02% e 0.008%.
Il primo passo eseguito durante le simulazioni per studiare la stabilità e la convergenza, argomenti chiave in questo lavoro di tesi, consiste nel valutare i valori massimi e costanti degli intervalli temporali che permettono di evitare l'instabilità numerica e la non convergenza durante tutta la simulazione. Questi intervalli temporali sono chiamati rispettivamente !tS e !tC e sono ottenuti eseguendo tutte le simulazioni più volte con diversi passi temporali, che variano nell’ordine di 0.1 s, fino al raggiungimento di un idrogramma della portata in uscita dalla sezione di chiusura senza oscillazioni (!tS) e in grado di conseguire un risultato (!tC).
Quindi la precisione di entrambe gli intervalli !tS e !tC è dell'ordine di 10-1 s.
Per le stesse simulazioni sono state calcolate step-by-step la condizione di CFL tramite la relazione (5.20) e la distribuzione spaziale della condizione di von Neumann con l’equazione (5.36). In particolare, questi intervalli temporali sono stati calcolati come il più piccolo intervallo temporale, tra tutti gli intervalli temporali valutati per ciascuna delle celle presenti in superficie e per tutta la durata della simulazione.
Riguardo alla condizione di von Neumann, poiché è noto che questa condizione fornisce dei passi temporali troppo piccoli quando i gradienti tendono a zero, è stata adottata la correzione proposta nell’equazione (5.43). Nello studio proposto nella presente tesi, la
Applicazione del modello
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relazione (5.43) è stata utilizzata solo nel test case S25, dove il valore più appropriato per la soglia specifica Hlin, che rappresenta la differenza tra l'altezza d'acqua in superficie tra due celle adiacenti, è stato posto pari a 2 · 10-5m.
Al fine di rappresentare come variano spazialmente gli intervalli temporali a seguito dei cambiamenti delle grandezze da cui dipendono, come il gradiente dell’altezza d’acqua, nella figura 6.11 è stato riportata la distribuzione spaziale degli intervalli temporali ottenuti utilizzando la condizione di von Neumann per il test case RS e per il test case S25 nel momento in cui si registrano gli intervalli temporali più bassi. Nello specifico, per i test case RS e S25 sono utilizzati, rispettivamente, le equazioni (5.36) e (5.43).
Figura 6.11. Distribuzione spaziale degli intervalli temporali •t calcolati con la relazione di von Neumann nel momento in cui sono registrati i valori più bassi per i test case RS (sinistra) e S25 (destra)
Applicazione del modello
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Per ciascuna simulazione, sono stati calcolati i valori più bassi nello spazio e nel tempo degli intervalli temporali ottenuti con la condizione CFL e con la condizioni von Neumann, e denominati, rispettivamente, •tCFL e •tvN
.
Nella tabella 6.3 sono riportati gli intervalli temporali •tS e •tC, valutati sperimentalmente, e gli intervalli temporali •tCFL e •tvN, stimati mediante relazioni teoriche, per ciascun test case. Inoltre, nella tabella viene riportato un confronto tra l’intervallo temporale •tvN, e gli intervalli sperimentali •tS e •tC che assicurano la stabilità e la convergenza della simulazione. Se il primo è minore degli atri due è riportato S, che vuol dire si, al contrario, se è maggiore, è riportato n, che vuol dire no.
Test case •tS •tC •tCFL •tvN •tvN ! •tS •tvN ! •tC RS 3.3 3.9 18.50 9.58 n n S25 1.1 2.6 14.31 1.10 S S S50 3.9 4.5 13.49 5.02 n n S75 3.5 4.1 16.15 7.25 n n V05 1.9 2.0 16.72 8.42 n n V45 5.4 7.0 31.66 16.04 n n V75 9.8 15.1 83.14 44.84 n n h0.5 3.2 3.9 21.59 9.78 n n h1.0 3.0 3.8 25.35 10.00 n n h1.5 3.3 4.0 32.72 11.17 n n P0.5 6.1 8.0 47.72 26.40 n n P2.0 2.0 2.6 8.32 4.37 n n P3.0 1.5 1.8 5.67 2.88 n n
Tabella 6.3. Confronto tra gli intervalli temporali •tS, •tC, •tCFL e •tvN valutati per ogni test case
I risultati mostrano che i valori •tS variano tra 1.1 s e 9.8 s, rispettivamente, per i test case S25 e V75, mentre i valori •tC variano tra 1.8 s e 15.1 s, rispettivamente, per i test case P3.0 e V75. Le due serie di due dati sono molto correlate, ma •tS è mediamente più piccolo del 22% rispetto a •tC, con differenze che vanno da 0.1 s a 5.3 s, rispettivamente, per i test case V05 e V75. In perfetto accordo con la struttura dell’equazione (5.36), si osserva che i valori più bassi di •tS e •tC si riferiscono non solo ai test case che consentono i valori più alti di portata
Applicazione del modello
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e quindi i valori più elevati di tirante idrico, cioè P2.0, P3.0 e V05, ma anche al test case in cui si assestano i valori più bassi di •Hs, cioè S25.
Dall’analisi dei risultati riportati nella tabella 6.3 si evince che gli intervalli temporali •tCFL e •tvN sono maggiori rispetto a quelli sperimentali •tS e •tC. In particolare, •tCFL risulta sempre un ordine di grandezza superiore rispetto a •tS e •tC, tranne nei test case P2.0 e P3.0, in cui una portata molto alta induce a valori elevati del tirante idrico h. Al contrario, i valori •tvN, sono superiori ma comparabili a quelli sperimentali. Per questo motivo, la seguente analisi è basata solo sui risultati ottenuti con la condizione di von Neumann.
Anche gli intervalli temporali •tvN sono ben correlati con gli intervalli sperimentali •tS e •tC, ma, come mostrato nella tabella 6.3, solo in un caso, quello relativo al test case S25 in cui è stata adottata l’equazione (5.43), •tvN è uguale o inferiore a •tC. In particolare, in dieci casi •tvN è il doppio rispetto a •tS e in otto casi è il doppio rispetto a •tC.
Questi risultati evidenziano che l'uso diretto della condizione di von Neumann, nella maggior parte dei casi non garantisce né la stabilità e né la convergenza dei risultati attinenti allo scorrimento superficiale del modello di Eco-Idrologico sviluppato con gli automi cellulari. Tuttavia, l'elevata correlazione tra •tvN e •tS e •tC permette di trovare alcune formulazioni alternative per stabilire un criterio che permetta di individuare il corretto passo temporale che assicuri la stabilità della soluzione, non lontano da quello originale.
Un primo criterio alternativo è dato dalla ricalibrazione dell'equazione (5.36) rispetto ai risultati ottenuti con gli intervalli temporali che assicurano la stabilità. La ricalibrazione è eseguita tramite il software R, in cui si procede minimizzando la somma dei quadrati dei residui. Pur mantenendo la struttura generale dell'equazione e l'esponente 1/2 per la cadente, la ricalibrazione riguarda l'esponente 5/3 del tirante idrico che è legato alla forma della superficie di scorrimento (in questo caso l’area superficiale A•c), l'esponente del coefficiente n di Manning (pari ad 1 nell’equazione (5.36)) e l’aggiunta di un coefficiente moltiplicativo.
La relazione che permette di individuare l’intervallo temporale che assicura la stabilità è pari a •tvN-1 è la:
1/2 1/2
Applicazione del modello
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Rispetto all’equazione (5.36) nell’equazione (6.1), l’esponente del tirante idrico passa da 5/3 a 3/5 (ottenuto arrotondando il valore esatto di 0.57); inoltre, viene aggiunto un coefficiente moltiplicativo pari a 1/4, mentre l'esponente per il coefficiente di Manning n resta pari ad uno. L'analisi dimensionale mostra che la dimensione del coefficiente 1/4 è [m-16/15]. L’equazione (6.1) è stata applicata a tutti i test case e per il test case S25 l’equazione (5.43) è stata modificata di conseguenza.
I risultati sono elencati nella Tabella 6.4 e mostrati nella figura 6.12. In particolare, nella figura è rappresentato lo scatterplot tra gli intervalli temporali !tS e!tvN-1 e si evince che la linea di regressione sovrappone molto bene la bisettrice di 45°. La pendenza è pari a 0.98, mentre il coefficiente di correlazione R2 è pari a 0.90.
Figura 6.12. Scatterplot degli intervalli temporali •tScon gli intervalli temporali •tvN-1
Con l'obiettivo di trovare un altro criterio semplice in grado di trattare i test case dove la stabilità e la convergenza non sono raggiungibili con gli intervalli temporali !tvN-1, è stata testata una nuova equazione, in base ai risultati ottenuti con l’equazione originale di von Neumann. L'idea di base di questo criterio è che la differenza percentuale tra !tvN e !tS dipende ancora dalle stesse variabili utilizzate nel criterio di von Neumann, cioè la pendenza ed il tirante idrico. A questo scopo, il rapporto d = !tvN / !tS è stato stimato tramite una equazione di regressione multilineare usando queste due variabili:
Applicazione del modello • ˆ 1.397 57.647 max •Hs ; •Hs 1.647 d h •x •y é æ öù = - × + ×ê ç ÷ú+ ê è øú ë û (6.2)
L’intervallo temporale che assicura la stabilità con il secondo criterio •tvN-2 è ottenuto modificando l’intervallo originale ottenuto con von Neumann mediante il rapporto approssimativo:
vN 2 vN ˆ
t - t d
D = D
(6.3)
La presenza didˆ al denominatore dell’equazione (6.3) è il motivo per il quale si sceglie il valore massimo della pendenza nell’equazione (6.2), che consente una stima di •tvN-2 inferiore, cioè più prudente. I risultati sono mostrati nella tabella 6.4 e in figura 6.13, ove è rappresentato lo scatterplot tra gli intervalli temporali •tS e•tvN-2 dal quale si osserva che i valori di •tvN-2 sono prossimi a •tS. In particolare, la pendenza della retta di regressione è pari a 1.03 e il coefficiente di correlazione R2 è pari a 0.97.
Applicazione del modello • Test case •tS •tC •tvN-1 •tvN-2 •tvN •tS •tvN-1 •tS •tvN-2 •tS •tvN •tC •tvN-1 •tC •tvN-2 •tC RS 3.3 3.9 3.81 2.97 n n Y n Y Y S25 1.1 2.6 0.20 1.00 Y Y Y Y Y Y S50 3.9 4.5 2.31 4.85 n Y n n Y n S75 3.5 4.1 3.07 3.36 n Y Y n Y Y V05 1.9 2.0 2.58 2.28 n n n n n n V45 5.4 7.0 5.98 4.79 n n Y n Y Y V75 9.8 15.1 9.10 10.57 n Y n n Y Y h0.5 3.2 3.9 3.59 2.89 n n Y n Y Y h1.0 3.0 3.8 3.39 2.84 n n Y n Y Y h1.5 3.3 4.0 3.31 2.98 n n Y n Y Y P0.5 6.1 8.0 6.33 6.52 n n n n Y Y P2.0 2.0 2.6 2.56 1.93 n n Y n Y Y P3.0 1.5 1.8 2.04 1.74 n n n n n Y
Tabella 6.4. Confronto tra gli intervalli temporali •tS, •tC, •tvN-1 e •tvN-2 valutati per ogni test case
Nella tabella 6.4 si riporta il confronto degli intervalli ottenuti con i due criteri alternativi •tvN-1 e •tvN-2 con gli intervalli sperimentali •tS e •tC. In particolare, •tvN-1 !•tS in 4 casi su 13, mentre al contrario •tvN-1 !•tC in 11 casi su 13, mentre •tvN-2 !•tS in 8 casi su 13, e infine •tvN-2 !•tC in 11 casi su 13.
Considerando separatamente i due nuovi criteri per individuare un passo temporale che assicuri la stabilità, il secondo metodo si comporta meglio rispetto al primo, almeno per quanto!riguarda!il!confronto!con!•tS. Tuttavia, è possibile usare i due metodi congiuntamente, a vantaggio di sicurezza. Almeno uno dei due metodi prevede degli intervalli temporali inferiori a •tS in 10 casi su 13, ed inferiori a •tC in 12 casi su 13, dove solo per il test case V05 non è garantita la convergenza. Inoltre, anche nei test case dove •tvN-2 > •tC, l’intervallo! temporale che assicura la convergenza non viene mai superato ampiamente: la convergenza è sempre raggiunta applicando un fattore di sicurezza di 0.85 a •tvN-2. Considerando questo intervallo temporale ridotto congiuntamente all’intervallo! temporale! •tvN-1, sono raggiunti risultati pienamente stabili in 12 casi su 13 (tranne per il test case V05).
Applicazione del modello
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In ogni caso, entrambi i metodi introdotti supportano notevolmente l'utente nell’individuare i limiti superiori dell’intervallo temporale che prevengono l’instabilità numerica delle soluzioni dello scorrimento superficiale ottenute col modello Eco-Idrologico.